प्रतिगमन में साधन के अंतर के लिए आत्मविश्वास अंतराल

Question

मान लीजिए कि मेरे पास एक द्विघात प्रतिगमन मॉडल है साथ त्रुटियां सामान्य मान्यताओं को संतुष्ट करती हैं (स्वतंत्र, सामान्य, मूल्यों से स्वतंत्र )। बता दें कि सबसे कम वर्ग के अनुमान हैं।

$$Y = \beta_0 + \beta_1 X + \beta_2 X^2 + \epsilon$$ $\epsilon$$X$$b_0, b_1, b_2$

मेरे पास दो नए मान और , और मुझे लिए एक विश्वास अंतराल प्राप्त करने में दिलचस्पी है ।$X$$x_1$$x_2$$v = E(Y|X = x_2) - E(Y|X=x_1) = \beta_1 (x_2 - x_1) + \beta_2 (x_2^2 - x_1^2)$

बिंदु का अनुमान , और (मुझे गलत होने पर सही करें) मैं द्वारा विचरण का अनुमान लगा सकता हूं सॉफ्टवेयर द्वारा प्रदान किए गए गुणांकों के विचरण और सहसंयोजक अनुमानों का उपयोग करते हुए।$\hat{v} = b_1 (x_2 - x_1) + b_2 (x_2^2 - x_1^2)$

$$\hat{s}^2 = (x_2 - x_1)^2 \text{Var}(b_1) + (x_2^2 - x_1^2)^2 \text{Var}(b_2) + 2 (x_2 - x_1)(x^2 - x_1^2)\text{Cov}(b_1, b_2)$$

मैं एक सामान्य सन्निकटन इस्तेमाल कर सकते हैं और ले के लिए एक 95% विश्वास अंतराल के रूप में , या मैं एक बूटस्ट्रैप विश्वास अंतराल इस्तेमाल कर सकते हैं, लेकिन वहाँ बाहर सटीक वितरण काम करने के लिए एक रास्ता है और उस का उपयोग करें?$\hat{v} \pm 1.96 \hat{s}$$v$

Comments

क्योंकि त्रुटियों को सामान्य माना जाता है, फिर पैरामीटर का अनुमान है - डेटा के रैखिक कार्य होने के कारण, त्रुटियों की तीव्रता भी - खुद को सामान्य होना चाहिए, लिए एक सामान्य वितरण का अर्थ है । $\hat{v}$

— whuber

तो क्या आप कह रहे हैं कि सामान्य आत्मविश्वास अंतराल सही है? अगर मैं सही ढंग से समझूं, तो उस तर्क से हम मापदंडों के लिए सामान्य विश्वास अंतराल का भी उपयोग करेंगे। लेकिन हम टी वितरण के आधार पर अंतराल का उपयोग करते हैं।

— mark999

T वितरण का उपयोग किया जाता है क्योंकि आप त्रुटि विचरण का अनुमान लगा रहे हैं; यदि यह ज्ञात होता है तो आप @whuber कहते हैं कि एक सामान्य वितरण होगा।

— जेएमएस

आपके कमेंट के लिए धन्यवाद। मैं जो पूछ रहा हूं, क्या t वितरण का उपयोग v के लिए एक विश्वास अंतराल के लिए भी किया जा सकता है, जैसा कि प्रश्न में परिभाषित किया गया है, और यदि हां, तो स्वतंत्रता के कितने डिग्री के साथ?

— mark999

सभी संस्करण और सहसंयोजक अंत में अवशिष्ट के अनुमानित विचरण पर निर्भर करते हैं। इस प्रकार उपयोग करने वाला डीएफ इस अनुमान में डीएफ है, डेटा मानों की संख्या के बराबर पैरामीटर की संख्या (स्थिर सहित)।

— whuber

Answer 1

सामान्य परिणाम आप देख रहे हैं (कहा मान्यताओं के तहत) इस प्रकार है: के साथ रेखीय प्रतीपगमन के लिए भविष्यवक्ता चर (आप दो, है और ) और एक अवरोध पैदा करते हैं तो साथ टिप्पणियों, डिजाइन मैट्रिक्स, आयामी आकलनकर्ता और$p$$X$$X^2$$n$$\mathbf{X}$$n \times (p+1)$$\hat{\beta}$$p+1$$a \in \mathbb{R}^{p+1}$

$$\frac{a^T\hat{\beta} - a^T \beta}{\hat{\sigma} \sqrt{a^T(\mathbf{X}^T\mathbf{X})^{-1}a}} \sim t_{n-p-1}.$$

परिणाम यह है कि आप किसी भी निर्देशांक के लिए एक विश्वास अंतराल का निर्माण करने के लिए उपयोग किए जाने वाले एक ही distribution का उपयोग करके वेक्टर के किसी भी रैखिक संयोजन के लिए आत्मविश्वास अंतराल का निर्माण कर सकते हैं ।$\beta$$t$

आपके मामले में, और । ऊपर दिए गए सूत्र में भाजक मानक त्रुटि के अनुमान के रूप में आप जो गणना करते हैं उसका वर्गमूल है (बशर्ते कि यह सॉफ्टवेयर गणना करता है ...)। ध्यान दें कि विचरण अनुमानक, , (सामान्य) निष्पक्ष अनुमानक माना जाता है, जहां आप स्वतंत्रता की डिग्री, विभाजित करते हैं , और टिप्पणियों की संख्या ।$p = 2$$a^T = (0, x_2 - x_1, x_2^2 - x_1^2)$$\hat{\sigma}^2$$n-p-1$$n$

Comments

धन्यवाद, यह ठीक उसी तरह की बात है जिसकी मुझे तलाश थी। लेकिन क्या सूत्र में कोई गलती है? आयामों में मेल नहीं खाता$a^T(\mathbf{X}^T\mathbf{X})^{-1}a$। चाहिए$\mathbf{X}$ बनो $n \times (p+1)$पहले कॉलम में मैट्रिक्स वाले?

— mark999

@ mark999, हाँ, $\mathbf{X}$ है $p+1$कॉलम। मैंने जवाब में उसे सही किया है। धन्यवाद।

— एनआरएच