क्या गैर-शून्य सहसंबंध का अर्थ निर्भरता है?

Question

हम इस तथ्य को जानते हैं कि शून्य सहसंबंध स्वतंत्रता का अर्थ नहीं है। मैं एक गैर शून्य सहसंबंध निर्भरता का अर्थ है कि क्या में दिलचस्पी है - यानी अगर $\text{Corr}(X,Y)\ne0$ कुछ यादृच्छिक चर के लिए $X$ और $Y$ , हम सामान्य रूप में कह सकते हैं कि $f_{X,Y}(x,y) \ne f_X(x) f_Y(y)$ ?

Answer 1

हाँ क्योकि

$$\text{Corr}(X,Y)\ne0 \Rightarrow \text{Cov}(X,Y)\ne0$$

$$\Rightarrow E(XY) - E(X)E(Y) \ne 0$$

$$\Rightarrow \int \int xyf_{X,Y}(x,y)dxdy -\int xf_X(x) dx\int yf_Y(y)dy \ne 0$$

$$\Rightarrow \int \int xyf_{X,Y}(x,y)dxdy -\int \int xyf_X(x) f_Y(y)dxdy \ne 0$$

$$\Rightarrow \int \int xy \big[f_{X,Y}(x,y) -f_X(x) f_Y(y)\big]dxdy \ne 0$$

जो असंभव होगा यदि । इसलिए$f_{X,Y}(x,y) -f_X(x) f_Y(y) =0,\;\; \forall \{x,y\}$

$$\text{Corr}(X,Y)\ne0 \Rightarrow \exists \{x,y\}:f_{X,Y}(x,y) \ne f_X(x) f_Y(y)$$

प्रश्न: यादृच्छिक चर के साथ क्या होता है जिसमें कोई घनत्व नहीं होता है?

Comments

एलेकोस, मैं एक गूंगा सवाल है। फैंसी तीर का क्या अर्थ है, जैसे, पंक्ति 1? मैं कुछ "कल्पना" की तरह कल्पना करता हूं, लेकिन मैं अनिश्चित हूं।

— साइकोरैक्स का कहना है कि मोनिका

@ user777 तुम्हारा मतलब है ? दरअसल, इसका अर्थ है "तात्पर्य"। $\Rightarrow$

— एलेकोस पापाडोपोलोस 13

केवल अनौपचारिक तर्क में निहितार्थ तीर का उपयोग करने का कारण: निहितार्थ तीर बाएं या दाएं साहचर्य है?

— kasterma

\implies पैदा करता है $\implies$जो बेहतर से बेहतर लगता है \rightarowजो पैदा करता है । $\Rightarrow$

— दिलीप सरवटे

Answer 2

चलो और वाई यादृच्छिक परिवर्तनीय ऐसी है कि निरूपित ई [ एक्स 2 ] और ई [ वाई 2 ] परिमित कर रहे हैं। फिर, E [ X Y ] , E [ X ] और E [ Y ] सभी परिमित हैं।$X$$Y$$E[X^2]$$E[Y^2]$$E[XY]$$E[X]$$E[Y]$

इस तरह यादृच्छिक चर के हमारे ध्यान में सीमित करने से, चलो बयान निरूपित कि एक्स और वाई हैं स्वतंत्र यादृच्छिक चर और बी बयान है कि एक्स और वाई हैं असहसंबद्ध यादृच्छिक परिवर्तनीय, कि है, ई [ एक्स वाई ] = ई [ एक्स ] ई [ Y ] हो गया । तब हम जानते हैं कि A का तात्पर्य B है , अर्थात स्वतंत्र यादृच्छिक चर असंबंधित यादृच्छिक चर हैं। दरअसल, एक परिभाषा$A$$X$$Y$$B$$X$$Y$$E[XY] = E[X]E[Y]$$A$$B$स्वतंत्र यादृच्छिक चर का मतलब यह है कि सभी औसत दर्जे के फ़ंक्शंस g ( ur ) और h ( ⋅ ) के लिए E [ g ( X ) ] E [ h ( Y ) ] के बराबर है । यह आमतौर पर ए के रूप में व्यक्त किया जाता है $E[g(X)h(Y)]$$E[g(X)]E[h(Y)]$$g(\cdot)$$h(\cdot)$ लेकिन

$$A \implies B.$$ तार्किक के बराबर है ¬ $A \implies B$ , अर्थात$\neg B \implies \neg A$

सहसंबद्ध यादृच्छिक चर निर्भर यादृच्छिक चर हैं।

यदि , E [ X ] या E [ Y ] परिमित नहीं है या अस्तित्व में नहीं है, तो यह कहना संभव नहीं है कि X और Y असंबंधित हैं या नहीं, उनके असम्बद्ध यादृच्छिक चर के शास्त्रीय अर्थ में नहीं हैं जो E [ X Y ] = E [ X ] E [ Y ] है । उदाहरण के लिए, X और Y स्वतंत्र कैची यादृच्छिक चर हो सकते हैं (जिसके लिए माध्य मौजूद नहीं है$E[XY]$$E[X]$$E[Y]$$X$$Y$$E[XY] = E[X]E[Y]$$X$$Y$)। क्या वे शास्त्रीय अर्थ में असंबद्ध यादृच्छिक चर हैं?

Comments

इस उत्तर के बारे में अच्छी बात यह है कि यह लागू होता है या नहीं, प्रश्न में यादृच्छिक चर एक घनत्व फ़ंक्शन को स्वीकार करते हैं, जैसा कि इस धागे के अन्य उत्तरों के विपरीत है। यह इस तथ्य के कारण सच है कि अपेक्षाओं को सीडीएफ का उपयोग करके स्टिलेटजेस अभिन्नताओं के साथ परिभाषित किया जा सकता है, जिसमें घनत्व का कोई उल्लेख नहीं है।

— आहफ्स

Answer 3

यहाँ एक विशुद्ध तार्किक प्रमाण। यदि तो जरूरी ¬ बी → ¬ एक , दो के रूप में बराबर हैं। इस प्रकार अगर ¬ बी तो ¬ एक । अब A को स्वतंत्रता से और B को सहसंबंध के साथ बदलें ।$A\rightarrow B$$\neg B \rightarrow \neg A$$\neg B$$\neg A$$A$$B$

एक बयान के बारे में सोचें "यदि ज्वालामुखी विस्फोट होता है तो नुकसान होने वाला है"। अब एक ऐसे मामले के बारे में सोचें जहां कोई हर्ज नहीं है। स्पष्ट रूप से एक ज्वालामुखी नहीं फूटा था या हमारे पास एक संघनन होगा।

इसी तरह, एक मामले के बारे में सोचें "यदि स्वतंत्र , तो गैर-सहसंबद्ध एक्स , वाई "। अब, उस मामले पर विचार करें जहां X , Y सहसंबद्ध हैं। स्पष्ट रूप से वे स्वतंत्र नहीं हो सकते हैं, यदि वे थे, तो वे भी सहसंबद्ध होंगे। इस प्रकार निष्कर्ष पर निर्भरता।$X,Y$$X,Y$$X,Y$

Comments

$A \implies B$$\neq B \implies \neg A$.

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate Edited to reflect that.

— Tony