क्या बायेसियन कोलमोगोरोव के स्वयंसिद्ध को स्वीकार करते हैं?

Question

आमतौर पर संभाव्यता सिद्धांत को कोलगोमोरोव के स्वयंसिद्धों के साथ पढ़ाया जाता है। क्या बायेसियन भी कोलमोगोरोव के स्वयंसिद्धों को स्वीकार करते हैं?

Comments

बायेसियन सिद्धांत संभाव्यता के मानक स्वयंसिद्धों से चलता है, इसलिए कोलमोगोरोव स्वयंसिद्धों से।

— शीआन

@ शीआन: विश्वास के व्यक्तिपरक डिग्री संभावना द्वारा प्रतिनिधित्व किया जा सकता है इतना स्पष्ट नहीं है - इसलिए सवाल, और रैमसे और डे Finetti के काम।

— Scortchi - को पुनः स्थापित मोनिका

यही कारण है कि मैं एक "उद्देश्य" बायेसियन हूं और संभावना सिद्धांत के मानकों के अनुसार परिभाषित पूर्व वितरणों के साथ शुरू होता है ...

— शीआन

मेरा मानना ​​है कि कॉक्स-जेनेस की संभावना की व्याख्या बायेसियन संभावना के लिए एक कठोर आधार प्रदान करती है। (मेरा उत्तर देखें)। हालाँकि, उस पर शीआन की राय रखना अच्छा होगा।

— शिखर सम्मेलन

@ सुमित: धन्यवाद, लेकिन मुझे डर है कि मैं इस मुद्दे में बहुत दिलचस्पी नहीं रखता ...!

— शीआन

Answer 1

मेरी राय में, संभावना की कॉक्स-जेनेस व्याख्या बायेसियन संभावना के लिए एक कठोर आधार प्रदान करती है:

• कॉक्स, रिचर्ड टी। "संभावना, आवृत्ति और उचित उम्मीद।" अमेरिकी पत्रिका भौतिकी 14.1 (1946): 1-13।
• जेनेस, एडविन टी। संभाव्यता सिद्धांत: विज्ञान का तर्क। कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस, 2003।
• बेक, जेम्स एल। "संभावना तर्क के आधार पर बायेसियन सिस्टम पहचान।" स्ट्रक्चरल कंट्रोल एंड हेल्थ मॉनिटरिंग 17.7 (2010): 825-847।

कॉक्स द्वारा व्युत्पन्न प्रायिकता तर्क के स्वयंसिद्ध हैं:

1. $\Pr[b|a]\ge0$
2. (P2): (उपेक्षा कार्य)$\Pr[\overline{b}|a]=1-\Pr[b|a]$
3. (P3): (संयोजन क्रिया)$\Pr[b\cap c|a]=\Pr[c|b\cap a]\Pr[b|a]$

Axioms P1-P3 का तात्पर्य निम्नलिखित है (बेक, जेम्स एल। "संभावना तर्क के आधार पर बायेसियन सिस्टम पहचान।" स्ट्रक्चरल कंट्रोल एंड हेल्थ मॉनिटरिंग 17.7 (2010): 825-847)

4. (P4): a) ; b) ; c)पीआर [ ¯ ख | ख ∩ सी ] = 0 पीआर [ ख | ग ] ∈ [ 0 , 1 $\Pr[b|b\cap c] = 1$$\Pr[\overline{b}|b\cap c] = 0$$\Pr[b|c]\in[0,1]$
5. (P5): a) , b) , जहाँ अर्थ है कि , में समाहित है , और अर्थ है कि , बराबर है ।पीआर [ एक | ग ∩ ( एक ⇔ ख ) ] = पीआर [ ख | ग ∩ ( एक ⇔ ख ) ] एक ⇒ ख एक सी एक ⇔ ख एक $\Pr[a|c \cap (a \Rightarrow b)]\le\Pr[b|c\cap(a \Rightarrow b)]$$\Pr[a|c\cap(a \Leftrightarrow b)] = \Pr[b|c\cap(a \Leftrightarrow b)]$$a \Rightarrow b$$a$$c$$a \Leftrightarrow b$$a$$b$
6. (P6):$\Pr[a \cup b|c] = \Pr[a|c]+\Pr[b|c]-\Pr[a\cap b|c]$
7. (P7): मान लीजिए कि प्रस्ताव बताता है कि एक और केवल एक प्रस्ताव सच है, फिर: बी 1 , … , बी $c$$b_1,\ldots,b_N$
   • a) सीमांकन सिद्धांत:$\Pr[a|c]=\sum_{n=1}^N P[a \cap b_n|c]$
   • b) कुल संभावना सिद्धांत:$\Pr[a|c] = \sum_{n=1}^N \Pr[a|b_n\cap c]\Pr[b_n|c]$
   • c) बेयस प्रमेय: :Pr [ b k | एक ∩ सी ] = पीआर [ एक | b k ∩ c ] Pr [ b k | ग $k=1,\ldots,N$$\Pr[b_k|a\cap c] = \frac{\Pr[a|b_k\cap c]\Pr[b_k|c]}{\sum_{n=1}^N \Pr[a|b_n\cap c]\Pr[b_n|c]}$

वे कोलमोगोरोव के तर्क का बयान देते हैं, जिसे एक विशेष मामले के रूप में देखा जा सकता है।

एक बायेसियन दृष्टिकोण की मेरी व्याख्या में, सब कुछ हमेशा (अनुमानित) हमारे विश्वासों पर और हमारे ज्ञान पर वातानुकूलित है।

निम्नलिखित तुलना बेक (2010) से ली गई है: संभावना तर्क के आधार पर बायेसियन सिस्टम पहचान

बेयसियन दृष्टिकोण

संभाव्यता निर्दिष्ट सूचना के आधार पर किसी कथन की बहुलता का माप है।

1. संभावना वितरण प्रणाली और घटना के बारे में प्रशंसनीय ज्ञान की स्थिति का प्रतिनिधित्व करते हैं , न कि उनमें निहित गुणों का।
2. एक मॉडल की संभावना एक सेट में अन्य मॉडलों के सापेक्ष इसकी बहुलता का एक माप है ।
3. व्यावहारिक रूप से किसी भी दावे के बिना लापता जानकारी के कारण अनिश्चितता की मात्रा निर्धारित करता है कि यह प्रकृति की अंतर्निहित यादृच्छिकता के कारण है।

बार-बार देखने की बात

संभावना लंबे समय में एक अंतर्निहित यादृच्छिक घटना की घटना की सापेक्ष आवृत्ति है ।

1. संभाव्यता वितरण यादृच्छिक घटना के निहित गुण हैं ।
2. सीमित गुंजाइश, उदाहरण के लिए एक मॉडल की संभावना के लिए कोई मतलब नहीं है।
3. निहित यादृच्छिकता मान ली जाती है, लेकिन सिद्ध नहीं की जा सकती।

ऊपर दिए गए स्वयंसिद्ध शब्दों से कोलमोगोरोव के स्वयंसिद्धों को कैसे प्राप्त करें

निम्नलिखित में, [बेक, जेम्स एल। "की धारा 2.2" संभावना तर्क के आधार पर बायेसियन प्रणाली की पहचान। " संरचनात्मक नियंत्रण और स्वास्थ्य निगरानी 17.7 (2010): 825-847।] संक्षेप है:

निम्नलिखित में हम उपयोग करते हैं: प्रायिकता माप एक परिमित सेट सबसेट पर :ए $\Pr(A)$$A$$X$

1. [के १]:$\Pr(A)\ge 0, \forall A \subset X$
2. [के २]:$\Pr(X) = 1$
3. [K3]: यदि और असंतुष्ट हैं।ए $\Pr(A\cup B)=\Pr(A)+\Pr(B), \forall A,B \subset X$$A$$B$

संभाव्यता सिद्धांत के स्वयंसिद्धों से (K1-K3) प्राप्त करने के लिए, [बेक, 2010] ने प्रस्तावितोन पेश किया जो बताता है और लिए प्रायिकता मॉडल को निर्दिष्ट करता है । [बेक, 2010] इसके बाद परिचय देता है ।एक्स ∈ एक्स एक्स पीआर ( एक ) = पीआर [ एक्स ∈ ए | π $\pi$$x\in X$$x$$\Pr(A) = \Pr[x\in A|\pi]$

• P1 का मतलब K1 को _ औरग = $b=\{x\in A\}$$c=\pi$
• K2 ; पी 4 (ए), और कहा गया है कि ।∈ x π $\Pr[x\in X|\pi]=1$$\pi$$x\in X$
• K3 के पी 6 से प्राप्त किया जा सकता है: और संबंध तोड़ना साधन हैं कि और परस्पर अनन्य हैं। इसलिए, K3:बी एक्स ∈ एक एक्स ∈ बी पीआर ( एक्स ∈ एक ∪ बी | π ) = पीआर ( एक्स ∈ ए | π ) + पीआर ( एक्स ∈ बी | π $A$$B$$x\in A$$x\in B$ $\Pr(x\in A\cup B|\pi)=\Pr(x\in A|\pi)+\Pr(x\in B|\pi)$

Comments

अपने K3 से आप (परिमित योगात्मकता) प्राप्त कर सकते हैं, लेकिन कोलमोगोरोव के 3 एक्सलिओम, (गणनीय व्यसनशीलता) जब 's- -field के तत्व होते हैं , और केवल उपसमूह नहीं होते हैं एक निश्चित सेट की। पीआर ( ∪ ∞ मैं = 1 एक मैं ) = Σ ∞ मैं = 1 पीआर ( एक मैं ) एक $\Pr(\cup_{i=1}^n A_i)=\sum_{i=1}^n\Pr(A_i)$$\Pr(\cup_{i=1}^\infty A_i)=\sum_{i=1}^\infty\Pr(A_i)$$A$$\sigma$

— Scortchi - को पुनः स्थापित मोनिका

@ बोर्टियन स्टैटिस्टिक्स के अपने परिचय में क्रॉस्ची केआरकोच बर्नार्डो और स्मिथ (1994), बेयसियन थ्योरी, पी। 105, एक स्रोत के रूप में, जो बताता है कि गणना योग्य अनंत को कैसे संबोधित किया जाए। मैंने इसकी जाँच नहीं की है, लेकिन एक संदर्भ के रूप में यह यहाँ दिया जा सकता है।

— लेखक

Answer 2

प्रोबेबिलिटी थ्योरी के विकास के बाद, यह दिखाने के लिए आवश्यक था कि शिथिल अवधारणाओं ने "संभाव्यता" के नाम से उत्तर दिया, जो कि उन्होंने प्रेरित की गई अवधारणा को सख्ती से परिभाषित किया। "सब्जेक्टिव" बायेसियन संभावनाओं पर रामसी और डी फिनेटी द्वारा विचार किया गया था, जिन्होंने स्वतंत्र रूप से दिखाया था कि तुलनात्मकता और सुसंगति की बाधाओं के अधीन विश्वास की डिग्री का एक परिमाण (आपकी मान्यताएं सुसंगत हैं यदि कोई आपके खिलाफ डच पुस्तक नहीं बना सकता है ) एक संभावना हो।

स्वयंसिद्धताओं के बीच अंतर काफी हद तक स्वाद का विषय है कि क्या परिभाषित किया जाना चाहिए और क्या व्युत्पन्न होना चाहिए। लेकिन काउंटेबल एडिटिविटी कोलमोगोरोव में से एक है जो कॉक्स या फिनेटी से व्युत्पन्न नहीं है, और विवादास्पद रही है। कुछ Bayesians (जैसे de Finetti & Savage) परिमित संवेदनशीलता पर रोक लगाते हैं और इसलिए कोलमोगोरोव के सभी स्वयंसिद्धों को स्वीकार नहीं करते हैं। वे एकरूपता के बिना अनंत अंतराल पर समान संभाव्यता वितरण डाल सकते हैं। दूसरों ने भी मोनोटोन निरंतरता को मानते हुए विलेगास का अनुसरण किया, और उसी से गणना करने योग्य व्यसन प्राप्त किया।

रैमसे (1931), रामसे (1931), गणित की नींव और अन्य तार्किक निबंध में "सत्य और संभावना"

डी फिनेटी (1931), "सुल एस्पेटो सोगेट्टिवो डेला प्रोबेबिलिटा", फंडामेना मैथमैटिक , 17 , पीपी 298 - 329

विलेगास (1964), "गुणात्मक संभावना पर _ कैलगेब्रस", ऐन। गणित। सांख्यिकीविद। , ३५ , ४।$\sigma$

Comments

मेरा जवाब केवल 'उद्देश्य बायेसियन' संभावनाओं से क्यों निपटना चाहिए? कॉक्स (1946) के सेमिनल कार्य स्पष्टता से विषय के मुद्दे को संबोधित करते हैं! यह एक बहुत ही दिलचस्प है - और कागज पढ़ने में आसान है। मुझे नहीं लगता कि यह 'व्यक्तिपरक' और 'वस्तुनिष्ठ' बायेसियन संभावनाओं के बीच अंतर करने के लिए समझ में आता है: विश्लेषण करने वाले व्यक्ति के लिए सब कुछ हमेशा अंतर्निहित होता है -> और इस संबंध में 'व्यक्तिपरक'।

— शिखर सम्मेलन

स्वयंसिद्धों की व्युत्पत्ति के बारे में कॉक्स से कोलमोगोरोव ने कहा: मैं जिस तरह से बेक, जेम्स एल की धारा 2.2 में किया गया है, उससे मैं संतुष्ट हूं। "संभावना तर्क के आधार पर बायेसियन प्रणाली की पहचान।" स्ट्रक्चरल कंट्रोल एंड हेल्थ मॉनिटरिंग 17.7 (2010): 825-847।

— समिट

@ सुमित: (1) आप सही कह रहे हैं; ऐसा नहीं है कि रेम्सी और डी फ़िनेटी की संभाव्यता के बारे में डिस्पेंसल का दृष्टिकोण उन्हें "व्यक्तिपरक" शिविर में चौकोर रूप देता है, जबकि कॉक्स अधिक सामान्यतः लागू होता है। (२) क्या आप कह रहे हैं कि काउंटेबल एडिटिविटी को कॉक्स के पोस्टुलेट्स से घटाया जा सकता है?

— Scortchi - को पुनः स्थापित मोनिका

मैंने अपना उत्तर दिया, और आपकी टिप्पणियों के लिए तत्पर हूं।

— शिखर सम्मेलन

@Summit: धन्यवाद - मुझे उम्मीद है कि मुझे अपना आधा बनाने के लिए भी समय मिल जाएगा। मैंने आपके बीच कॉक्स प्रमेय और "पूर्ण" Kolmogorov axioms से प्राप्त कर सकते हैं के बीच के अंतर को इंगित किया है और लगता है कि यह सवाल के लिए विशेष रूप से जर्मे है (हालांकि मैं इसके बारे में पूरी तरह से भूल गया था जब मैंने पहली बार उत्तर दिया था)। Jaynes के पास इस BTW के बारे में कुछ दिलचस्प बातें थीं।

— Scortchi - को पुनः स्थापित मोनिका