क्या प्रत्येक अर्ध-सकारात्मक निश्चित मैट्रिक्स एक सहसंयोजक मैट्रिक्स के अनुरूप है?

यह सर्वविदित है कि एक सहसंयोजक मैट्रिक्स को अर्ध-सकारात्मक निश्चित होना चाहिए, हालांकि, क्या यह सच है?

यही है, क्या प्रत्येक अर्ध-सकारात्मक निश्चित मैट्रिक्स एक सहसंयोजक मैट्रिक्स के अनुरूप है?

covariance matrix

— Jingjings
स्रोत

पीडी और पीएसडी की परिभाषाओं के अनुसार यहां , हां, मुझे ऐसा लगता है, क्योंकि हम निर्माण के द्वारा ऐसा कर सकते हैं। मैं थोड़े सरल तर्क के लिए मानूंगा कि आप वास्तविक तत्वों के साथ मैट्रिसेस के लिए हैं, लेकिन उपयुक्त परिवर्तनों के साथ यह जटिल मैट्रिसेस तक विस्तारित होगा।

चलो कुछ असली PSD मैट्रिक्स हो; जिस परिभाषा से मैं जुड़ा हूं, वह सममित होगी। किसी भी वास्तविक सममित सकारात्मक निश्चित मैट्रिक्स को लिखा जा सकता है । यह द्वारा किया जा सकता $A$ $A$ $A = LL^T$ अगरओर्थोगोनलऔर विकर्णऔर $L=Q\sqrt{D}Q^T$ $A=QDQ^T$ $Q$ $D$ के घटक वार वर्ग जड़ों के मैट्रिक्स के रूप में। इस प्रकार, यह पूर्ण रैंक की जरूरत नहीं है। $\sqrt{D}$ $D$

को कुछ वेक्टर रैंडम वैरिएबल होने दें , उपयुक्त आयाम के, कोविरेस मैट्रिक्स (जो बनाना आसान है) के साथ। $Z$ $I$

तब में कोविरियन मैट्रिक्स । $LZ$ $A$

[कम से कम यह सिद्धांत में है। व्यवहार में यदि आप अच्छे परिणाम चाहते हैं, तो इससे निपटने के लिए विभिन्न संख्यात्मक मुद्दे होंगे, और - फ़्लोटिंग पॉइंट गणना की सामान्य समस्याओं के कारण - आपको केवल वही मिलेगा जो आपको चाहिए; यह है कि, एक गणना की आबादी विचरण आमतौर पर नहीं होगा वास्तव में । लेकिन इस तरह की बात हमेशा एक मुद्दा है जब हम वास्तव में चीजों की गणना करने के लिए आते हैं] $LZ$ $A$

— Glen_b -Reinstate मोनिका
स्रोत

हालांकि यह सच है कि एक अपघटन

पूर्ण रैंक के बिना संभव है, Cholesky एल्गोरिथ्म केवल नियमित रूप से साथ काम करता है

। तो पूरी रैंक के बिना, यह एक चोल्स्की अपघटन नहीं हो सकता है। कम्प्यूटेशनल रूप से, कोई भी विकर्ण द्वारा विलक्षण मामले में यह अपघटन कर सकता है। (हालांकि यह कहीं अधिक महंगा है)

A = L L^{'}

$A=LL'$

A

$A$

— हॉर्स्ट ग्रुनबश

@Horst: क्यों करेंगे

निम्न त्रिभुजाकार हो?

L = Q \sqrt{D} Q^{T}

$L=Q\sqrt{D}Q^T$

— अमीबा

@amoeba जबकि कोई इसे व्यवस्थित कर सकता है, इसलिए यह काम करने के तर्क के लिए कम त्रिकोणीय होना जरूरी नहीं है - यह चोल्स्की की एक विशेषता है, लेकिन काम करने के लिए परिणाम की आवश्यकता नहीं है।

— Glen_b -Reinstate मोनिका

@Glen सममित होने के लिए एक आवश्यक शर्त है PSD या कई में से एक है?

— 114

@ 114 सिमिट्रिक और PSD के बीच संबंध के लिए math.stackexchange.com/questions/516533/…

— फ्रैंक