एक उलटा विसारत वितरित मैट्रिक्स के विकर्ण का सीमांत वितरण

मान लीजिए कि । मैं विकर्ण तत्वों के सीमांत वितरण में रुचि रखता हूं । के सबमैट्रिस के वितरण पर कुछ सरल परिणाम हैं (कम से कम कुछ विकिपीडिया पर सूचीबद्ध हैं)। इससे मैं यह पता लगा सकता हूं कि विकर्ण पर किसी एक तत्व का सीमांत वितरण गामा के विपरीत है। लेकिन मैं संयुक्त वितरण में असमर्थ रहा हूँ। $X\sim \operatorname{InvWishart}(\nu, \Sigma_0)$ $\operatorname{diag}(X) = (x_{11}, \dots, x_{pp})$ $X$

मैंने सोचा कि शायद यह रचना द्वारा प्राप्त किया जा सकता है, जैसे:

p (x_{11} | x_{i i}, i > 1) p (x_{22} | x_{i i}, i > 2) \dots p (x_{(p - 1) (p - 1)} | x_{p p}) p (x_{p p}),

$p(x_{11} | x_{ii}, i\gt 1)p(x_{22}|x_{ii}, i>2)\dots p(x_{(p-1)(p-1)}|x_{pp})p(x_{pp}),$

लेकिन मुझे इसके साथ कहीं भी नहीं मिला और आगे भी संदेह है कि मैं कुछ सरल याद कर रहा हूं; ऐसा लगता है कि यह "जाना चाहिए" जाना जाता है, लेकिन मैं इसे खोजने / दिखाने में सक्षम नहीं हूं।

distributions probability pdf

— JMS
स्रोत

बिलोडो और ब्रेनर का प्रस्ताव 7.9 (पीडीएफ वेब पर स्वतंत्र रूप से उपलब्ध है) विशर के लिए एक आशाजनक परिणाम देता है (शायद यह उलटा विसारट के लिए वहन करता है)। यदि आप को रूप में , तो Wishart है, जैसा कि , और वे स्वतंत्र हैं।

X

$X$

X_{11}, X_{12}; X_{21}, X_{22}

$X_{11},X_{12};X_{21},X_{22}$

X_{22}

$X_{22}$

X_{11} - X_{12} X_{22}^{- 1} X_{21}

$X_{11} - X_{12}X_{22}^{-1}X_{21}$

— shabbychef

यह प्रस्ताव केवल तभी लागू होता है जब आप पूरे मैट्रिक्स को जानते हैं: यदि आपको केवल विकर्ण मिला है, तो आप नहीं जानते हैं , इसलिए आप परिवर्तन नहीं कर सकते।

X_{12}

$X_{12}$

— पेट्रेलर्प

सामान्य तौर पर कोई भी सहसंयोजक मैट्रिक्स को एक विखंडन-सहसंबंध अपघटन में रूप में विघटित कर सकता है। Here इकाई विकर्ण साथ सहसंबंध मैट्रिक्स है । इस प्रकार, की विकर्ण प्रविष्टियाँ अब variances विकर्ण मैट्रिक्स का एक हिस्सा हैं । चूंकि विचरण मैट्रिक्स के ऑफ विकर्ण प्रविष्टियां शून्य , आप जो संयुक्त वितरण देख रहे हैं, वह प्रत्येक विकर्ण प्रविष्टि के सीमांत वितरण का उत्पाद है।

Σ = diag (Σ) Q diag (Σ)^{⊤} = D Q D^{⊤}

$\Sigma = \text{diag}(\Sigma) \ Q \ \text{diag}(\Sigma)^\top = D\ Q \ D^\top$

Q

$Q$

q_{i i} = 1

$q_{ii} = 1$

Σ

$\Sigma$

D = [D]_{i i} = [Σ]_{i i}

$D = [D]_{ii} = [\Sigma]_{ii}$

d_{i j} = 0, i \neq j

$d_{ij} = 0, \ i \ne j$

अब -dimensional सहसंयोजक मैट्रिक्स लिए मानक व्युत्क्रम-विसारत मॉडल पर विचार करें $d$ $\Sigma$

Σ \sim I W (ν + d - 1, 2 ν Λ), ν > d - 1

$\Sigma \sim \mathcal{IW}(\nu +d -1, 2\nu \Lambda), \quad \nu > d-1$

विकर्ण तत्व को से रूप में वितरित किया जाता है $\sigma_{ii} = [\Sigma]_{ii}$

σ_{i i} \sim inv- χ^{2} (ν + d - 1, \frac{λ_{i i}}{ν - d + 1})

$\sigma_{ii} \sim \text{inv-$\chi^2$}\left(\nu+d-1,\frac{\lambda_{ii}}{\nu -d + 1}\right)$

सहसंयोजक मैट्रिक्स के लिए विभिन्न प्रकार के पुजारियों के साथ एक अच्छा संदर्भ जो विभिन्न विचरण-सहसंबंध वितरण में विघटित होता है, यहां दिया गया है

— user3303
स्रोत