प्रतिस्थापन के बिना ड्राइंग करते समय विभिन्न रंगों की अपेक्षित संख्या

युक्त एक कलश पर विचार की गेंदों अलग अलग रंग, साथ रंग की गेंदों का अनुपात जा रहा है के बीच गेंदों ( )। मैं आकर्षित कलश से गेंदों बिना नंबर पर प्रतिस्थापन और देखो गेंदों कि तैयार किये गए थे, के बीच अलग अलग रंग की। की अपेक्षा क्या है के एक समारोह के रूप में वितरण का उपयुक्त गुण के आधार पर, ? $N$ $P$ $p_i$ $i$ $N$ $\sum_i p_i = 1$ $n \leq N$ $\gamma$ $\gamma$ $n/N$ $\mathbf{p}$

और अधिक जानकारी देने के लिए: अगर और सभी के लिए , तो मैं हमेशा वास्तव में देखेंगे रंग, यह है कि, । अन्यथा, यह दिखाया जा सकता है कि की उम्मीद है । निश्चित और , ऐसा लगता है कि कारक जिसके द्वारा को गुणा करना है, जब $N = P$ $p_i = 1/P$ $i$ $n$ $\gamma = P (n/N)$ $\gamma$ $>P(n/N)$ $P$ $N$ $n/N$ $\mathbf{p}$ वर्दी है; हो सकता है कि देखे गए विभिन्न रंगों की अपेक्षित संख्या और, जैसे, के एन्ट्रापी के कार्य के रूप में बंधी हो ? $n/N$ $\mathbf{p}$

यह कूपन कलेक्टर की समस्या से संबंधित लगता है, सिवाय इसके कि नमूना प्रतिस्थापन के बिना किया जाता है, और कूपन का वितरण एक समान नहीं है।

probability expected-value coupon-collector-problem

— a3nm
स्रोत

मुझे लगता है कि इस समस्या को इस प्रकार कहा जा सकता है: बहुभिन्नरूपी हाइपरजोमेट्रिक वितरण से नमूने में नॉनज़रो प्रविष्टियों की अपेक्षित संख्या क्या है ?

— 19

मान लीजिए आपके पास रंग जहां । चलो गेंदों रंग की संख्या को निरूपित तो । आज्ञा देना और चलो उस सेट को नोट करता है जिसमें के तत्व सबसेट होते हैं । चलो उन तरीकों की संख्या को दर्शाता है जिन्हें हम चुन सकते हैं $k$ $k \leq N$ $b_i$ $i$ $\sum b_i = N$ $B = \{b_1, \ldots, b_k\}$ $E_i(B)$ $i$ $B$ $Q_{n, c}$ $n$ ऊपर सेट ऐसा है कि चुने हुए सेट में अलग अलग रंग की संख्या है से तत्वों । के लिए सूत्र सरल है: $c$ $c = 1$

Q_{n, 1} = \sum_{E \in E_{1} (B)} (\binom{\sum_{e \in E} e}{n})

$Q_{n, 1} = \sum_{E \in E_{1}(B)}\binom{\sum_{e \in E}e}{n}$

के लिए हम आकार की गेंदों के सेट भरोसा कर सकते हैं जो ज्यादा से ज्यादा 2 रंग शून्य से सेट जो वास्तव में है की संख्या है रंग: $c = 2$ $n$ $1$

Q_{n, 2} = \sum_{E \in E_{2} (B)} (\binom{\sum_{e \in E} e}{n}) - (\binom{k - 1}{1}) Q_{n, 1}

$Q_{n,2} = \sum_{E \in E_{2}(B)}\binom{\sum_{e \in E}e}{n} - \binom{k - 1}{1}Q_{n, 1}$

तरीके की संख्या आप एक निश्चित रंग के लिए एक रंग में जोड़ सकते हैं यदि आपके पास ऐसी है कि आप 2 रंग होगामें कुल रंग। सामान्य सूत्र अगर आपके पास हैतय रंग और आप बनाना चाहतेइससे बाहर रंग करते हुए(कुल रंग) है $\binom{k - 1}{1}$ $k$ $c_1$ $c_2$ $k$ $c_1 \leq c_2 \leq k$ । अब हमारे पास: केलिए जेनेरिक फॉर्मूला निकालने के लिए सब कुछ है। $\binom{k - c_1}{c_2 - c_1}$ $Q_{n, c}$

Q_{n, c} = \sum_{E \in E_{c} (B)} (\binom{\sum_{e \in E} e}{n}) - \sum_{i = 1}^{c - 1} (\binom{k - i}{c - i}) Q_{n, i}

$Q_{n, c} = \sum_{E \in E_{c}(B)}\binom{\sum_{e \in E}e}{n} - \sum_{i = 1}^{c - 1}\binom{k - i}{c - i}Q_{n, i}$

यदि आप गेंद खींचते हैं तो संभावना है कि आपके पास बिल्कुल रंग होंगे : $c$ $n$

P_{n, c} = Q_{n, c} / (\binom{N}{n})

$P_{n, c} = Q_{n, c} / \binom{N}{n}$

यह भी ध्यान दें कि यदि। $\binom{x}{y} = 0$ $y > x$

संभवतः ऐसे विशेष मामले हैं जहां सूत्र को सरल बनाया जा सकता है। मैंने इस बार उन सरलीकरणों को खोजने की जहमत नहीं उठाई।

पर निर्भर रंगों की संख्या के लिए अपेक्षित मान आप निम्नलिखित हैं: $n$

γ_{n} = \sum_{i = 1}^{k} P_{n, i} * i

$\gamma_{n} = \sum_{i = 1}^{k} P_{n, i} * i$

— jakab922
स्रोत

You call

P_{n, c}

$P_{n,c}$ a probability, but you seem to have defined it as a sum of integers. Did you forget to divide by something?

— Kodiologist

Yes, I guess you're right. You need to divide by

(\binom{N}{n})

$\binom{N}{n}$ , but unfortunately it's still not right that way. If

E, F \in E_{c} (B)

$E, F \in E_{c}(B)$ and

E \cap F \neq \emptyset

$E \cap F \neq \emptyset$ I do doublecounting in the above formula.

— jakab922

Seems like the formula can be fixed by using the sieve method. I will post a fix later today.

— jakab922