अनीसोट्रोपिक सीमा मेषों के साथ असंगत प्रवाह के लिए स्थानिक विवेक क्या काम करते हैं?

उच्च रेनॉल्ड्स संख्या प्रवाह बहुत पतली सीमा परतों का उत्पादन करते हैं। यदि बड़े एडी सिमुलेशन में दीवार रिज़ॉल्यूशन का उपयोग किया जाता है, तो पहलू अनुपात के आदेश पर हो सकता है $10^6$ । इस पद्धति में कई विधियां अस्थिर हो जाती हैं क्योंकि inf-sup निरंतरता अनुपात के वर्गमूल के रूप में खराब होती है या बदतर होती है। Inf-sup स्थिरांक महत्वपूर्ण है क्योंकि यह रैखिक प्रणाली की स्थिति संख्या और असतत समाधान के सन्निकटन गुणों को प्रभावित करता है। विशेष रूप से, असतत त्रुटि होल्ड पर एक प्राथमिक सीमा निम्नलिखित है (ब्रेज़ी और फोर्टिन 1991)

\begin{aligned} μ ‖ u - u_{h} ‖_{H^{1}} \leq C [\frac{μ}{β} inf_{v \in V} ‖ u - v ‖_{H^{1}} + inf_{q \in Q} ‖ p - q ‖_{L^{2}}] \\ ‖ p - p_{h} ‖_{L^{2}} \leq \frac{C}{β} [\frac{μ}{β} inf_{v \in V} ‖ u - v ‖_{H^{1}} + inf_{q \in Q} ‖ p - q ‖_{L^{2}}] \end{aligned}

$\begin{split} \mu \lVert {\mathbf u} - \mathbf u_h \rVert_{H^1} \le C \left[ \frac{\mu}{\beta} \inf_{\mathbf v \in \mathcal V} \lVert{\mathbf u - \mathbf v}\rVert_{H^1} + \inf_{q \in \mathcal Q} \lVert p-q \rVert_{L^2} \right] \\ \lVert{p - p_h}\rVert_{L^2} \le \frac{C}{\beta} \left[ \frac{\mu}{\beta} \inf_{\mathbf v \in \mathcal V} \lVert{\mathbf u - \mathbf v}\rVert_{H^1} + \inf_{q\in \mathcal Q} \lVert{p-q}\rVert_{L^2} \right] \end{split}$

जहां $\mu$ गतिशील चिपचिपाहट है और $\beta$ inf-sup स्थिरांक है। इससे हम देखते हैं कि $\beta \to 0$ , वेग और (विशेष रूप से) दबाव सन्निकटन परिमित तत्व स्थान में उपलब्ध सर्वोत्तम से भी बदतर हो जाता है (यानी गैलेर्किन इष्टतमता $\beta^{-1}$ और रूप में बढ़ती है $\beta^{-2}$ क्रमशः)।

पहलू अनुपात से स्वतंत्र समान अंतर-स्थिरता क्या है?

इनमे से किसका उपयोग असंरचित मेषों के साथ किया जा सकता है?

अनुमान उच्च आदेश सन्निकटन के लिए कैसे सामान्य होते हैं?

— जेड ब्राउन
स्रोत

मैक परिमित अंतर योजनाएं (हार्लो और वेल्च 1965) समान रूप से स्थिर हैं, लेकिन चिकनी संरचित ग्रिड की आवश्यकता होती है और केवल दूसरा क्रम सटीक होता है।

परिमित तत्व विधियों को असंरचित और उच्च क्रम विधियों के लिए पसंद किया जाता है। निरंतर गैलेरकिन परिमित तत्व विधियों के लिए, कोई ज्ञात स्थान नहीं है जिसमें इष्टतम सन्निकटन गुण हैं और समान रूप से स्थिर हैं।

$Q_k-P_{k-1}^{\mathrm{disc}}$ में इष्टतम सन्निकटन गुण होते हैं और स्थानीय रूप से रूढ़िवादी होते हैं, लेकिन पहलू अनुपात के वर्गमूल के रूप में inf-sup निरंतर गिरावट होती है। विवरण के लिए बर्नार्डी और मैडे 1999 देखें।
$Q_k-Q_{k-2}^{\mathrm{disc}}$ में पहलू अनुपात का inf-sup निरंतर स्वतंत्र है और स्थानीय रूप से रूढ़िवादी है, लेकिन inf-sup निरंतर पैमानों के रूप में बहुपद क्रम में वृद्धि के रूप में आकार-नियमित रूप से मेश पर बढ़ाया जाता है। हैंगिंग नोड्स या रीएंट्रेंट कॉर्नर वाले मेज़ पर, यह बाउंड 2 डी (स्कोत्ज़ाउ एट अल 1998) में तेज है, लेकिन आगे 3 डी (तोसेली और श्वाब 2003) में गिरावट है। $\mathcal{O}\left(k^{\frac{1-d}{2}}\right)$ $k^{-3/2}$
Rannacher और Turek 1994 से घुमाया गया गैर अनुरूपण तत्व समान रूप से स्थिर है, इसमें इष्टतम सन्निकटन गुण हैं, और स्थानीय रूप से रूढ़िवादी है, लेकिन यह असतत कॉर्न की असमानता को संतुष्ट नहीं करता है, इसलिए इसे कुछ सीमा स्थितियों के लिए सीमा सुधार की आवश्यकता होती है और इसका उपयोग नहीं किया जा सकता है। चर चिपचिपाहट प्रवाह। लेखकों द्वारा बाद में काम करने के लिए किनारे के गुच्छे का उपयोग करके इन तरीकों को स्थिर करने के लिए नीचा दिखाया गया है, लेकिन परिणामस्वरूप विवेक कई आकर्षक दक्षता गुणों को खो देते हैं। $Q_1-P_0$
Ainsworth और Coggins 2000 उच्च तकनीकी रिक्त स्थान का निर्माण करते हैं जो कुछ हद तक बेहतर होते हैं, लेकिन सीमित उपयोगिता के लगते हैं।

बंद Galerkin के लिए, तस्वीर कुछ बेहतर है:

स्थान समान रूप से स्थिर है और इसमें इष्टतम सन्निकटन गुण (Schoetzau, Schwab, और Toselli 2004) हैं। यह संयोजन निरंतर वेग रिक्त स्थान के साथ उपलब्ध नहीं है। Inf- सुपर स्थिरांक अभी भी बहुपद डिग्री पर निर्भर है, हालांकि, रूप में स्केलिंग करता है । $Q_k-Q_{k-1}$ $k^{-3/2}$

— जेड ब्राउन
स्रोत