यदि एक टाइम सीरीज़ दूसरी ऑर्डर स्टेशनरी है, तो क्या इसका मतलब यह सख्ती से स्थिर है?

एक प्रक्रिया सख्ती से स्थिर है अगर के संयुक्त वितरण के संयुक्त वितरण रूप में ही है सभी , सभी और सभी । $X_t$ $X_{t_1},X_{t_2},...,X_{t_m}$ $X_{t_1+k},X_{t_2+k},...,X_{t_m+k}$ $m$ $k$ $t_1,t_2,...,t_m$

एक प्रक्रिया द्वितीय क्रम स्थिर है यदि इसका माध्य स्थिर है और इसका आटोक्लेवेरियन कार्य केवल अंतराल पर निर्भर करता है।

इसलिए दूसरा आदेश स्थिर सख्त लागू होता है?

दूसरे आदेश के तहत भी यह कहा गया है कि पहले और दूसरे क्रम की तुलना में उच्च क्षणों के बारे में कोई धारणा नहीं बनाई गई है। पहला क्षण माध्य से मेल खाता है, क्या दूसरा क्षण स्वपोषी के अनुरूप है?

— क्लार्कसन
स्रोत

संबंधित चर्चा के लिए यह पोस्ट भी देखें ।

— javlacalle

जिसे आप (या आपका कोर्स कॉल) द्वितीय-क्रम स्थिर कहते हैं, उसे अक्सर कमजोर अर्थ या व्यापक-अर्थ-स्थिर (WSS) या व्यापक अर्थ में स्थिर कहा जाता है। डब्ल्यूएसएस प्रक्रियाएं कड़ाई से स्थिर नहीं हैं क्योंकि सामान्य और ऑटोकॉवेरियन वितरण को निर्धारित करने के लिए पर्याप्त नहीं हैं । बेशक, एक WSS गाऊसी या सामान्य प्रक्रिया (सभी अर्थ

सामान्य यादृच्छिक चर रहे हैं) है सख्ती से स्थिर है क्योंकि मतलब और सहप्रसरण मैट्रिक्स संयुक्त वितरण निर्धारण करते हैं।

X_{t}

$X_t$

— दिलीप सरवटे

एक प्रक्रिया का उदाहरण भी देखें जो कि 2 क्रम स्थिर है लेकिन कड़ाई से स्थिर नहीं है । दोनों डुप्लिकेट होने के बहुत करीब हैं। यह प्रश्न इस बारे में भी पूछता है कि क्या दूसरा क्षण ऑटोकॉवरियन को संदर्भित करता है, लेकिन यह वास्तव में एक उप-प्रश्न है और किसी भी दर पर थ्रेड पर संभाला गया है एक दूसरे क्रम स्थिर प्रक्रिया क्या है?

— सिल्वर फिश

mathoverflow.net/questions/42141/…

— रॉबी मैककिलियम

दूसरा ऑर्डर स्टेशनैरिटी सख्त स्टेशनरी से कमजोर है। दूसरे क्रम में स्थिरता की आवश्यकता होती है कि पहले और दूसरे क्रम के क्षण (मतलब, विचरण और सह-अस्तित्व) पूरे समय स्थिर होते हैं और इसलिए, उस समय पर निर्भर नहीं करते हैं जिस पर प्रक्रिया देखी जाती है। विशेष रूप से, के रूप में आप कहते हैं, सहप्रसरण केवल अंतराल आदेश पर निर्भर करता है , लेकिन समय जिस पर यह मापा जाता है, पर नहीं सभी के लिए $k$ $Cov(x_t, x_{t-k}) = Cov(x_{t+h}, x_{t+h-k})$ । $t$

एक सख्त स्टेशन प्रक्रिया में, सभी आदेशों के क्षण पूरे समय तक स्थिर रहते हैं, अर्थात, जैसा कि आप कहते हैं, का संयुक्त वितरण , के संयुक्त वितरण के समान है सभी के लिए $X_{t1},X_{t2},...,X_{tm}$ $X_{t1+k}+X_{t2+k}+...+X_{tm+k}$ और । $t1,t2,...,tm$ $k$

इसलिए, सख्त स्टेशनरिटी में दूसरा ऑर्डर स्टेशनैरिटी शामिल है, लेकिन काफिला सच नहीं है।

संपादित करें (@ व्हिबर की टिप्पणी के उत्तर के रूप में संपादित)

पिछला बयान कमजोर और मजबूत स्थानिकता की सामान्य समझ है। यद्यपि यह विचार कि कमजोर अर्थों में स्टेशनरिटी एक मजबूत अर्थ में स्थिरता नहीं है, अंतर्ज्ञान से सहमत हो सकता है, यह प्रमाण के लिए इतना सीधा नहीं हो सकता है, जैसा कि नीचे टिप्पणी में व्हीबर द्वारा इंगित किया गया है। यह उस टिप्पणी में सुझाए गए विचार का वर्णन करने के लिए सहायक हो सकता है।

हम एक ऐसी प्रक्रिया को कैसे परिभाषित कर सकते हैं जो सेकंड-ऑर्डर स्थिर (मतलब, विचरण और समय-समय पर स्थिर) है, लेकिन यह सख्त अर्थों में स्थिर नहीं है (उच्च आदेश के क्षण समय पर निर्भर करते हैं)?

जैसा कि @whuber (यदि मुझे सही तरीके से समझ में आया है) द्वारा सुझाया गया है तो हम विभिन्न वितरणों से आने वाली टिप्पणियों के बैचों को समेट सकते हैं। हमें बस सावधान रहने की जरूरत है कि उन वितरणों का एक ही मतलब और भिन्नता है (इस बिंदु पर आइए विचार करें कि वे एक-दूसरे के स्वतंत्र रूप से नमूने लिए गए हैं)। एक तरफ, हम उदाहरण के लिए विद्यार्थी का से टिप्पणियों उत्पन्न कर सकते हैं के साथ -distribution स्वतंत्रता की डिग्री। मतलब शून्य है और विचरण है । एक और ओर, हम शून्य मतलब और विचरण के साथ गाऊसी वितरण ले जा सकते हैं । $t$ $5$ $5/(5-2)=5/3$ $5/3$

दोनों वितरण एक ही मतलब (शून्य) और विचरण (हिस्सा )। इस प्रकार, इन वितरणों से यादृच्छिक मूल्यों का संघटन, कम से कम, द्वितीय-क्रम स्थिर होगा। हालांकि, गौसियन वितरण द्वारा शासित उन बिंदुओं पर कुर्तोसिस होगा , जबकि उन समय बिंदुओं पर जहां डेटा छात्र के -ististion से आता है, यह । इसलिए, इस तरह से उत्पन्न डेटा सख्त अर्थों में स्थिर नहीं हैं क्योंकि चौथे क्रम के क्षण स्थिर नहीं हैं। $5/3$ $3$ $t$ $3+6/(5-4)=9$

सहसंयोजक भी निरंतर और शून्य के बराबर हैं, क्योंकि हमने स्वतंत्र टिप्पणियों पर विचार किया था। यह तुच्छ लग सकता है, इसलिए हम निम्नलिखित निरंकुश मॉडल के अनुसार टिप्पणियों के बीच कुछ निर्भरता बना सकते हैं।

के साथ

y_{t} = ϕ y_{t - 1} + ϵ_{t}, | ϕ | < 1, t = 1, 2, . . ., 120

$y_t = \phi y_{t-1} + \epsilon_t \,, \quad |\phi| < 1 \,, \quad t = 1,2,...,120$

\begin{array}{rcl} ϵ_{t} \sim {\begin{cases} N (0, σ^{2} = 5 / 3) & if t \in [0, 20], [41, 60], [81, 100] \\ t_{5} & if t \in [21, 40], [61, 80], [101, 120] . \end{cases} \end{array}

$\begin{eqnarray} \epsilon_t \sim \left\{ \begin{array}{ll} N(0, \sigma^2=5/3) \quad & \hbox{if} \; t \in [0,20], [41,60], [81,100] \\ t_5 \quad & \hbox{if} \; t \in [21,40], [61,80], [101,120] \,. \end{array} \right. \end{eqnarray}$

सुनिश्चित करता है कि द्वितीय-क्रम स्थिरता संतुष्ट है। $|\phi| < 1$

$20$ $\phi=0.8$ $n=240$

# this function is required below
kurtosis <- function(x)
{
  n <- length(x)
  m1 <- sum(x)/n
  m2 <- sum((x - m1)^2)/n
  m3 <- sum((x - m1)^3)/n
  m4 <- sum((x - m1)^4)/n
  b1 <- (m3/m2^(3/2))^2
  (m4/m2^2)
}
# begin simulation
set.seed(123)
n <- 240
Mmeans <- Mvars <- Mcovs <- Mkurts <- matrix(nrow = 1000, ncol = n/20)
for (i in seq(nrow(Mmeans)))
{
  eps1 <- rnorm(n = n/2, sd = sqrt(5/3))
  eps2 <- rt(n = n/2, df = 5)
  eps <- c(eps1[1:20], eps2[1:20], eps1[21:40], eps2[21:40], eps1[41:60], eps2[41:60], 
    eps1[61:80], eps2[61:80], eps1[81:100], eps2[81:100], eps1[101:120], eps2[101:120])
  y <- arima.sim(n = n, model = list(order = c(1,0,0), ar = 0.8), innov = eps)

  ly <- split(y, gl(n/20, 20))
  Mmeans[i,] <- unlist(lapply(ly, mean))
  Mvars[i,] <- unlist(lapply(ly, var))
  Mcovs[i,] <- unlist(lapply(ly, function(x) 
    acf(x, lag.max = 1, type = "cov", plot = FALSE)$acf[2,,1]))
  Mkurts[i,] <- unlist(lapply(ly, kurtosis))
}

परिणाम वह नहीं हैं जो मैंने उम्मीद की थी:

round(colMeans(Mmeans), 4)
#  [1]  0.0549 -0.0102 -0.0077 -0.0624 -0.0355 -0.0120  0.0191  0.0094 -0.0384
# [10]  0.0390 -0.0056 -0.0236
round(colMeans(Mvars), 4)
#  [1] 3.0430 3.0769 3.1963 3.1102 3.1551 3.2853 3.1344 3.2351 3.2053 3.1714
# [11] 3.1115 3.2148
round(colMeans(Mcovs), 4)
#  [1] 1.8417 1.8675 1.9571 1.8940 1.9175 2.0123 1.8905 1.9863 1.9653 1.9313
# [11] 1.8820 1.9491
round(colMeans(Mkurts), 4)
#  [1] 2.4603 2.5800 2.4576 2.5927 2.5048 2.6269 2.5251 2.5340 2.4762 2.5731
# [11] 2.5001 2.6279

$t$ $20$

— javlacalle
स्रोत

यद्यपि आप सही हैं, आपने अंतिम निष्कर्ष को पर्याप्त रूप से प्रदर्शित नहीं किया है। (आप मानते हैं कि एक दूसरे-क्रम स्थिर प्रक्रिया के उच्चतर क्षणों को इसके पहले दो क्षणों से स्वतंत्र रूप से निर्धारित किया जा सकता है, लेकिन यह - हालांकि आंशिक रूप से सत्य है - स्पष्ट नहीं है।) अपने निष्कर्ष को प्रदर्शित करने का सबसे मजबूत तरीका होगा। एक प्रक्रिया को प्रदर्शित करने के लिए जो दूसरी क्रम वाली स्टेशनरी है लेकिन स्थिर नहीं है। यद्यपि यह स्वतंत्र यादृच्छिक चर के एक उपयुक्त अनुक्रम के साथ करना आसान है, लेकिन सभी लैग्स में गैर-लुप्त हो रहे सहसंबंधों के साथ एक उदाहरण प्रदान करना दिलचस्पी का होगा।

— whuber

@ जब मैंने अपना उत्तर संपादित किया। मुझे लगा कि मैं आपकी बात समझ गया हूं लेकिन आपके विचार का पालन करने का मेरा प्रयास पूरी तरह से संतोषजनक नहीं था।

— javlacalle 22

U_{i}, i = 0, 1

$U_i,i=0,1$

p \neq 1 / 2

$p\ne 1/2$

1 - p

$1-p$

(X_{i})

$(X_i)$

i \in Z

$i\in\mathbb{Z}$

Y_{i} = U_{[i]} - p_{[i]} + X_{i}

$Y_i=U_{[i]}-p_{[i]}+X_i$

[i] = 0

$[i]=0$

i

$i$

[i] = 1

$[i]=1$ Rn <- 300; p <- 1/4; x <- rnorm(n, (rbinom(2,1,c(p,1-p))-c(p,1-p)), 1/8)

मैं सख्त स्टेशनरी और कोवरियन-स्टेशनरिटी का आदेश नहीं दूंगा (हालांकि बाद के दुर्भाग्य के लिए "कमजोर" शब्द का उपयोग भी इस तरह के आदेश की ओर इशारा करता है)। कारण यह है कि सख्त स्थिरता सहसंयोजक-स्थिरता का अर्थ नहीं करती है: प्रक्रिया सख्ती से स्थिर हो सकती है, लेकिन वितरण के क्षण मौजूद नहीं हो सकते हैं या अनंत नहीं हो सकते हैं, इस मामले में यह सख्त स्टेशनरी सहसंयोजक-स्थिर नहीं है।

— एलेकोस पापाडोपोलोस

हम क्षणों के गैर-अस्तित्व का सीधे अनुकरण नहीं कर सकते । तुच्छ उदाहरण लेने के लिए एक क्युकी सख्ती से स्थिर प्रक्रिया बनाएं। ग्राफ पूरी तरह से "स्थिर" दिखाई देगा, क्योंकि प्रक्रिया का व्यवहार दोहरावदार है, एक व्यवहार जो केवल मौजूद होने पर क्षणों पर निर्भर करता है । यदि वे मौजूद नहीं हैं, तो व्यवहार वर्णित है और वितरण की अन्य विशेषताओं पर निर्भर करता है।

— एलेकोस पापाडोपोलोस

चूँकि मैं टिप्पणी नहीं कर सकता, और मेरे पास @javlacalle के उत्तर के लिए एक योग्य चेतावनी है , मैं इसे शामिल करने के लिए मजबूर हूं यह एक अलग उत्तर है:

@javlacalle ने लिखा कि

सख्त स्थानापन्नता में दूसरा क्रम स्टेशनरिटी शामिल होता है, लेकिन कांसेप्ट सही नहीं होता है।

हालांकि, मजबूत स्टेशनरिटी कमजोर स्टेशनरिटी का मतलब नहीं है। इसका कारण यह है कि मजबूत स्थैतिकता का अर्थ यह नहीं है कि प्रक्रिया में आवश्यक रूप से दूसरा क्षण है। उदाहरण के लिए, मानक कॉची वितरण के साथ एक iid प्रक्रिया सख्ती से स्थिर होती है, लेकिन कोई दूसरा क्षण नहीं होता है। वास्तव में, एक मजबूत दूसरे स्थिर प्रक्रिया के कमजोर पड़ने के लिए एक परिमित दूसरे क्षण का होना एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति है।

संदर्भ: मायर्स, DE, 1989. होना या न होना। । । स्थावर? यह सवाल है। गणित। Geol। 21, 347-362।

— ShayPal5
स्रोत