बिवरिएट पॉइसन वितरण का वितरण

मैंने हाल ही में बीवरिएट पॉइसन वितरण का सामना किया है, लेकिन मैं थोड़ा भ्रमित हूं कि इसे कैसे प्राप्त किया जा सकता है।

वितरण द्वारा दिया गया है:

$P(X = x, Y = y) = e^{-(\theta_{1}+\theta_{2}+\theta_{0})} \displaystyle\frac{\theta_{1}^{x}}{x!}\frac{\theta_{2}^{y}}{y!} \sum_{i=0}^{min(x,y)}\binom{x}{i}\binom{y}{i}i!\left(\frac{\theta_{0}}{\theta_{1}\theta_{2}}\right)^{i}$

मैं जो इकट्ठा कर सकता हूं, $\theta_{0}$ शब्द $X$ और बीच सहसंबंध का एक उपाय है $Y$ ; इसलिए, जब $X$ और $Y$ स्वतंत्र होते हैं, तो $\theta_{0} = 0$ और वितरण केवल दो वितरण का उत्पाद बन जाता है।

इस बात को ध्यान में रखते हुए, मेरी उलझन समन अवधि पर पूर्वानुमेय है - मैं मान रहा हूं कि यह शब्द $X$ और बीच संबंध बताता है $Y$ ।

मुझे ऐसा लगता है कि समन द्विपद संचयी वितरण कार्यों के किसी प्रकार के उत्पाद का गठन करता है, जहां "सफलता" की संभावना $\left(\frac{\theta_{0}}{\theta_{1}\theta_{2}}\right)$ और "विफलता" की संभावना द्वारा दी गई है $i!^{\frac{1}{min(x,y)-i}}$ , क्योंकि $\left(i!^{\frac{1}{min(x,y)-i!}}\right)^{(min(x,y)-i)} = i!$ , लेकिन मैं इस के साथ बंद हो सकता है।

क्या कोई इस वितरण को प्राप्त करने के बारे में कुछ सहायता प्रदान कर सकता है? इसके अलावा, यदि यह किसी भी उत्तर में शामिल किया जा सकता है कि इस मॉडल को एक बहुभिन्नरूपी परिदृश्य (तीन या अधिक यादृच्छिक चर कहो) के लिए कैसे बढ़ाया जा सकता है, तो यह बहुत अच्छा होगा!

(अंत में, मैंने नोट किया है कि पहले भी इसी तरह का एक प्रश्न पोस्ट किया गया था ( बाइवेरिएट पॉइसन वितरण को समझना ), लेकिन व्युत्पत्ति वास्तव में खोजी नहीं गई थी।)

— user9171
स्रोत

घातांक के साथ पहला शब्द चाहिए, बजाय ?

e^{- (θ_{1} + θ_{2} + θ_{0})}

$e^{-\left( \theta_1 + \theta_2 + \theta_0 \right)}$

e^{θ_{1} + θ_{2} + θ_{0}}

$e^{\theta_1 + \theta_2 + \theta_0}$

— जिल्स

@Giles क्षमा करें, मैंने शुरू में आपकी टिप्पणी को गलत बताया - हाँ, आप सही हैं; शब्द को । उस पकड़ने के लिए धन्यवाद!

e^{- (θ_{1} + θ_{2} + θ_{0})}

$e^{-(\theta_{1}+\theta_{2}+\theta_{0})}$

— user9171

सामान्य तौर पर, यह कुछ पारंपरिक अपवादों ("उदाहरण के लिए सामान्य रूप से बहुभिन्नरूपी") के साथ, "अनिवारीट डिस्ट्रीब्यूशन के मल्टीवेरेट" संस्करणों के लिए "नहीं" है। बहुभिन्नरूपी एक्सटेंशन प्राप्त करने के कई तरीके हैं, जिनके आधार पर विशेषताओं का होना सबसे महत्वपूर्ण है। अलग-अलग लेखकों के पास अलग-अलग बहुभिन्नरूपी संस्करण हो सकते हैं, जो सामान्य यूनिवेरेट वितरण के होते हैं। तो आम तौर पर, एक कह सकते हैं "की तरह कुछ एक मल्टीवेरिएट प्वासों", या 'तो-और-तो द्विचर प्वासों है। "यह एक एक सुंदर प्राकृतिक एक है, लेकिन केवल एक नहीं।

— Glen_b -Reinstate मोनिका

(ctd) ... जैसे कुछ लेखक नकारात्मक निर्भरता में सक्षम बहुभिन्नरूपी वितरण की तलाश करते हैं, यह क्षमता जिसके पास नहीं है।

— Glen_b -Reinstate Monica

जवाबों:

एक स्लाइड प्रस्तुति में , कार्लिस और Ntzoufras एक द्विभाजित Poisson को के वितरण के रूप में परिभाषित जहां स्वतंत्र रूप से वितरण है। याद करें कि इस तरह के वितरण का मतलब है $(X,Y)=(X_1+X_0,X_2+X_0)$ $X_i$ $\theta_i$

Pr (X_{i} = k) = e^{- θ_{i}} \frac{θ_{i}^{k}}{k!}

$\Pr(X_i=k) = e^{-\theta_i}\frac{\theta_i^k}{k!}$

के लिए $k=0, 1, 2, \ldots.$

घटना घटनाओं की असंगति है $(X,Y)=(x,y)$

(X_{0}, X_{1}, X_{2}) = (i, x - i, y - i)

$(X_0,X_1,X_2) = (i,x-i,y-i)$

सभी के लिए सभी तीन घटकों को गैर-नकारात्मक पूर्णांक बनाता , जिससे हम इसे घटा सकते हैं $i$ $0 \le i \le \min(x,y)$ । क्योंकि स्वतंत्र हैं उनकी संभावनाएं हैं, जहां $X_i$

F_{(θ_{0}, θ_{1}, θ_{2})} (x, y) = Pr ((X, Y) = (x, y)) = \sum_{i = 0}^{min (x, y)} Pr (X_{0} = i) Pr (X_{1} = x - i) Pr (X_{2} = y - i) .

$F_{(\theta_0,\theta_1,\theta_2)}(x,y)=\Pr((X,Y)=(x,y)) \\= \sum_{i=0}^{\min(x,y)} \Pr(X_0=i)\Pr(X_1=x-i)\Pr(X_2=y-i).$

यह एक सूत्र है; हमारा हो गया। लेकिन यह देखने के लिए कि यह प्रश्न में सूत्र के बराबर है, इन संभावनाओं को पैरामीटर संदर्भ में लिखने के लिए डिस्ट्रीब्यूशन की परिभाषा का उपयोग करें और (न तो $\theta_i$ $\theta_1,\theta_2$ से को भी शून्य इसे फिर से काम करें) उत्पाद तरह जितना संभव हो सके देखने के लिए : $\Pr(X_1=x)\Pr(X_2=y)$

\begin{aligned} F_{(θ_{0}, θ_{1}, θ_{2})} (x, y) & = \sum_{i = 0}^{min (x, y)} (e^{- θ_{0}} \frac{θ_{0}^{i}}{i!}) (e^{- θ_{1}} \frac{θ_{1}^{x - i}}{(x - i)!}) (e^{- θ_{2}} \frac{θ_{2}^{y - i}}{(y - i)!}) \\ = e^{- (θ_{1} + θ_{2})} \frac{θ_{1}^{x}}{x!} \frac{θ_{2}^{y}}{y!} (e^{- θ_{0}} \sum_{i = 0}^{min (x, y)} \frac{θ_{0}^{i}}{i!} \frac{x! θ_{1}^{- i}}{(x - i)!} \frac{y! θ_{2}^{- i}}{(y - i)!}) . \end{aligned}

$\eqalign{ F_{(\theta_0,\theta_1,\theta_2)}(x,y)&= \sum_{i=0}^{\min(x,y)} \left( e^{-\theta_0} \frac{\theta_0^i}{i!}\right) \left( e^{-\theta_1} \frac{\theta_1^{x-i}}{(x-i)!}\right) \left( e^{-\theta_2} \frac{\theta_2^{y-i}}{(y-i)!}\right) \\ &=e^{-(\theta_1+\theta_2)}\frac{\theta_1^x}{x!}\frac{\theta_2^y}{y!}\left(e^{-\theta_0}\sum_{i=0}^{\min(x,y)} \frac{\theta_0^i}{i!}\frac{x!\theta_1^{-i}}{(x-i)!}\frac{y!\theta_2^{-i}}{(y-i)!}\right). }$

यदि आप वास्तव में चाहते हैं - यह कुछ हद तक विचारोत्तेजक है - आप द्विपद गुणांक और का उपयोग करके राशि में पुनः व्यक्त कर सकते हैं। , उपज $\binom{x}{i}=x!/((x-i)!i!)$ $\binom{y}{i}$

F_{(θ_{0}, θ_{1}, θ_{2})} (x, y) = e^{- (θ_{0} + θ_{1} + θ_{2})} \frac{θ_{1}^{x}}{x!} \frac{θ_{2}^{y}}{y!} \sum_{i = 0}^{min (x, y)} i! (\binom{x}{i}) (\binom{y}{i}) {(\frac{θ_{0}}{θ_{1} θ_{2}})}^{i},

$F_{(\theta_0,\theta_1,\theta_2)}(x,y) = e^{-(\theta_0+\theta_1+\theta_2)}\frac{\theta_1^x}{x!}\frac{\theta_2^y}{y!}\sum_{i=0}^{\min(x,y)}i!\binom{x}{i}\binom{y}{i}\left(\frac{\theta_0}{\theta_1\theta_2}\right)^i,$

बिल्कुल सवाल के रूप में।

बहुभिन्नरूपी परिदृश्यों का सामान्यीकरण कई तरीकों से आगे बढ़ सकता है, जो कि आवश्यक लचीलेपन पर निर्भर करता है। सरलतम वितरण के बारे में चिंतन करेगा

(X_{1} + X_{0}, X_{2} + X_{0}, \dots, X_{d} + X_{0})

$(X_1+X_0, X_2+X_0, \ldots, X_d+X_0)$

स्वतंत्र । अधिक लचीलेपन के लिए अतिरिक्त चर पेश किए जा सकते हैं। उदाहरण के लिए, स्वतंत्र Poisson वैरिएबल और , के बहुभिन्नरूपी वितरण पर विचार करें। $X_0, X_1, \ldots,X_d$ $\eta_i$ $Y_1, \ldots, Y_d$ $X_i + (Y_i + Y_{i+1} + \cdots + Y_d)$ $i=1, 2, \ldots, d.$

— व्हीबर
स्रोत

यार! Btw, चाहिए नहीं दूसरा बड़ा कोष्ठक अंतिम चरण से पहले में होना ?

e^{- θ_{0}}

$e^{-\theta_0}$

e^{- θ_{2}}

$e^{-\theta_2}$

— गाइल्स

@ गिल्स टाइपो को पकड़ने के लिए धन्यवाद - मैंने इसे ठीक किया। की प्रारंभिक प्रतिपादक होने की जरूरत ; कोष्ठकों के भीतर सही है।

θ_{0} + θ_{1}

$\theta_0+\theta_1$

θ_{1} + θ_{2}

$\theta_1+\theta_2$

e^{- θ_{0}}

$e^{-\theta_0}$

— whuber

@whuber एक लाख धन्यवाद! यह एक सही जवाब है!

— user9171

@ शुभ उत्तर शानदार! मैं अभी भी नहीं देखता कि क्यों घटना घटनाओं का संघ होनी चाहिए । मुझे लगता है कि यह केवल लिए सच है । शायद आपका मतलब (घटक-वार) था? लेकिन क्या यह वितरण समारोह की विशेषता के लिए पर्याप्त है?

(X, Y) = (x, y)

$(X,Y) = (x,y)$

(X_{0}, X_{1}, X_{2}) = (i, x - i, y - i)

$(X_0,X_1,X_2)=(i,x-i,y-i)$

i = 0

$i=0$

(X, Y) \leq (x, y)

$(X,Y) \leq (x,y)$

— vanguard2k

@ vanguard2k मुझे आपकी टिप्पणी समझ नहीं आ रही है। क्या आप उन घटनाओं को मानने से इनकार नहीं कर रहे हैं ? (फिर भी उन्हें अवश्य होना चाहिए, क्योंकि उनके पास अलग-अलग मूल्य हैं ।) या आप जोर दे रहे हैं कि वे संपूर्ण नहीं हैं? (यदि हां, तो क्या मूल्य (के रों) आप शामिल है लगता है कि नहीं की गई?)

X_{0}

$X_0$

(X, Y)

$(X,Y)$

— whuber

यहाँ एक तरीका है बीवरिएट पॉइज़न वितरण को प्राप्त करने का।

चलो मानकों के साथ स्वतंत्र प्वाइजन यादृच्छिक परिवर्तनीय होना । फिर हम । चर , दोनों के लिए आम एक , इस जोड़ी का कारण बनता है सहसंबद्ध। तब हमें प्रायिकता द्रव्यमान की गणना करनी चाहिए: $X_0, X_1, X_2$ $\theta_0, \theta_1, \theta_2$ $Y_1=X_0+X_1, Y_2 = X_0+X_2$ $X_0$ $Y_1$ $Y_2$ $(Y_1, Y_2)$

\begin{aligned} P (Y_{1} = y_{1}, Y_{2} = y_{2}) & = P (X_{0} + X_{1} = y_{1}, X_{0} + X_{2} = y_{2}) \\ = \sum_{x_{0} = 0}^{min (y_{1}, y_{2})} P (X_{0} = x_{0}) P (X_{1} = y_{1} - x_{0}) P (X_{2} = y_{2} - y_{0}) \\ = \sum_{x_{0} = 0}^{min (y_{1}, y_{2})} e^{- θ_{0}} \frac{{θ_{0}}^{x_{0}}}{x_{0}!} e^{- θ_{1}} \frac{{θ_{1}}^{y_{1} - x_{0}}}{(y_{1} - x_{0})!} e^{- θ_{2}} \frac{{θ_{2}}^{y_{2} - x_{0}}}{(y_{2} - x_{0})!} \\ = e^{- θ_{0} - θ_{1} - θ_{2}} {θ_{1}}^{y_{1}} {θ_{2}}^{y_{2}} \sum_{x_{0} = 0}^{min (y_{1}, y_{2})} {(\frac{θ_{0}}{θ_{1} θ_{2}})}^{x_{0}} x_{0}! (\binom{y_{1}}{x_{0}}) (\binom{y_{2}}{x_{0}}) \end{aligned}

$\begin{align} P(Y_1=y_1, Y_2=y_2) &= P(X_0+X_1=y_1, X_0+X_2=y_2) \\ &= \sum_{x_0=0}^{\min(y_1, y_2)} P(X_0=x_0) P(X_1=y_1-x_0) P(X_2=y_2-y_0) \\ &= \sum_{x_0=0}^{\min(y_1, y_2)} e^{-\theta_0} \frac{{\theta_0}^{x_0}}{x_0!} e^{-\theta_1} \frac{{\theta_1}^{y_1-x_0}}{(y_1-x_0)!} e^{-\theta_2} \frac{{\theta_2}^{y_2-x_0}}{(y_2-x_0)!} \\ &= e^{-\theta_0-\theta_1-\theta_2} {\theta_1}^{y_1} {\theta_2}^{y_2} \sum_{x_0=0}^{\min(y_1,y_2)} \left(\frac{\theta_0}{\theta_1 \theta_2}\right)^{x_0} x_0! \binom{y_1}{x_0} \binom{y_2}{x_0} \end{align}$
उम्मीद है कि यह मदद करता है!

— kjetil b halvorsen
स्रोत

हाय केजेटिल - मैंने स्वरूपण के साथ समस्याओं को ठीक किया (लेकिन, जितना संभव हो उतना कम बदलने की इच्छा रखते हुए, कई टाइपो को बरकरार रखा है)। मुझे समझ में नहीं आता है कि आप मेरे पहले उत्तर में व्युत्पत्ति की प्रतिकृति क्यों पोस्ट कर रहे हैं, खासकर जब आपने रास्ते में कुछ महत्वपूर्ण कारकों को खो दिया है जिससे अंतिम परिणाम गलत हो सकता है। क्या कोई विशेष बिंदु है जिसे आप बनाने की कोशिश कर रहे हैं?

T E X

$\TeX$

— whuber

whuber: मैंने आपके जवाब से पहले अपना जवाब लिखना शुरू कर दिया है जहाँ पोस्ट किया गया है! और, मैंने इसे नहीं लिखा होगा।

— kjetil b halvorsen