मिक्स के आदेश के आधार पर 'अनमिक्स' भागों का वितरण

मान लीजिए कि मैंने रूप में खींची गई टिप्पणियों को युग्मित किया है के लिए । Let AND दर्शा द्वारा की वां सबसे बड़ा मनाया मूल्य । का (सशर्त) वितरण क्या है ? (या समकक्ष, ) $X_i \sim \mathcal{N}\left(0,\sigma_x^2\right), Y_i \sim \mathcal{N}\left(0,\sigma_y^2\right),$ $i=1,2,\ldots,n$ $Z_i = X_i + Y_i,$ $Z_{i_j}$ $j$ $Z$ $X_{i_j}$ $Y_{i_j}$

यह है कि, क्या का वितरण है पर सशर्त जा रहा है वें में से सबसे बड़ी की प्रेक्षित मान ? $X_i$ $Z_i$ $j$ $n$ $Z$

मैं अनुमान लगा रहा हूं कि as , वितरण सिर्फ के बिना शर्त वितरण में परिवर्तित होता है , जबकि , का वितरण के th क्रम सांख्यिकीय के बिना शर्त वितरण में परिवर्तित होता है । हालांकि, बीच में, मैं अनिश्चित हूं। $\rho = \frac{\sigma_x}{\sigma_y} \to 0$ $X_{i_j}$ $X$ $\rho \to \infty$ $X_{i_j}$ $j$ $X$

distributions order-statistics shrinkage

— shabbychef
स्रोत

मैंने "मिश्रण" टैग को हटा दिया क्योंकि यह एक योग के बारे में एक सवाल है (या, समकक्ष, सहसंबद्ध सामान्य चर के बारे में), उनके बारे में नहीं।

— whuber

X_{i}

$X_i$ भी की स्वतंत्र माना जाता है , हाँ?

Y_{i}

$Y_i$

— कार्डिनल

@कार्डिनल: हाँ, वे स्वतंत्र हैं।

— shabbychef

हाल ही में और संबंधित प्रश्न जो मैथ पर पॉप अप हुए थे। ईएस: math.stackexchange.com/questions/38873/…

— कार्डिनल

Math.SE पर पोस्ट किया गया समाधान वैचारिक रूप से मेरे द्वारा दिए गए समाधान के समान है - लेकिन थोड़ा अलग शब्दावली का उपयोग करके तैयार किया गया।

— एनआरएच

जवाबों:

ध्यान रखें कि रैंडम वेरिएबल केवल का एक कार्य है । एक के लिए -vector, , हम लिख के सूचकांक के लिए वां सबसे बड़ा समन्वय। भी करते हैं निरूपित सशर्त के वितरण दिया । $i_j$ $\mathbf{Z} = (Z_1, \ldots, Z_n)$ $n$ $\mathbf{z}$ $i_j(\mathbf{z})$ $j$ $P_z(A) = P(X_1 \in A \mid Z_1 = z)$ $X_1$ $Z_1$

यदि हम के मान के अनुसार संभावनाओं को और wrt प्राप्त करते हैं तो हम प्राप्त करते हैं $i_j$ $\mathbf{Z}$

\begin{array}{rcl} P (X_{i_{j}} \in A) & = & \sum_{k} P (X_{k} \in A, i_{j} = k) \\ = & \sum_{k} \int_{(i_{j} (z) = k)} P (X_{k} \in A ∣ Z = z) P (Z \in d z) \\ = & \sum_{k} \int_{(i_{j} (z) = k)} P (X_{k} \in A ∣ Z_{k} = z_{k}) P (Z \in d z) \\ = & \sum_{k} \int_{(i_{j} (z) = k)} P_{z_{k}} (A) P (Z \in d z) \\ = & \int P_{z} (A) P (Z_{i_{j}} \in d z) \end{array}

$\begin{array}{rcl} P(X_{i_j} \in A) & = & \sum_{k} P(X_k \in A, i_j = k) \\ & = &\sum_k \int_{(i_j(z) = k)} P(X_k \in A \mid \mathbf{Z} = \mathbf{z}) P(\mathbf{Z} \in d\mathbf{z}) \\ & = & \sum_k \int_{(i_j(z) = k)} P(X_k \in A \mid Z_k = z_k) P(\mathbf{Z} \in d\mathbf{z}) \\ & = & \sum_k \int_{(i_j(z) = k)} P_{z_k}(A) P(\mathbf{Z} \in d\mathbf{z}) \\ & = & \int P_{z}(A) P(Z_{i_j} \in dz) \\ \end{array}$

यह तर्क काफी सामान्य है और केवल निर्दिष्ट iid मान्यताओं पर निर्भर करता है, और किसी भी दिए गए फ़ंक्शन । $Z_k$ $(X_k, Y_k)$

सामान्य वितरण की धारणाओं ( ) और का योग होने के कारण, को का सशर्त वितरण और @probabilityislogic से पता चलता है कि के वितरण की गणना कैसे की , इसलिए हमारे पास है उपर्युक्त अंतिम अभिन्न में प्रवेश करने वाले दोनों वितरणों के लिए स्पष्ट अभिव्यक्तियाँ। क्या अभिन्न अभिन्न रूप से गणना की जा सकती है एक और सवाल है। आप सक्षम हो सकते हैं, लेकिन मेरे सिर के ऊपर से मैं बता नहीं सकता कि क्या यह संभव है। विश्लेषण के लिए जब या $\sigma_y = 1$ $Z_k$ $X_1$ $Z_1 = z$

N (\frac{σ_{x}^{2}}{1 + σ_{x}^{2}} z, σ_{x}^{2} (1 - \frac{σ_{x}^{2}}{1 + σ_{x}^{2}}))

$N\left(\frac{\sigma_x^2}{1+\sigma_x^2} z, \sigma_x^2\left(1 - \frac{\sigma_x^2}{1+\sigma_x^2}\right)\right)$

Z_{i_{j}}

$Z_{i_j}$

σ_{x} \to 0

$\sigma_x \to 0$

σ_{x} \to \infty

$\sigma_x \to \infty$ यह आवश्यक नहीं हो सकता है।

ऊपर की गणना के पीछे अंतर्ज्ञान यह एक सशर्त स्वतंत्रता तर्क है। दिए गए चर और स्वतंत्र हैं। $Z_{k} = z$ $X_{k}$ $i_j$

— NRH
स्रोत

का वितरण मुश्किल नहीं है, और यह बीटा-एफ यौगिक वितरण द्वारा दिया गया है: $Z_{i_{j}}$

p_{Z_{i_{j}}} (z) d z = \frac{n!}{(j - 1)! (n - j)!} \frac{1}{σ_{z}} ϕ (\frac{z}{σ_{z}}) {[Φ (\frac{z}{σ_{z}})]}^{j - 1} {[1 - Φ (\frac{z}{σ_{z}})]}^{n - j} d z

$p_{Z_{i_{j}}}(z)dz=\frac{n!}{(j-1)!(n-j)!} \frac{1}{\sigma_{z}}\phi(\frac{z}{\sigma_{z}})\left[\Phi(\frac{z}{\sigma_{z}})\right]^{j-1}\left[1-\Phi(\frac{z}{\sigma_{z}})\right]^{n-j}dz$

जहां एक सामान्य सामान्य पीडीएफ है, और $\phi(x)$ $\Phi(x)$ एक सामान्य सीडीएफ मानक है, और $\sigma_{z}^{2}=\sigma_{y}^{2}+\sigma_{x}^{2}$ ।

अब अगर आपको वह दिया जाता है $Y_{i_{j}}=y$ , फिर $X_{i_{j}}$ का 1-टू -1 कार्य है $Z_{i_{j}}$ , अर्थात् $X_{i_{j}}=Z_{i_{j}}-y$ । इसलिए मुझे लगता है कि यह जकोबियन नियम का एक सरल अनुप्रयोग होना चाहिए।

p_{X_{i_{j}} | Y_{i_{j}}} (x | y) = \frac{n!}{(j - 1)! (n - j)!} \frac{1}{σ_{z}} ϕ (\frac{x + y}{σ_{z}}) {[Φ (\frac{x + y}{σ_{z}})]}^{j - 1} {[1 - Φ (\frac{x + y}{σ_{z}})]}^{n - j} d x

$p_{X_{i_{j}}|Y_{i_{j}}}(x|y)=\frac{n!}{(j-1)!(n-j)!} \frac{1}{\sigma_{z}}\phi(\frac{x+y}{\sigma_{z}})\left[\Phi(\frac{x+y}{\sigma_{z}})\right]^{j-1}\left[1-\Phi(\frac{x+y}{\sigma_{z}})\right]^{n-j}dx$

यह बहुत आसान लगता है, लेकिन मुझे लगता है कि यह सही है। खुश गलत दिखाया गया है।

— probabilityislogic
स्रोत

आपने प्रश्न को गलत समझा है। मैं के वितरण के लिए देख रहा हूँ

X_{i_{j}}

$X_{i_j}$ के एक समारोह के रूप में

j, n, σ_{x}, σ_{y}

$j, n, \sigma_x, \sigma_y$ । मैं वास्तव में निरीक्षण नहीं करता हूं

X_{i}

$X_i$ तथा

Y_{i}

$Y_i$ , और उन पर कोई शर्त नहीं लगा सकता। एक मान सकते हैं, कि wlog

σ_{x} = 1

$\sigma_x = 1$ , और इस प्रकार केवल मापदंडों पर विचार करें

j, n, σ_{y}

$j, n, \sigma_y$ ।

— shabbychef

ठीक है - तो मूल रूप से आप की जरूरत है

y

$y$ इस समीकरण से हटाया गया? (बाहर एकीकृत)

— probabilityislogic

हाँ; और यह Z से स्वतंत्र नहीं है ...

— shabbychef