परिमित अंतर विधियों के लिए वॉन न्यूमैन स्थिरता विश्लेषण के विकल्प

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मैं युग्मित एक आयामी पारलौकिकता समीकरण (बायोट का मॉडल) को हल करने पर काम कर रहा हूं , जैसे:

- (λ + 2 μ) \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial p}{\partial x} = 0

$-(\lambda+ 2\mu) \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial p}{\partial x} = 0$

डोमेन पर

और सीमा की स्थिति के साथ:

\frac{\partial}{\partial t} [γ p + \frac{\partial u}{\partial x}] - \frac{κ}{η} [\frac{\partial^{2} p}{\partial x^{2}}] = q (x, t)

$\frac{\partial}{\partial t} \left[ \gamma p + \frac{\partial u}{\partial x}\right] -\frac{\kappa}{\eta}\left[\frac{\partial^2 p}{\partial x^2}\right] =q(x,t)$

Ω = (0, 1)

$\Omega=(0,1)$

मेंऔर $p=0, (\lambda + 2\mu)\frac{\partial u}{\partial x}=-u_0$ $x=0$ पर। $u=0, \frac{\partial p}{\partial x} = 0$ $x=1$

मैंने एक केंद्रित परिमित अंतर योजना का उपयोग करके इन समीकरणों को अलग कर दिया:

(λ + 2 μ) \frac{u_{i + 1}^{t + 1} - 2 u_{i}^{t + 1} + u_{i - 1}^{t + 1}}{Δ x^{2}} + \frac{p_{i + 1}^{t + 1} - p_{i - 1}^{t + 1}}{2 Δ x} = 0

$(\lambda + 2\mu)\frac{u^{t+1}_{i+1}-2u^{t+1}_i+u^{t+1}_{i-1}}{\Delta x^2} + \frac{p^{t+1}_{i+1}-p^{t+1}_{i-1}}{2\Delta x} = 0$

γ \frac{p_{i}^{t + 1} - p_{i}^{t}}{Δ t} + \frac{u_{i + 1}^{t + 1} - u_{i - 1}^{t + 1}}{2 Δ x Δ t} - [\frac{u_{i + 1}^{t} - u_{i - 1}^{t}}{2 Δ x Δ t}] - \frac{κ}{η} [\frac{p_{i + 1}^{t + 1} - 2 p_{i}^{t + 1} + p_{i - 1}^{t + 1}}{Δ x^{2}}] = q_{i}^{t + 1}

$\gamma \frac{p^{t+1}_i-p^t_i}{\Delta t} + \frac{u^{t+1}_{i+1}-u^{t+1}_{i-1}}{2\Delta x \Delta t} -\left[ \frac{u^t_{i+1}-u^t_{i-1}}{2\Delta x \Delta t}\right] - \frac{\kappa}{\eta}\left[ \frac{p^{t+1}_{i+1} -2p^{t+1}_i + p^{t+1}_{i-1}}{\Delta x^2}\right]=q^{t+1}_i$

मैं वर्तमान में इसकी स्थिरता और स्थिरता का विश्लेषण करके योजना के अभिसरण के विवरण पर काम कर रहा हूं। स्थिरता वाला हिस्सा मुझे काफी सीधा लगता है, लेकिन मैं स्थिरता विश्लेषण के साथ पहले से ही कुछ कठिनाइयों का सामना कर रहा हूं। सबसे पहले, दो चर और दो समीकरण हैं। दूसरे, दूसरे समीकरण में मिश्रित स्पोटेमपोर्मल व्युत्पन्न शब्द भी है। मैं वॉन न्यूमैन स्थिरता विश्लेषण से परिचित हूं और देख सकता हूं कि इस विधि के साथ स्थिरता स्थापित करना बहुत कठिन होगा। क्या वॉन न्यूमैन विश्लेषण के कोई विकल्प हैं जो मैं उपयोग कर सकता हूं?

— पॉल
स्रोत

1

t

$t$

x

$x$

u

$u$

p

$p$

u

$u$

यह एक ही समस्या है, चाहे आप इसे एक सिस्टम या स्केलर पीडीई के रूप में लिखें।

— डेविड केचेसन

7

$\frac{\partial u}{\partial x}$ $u_x$

[\begin{matrix} 0 & 0 \\ I & I \end{matrix}] \frac{d}{d t} [\begin{matrix} p_{h} (t) \\ u_{x, h} (t) \end{matrix}] + [\begin{matrix} - \partial_{h} & \partial_{h} \\ - Δ_{h} & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} p_{h} (t) \\ u_{x, h} (t) \end{matrix}] = [\begin{matrix} q_{h} (t) \\ 0 \end{matrix}] (*)

$\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ I & I \end{bmatrix} \frac{d}{dt} \begin{bmatrix} p_h(t) \\ u_{x,h}(t) \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -\partial_h & \partial_h \\ -\Delta_h & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} p_h(t) \\ u_{x,h}(t) \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} q_h(t) \\ 0 \end{bmatrix} \quad (*)$

1

$1$

_{h}

${}_h$

\frac{d}{d t}

$\frac{d}{dt}$

अब विभेदक-बीजगणितीय (DAE) संरचना स्पष्ट है। चर के लिए अंतर (समय में) और बीजीय समीकरण दोनों हैं।

$\begin{bmatrix} -\partial_h & \partial_h \\ I & I \end{bmatrix}$

इस दृष्टिकोण के साथ, आप शायद स्थिरता विश्लेषण के आसपास हो सकते हैं।

$L^2$ $(*)$ $\Delta_h$ $\partial_h$

$(*)$ $u\leftarrow u_x$

APPENDIX: एक DAE को इंडेक्स 1 कहा जाता है, अगर इसे समीकरणों को अलग किए बिना ODE में बदला जा सकता है।

[\begin{matrix} E_{1} \\ 0 \end{matrix}] \dot{y} + [\begin{matrix} A_{1} \\ A_{2} \end{matrix}] y = f .

$\begin{bmatrix} E_1 \\ 0 \end{bmatrix}\dot y + \begin{bmatrix} A_1 \\ A_2 \end{bmatrix} y = f.$

[\begin{matrix} E_{1} \\ A_{2} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} E_1 \\ A_2 \end{bmatrix}$

\tilde{y} \to y

$\tilde y \to y$

[\begin{matrix} E_{1} \\ A_{2} \end{matrix}] \to [\begin{matrix} {\tilde{E}}_{11} & {\tilde{E}}_{12} \\ {\tilde{A}}_{21} & {\tilde{A}}_{22} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} E_1 \\ A_2 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} \tilde E_{11} & \tilde E_{12} \\ \tilde A_{21} & \tilde A_{22} \end{bmatrix}$

{\tilde{A}}_{22}

$\tilde A_{22}$

A_{2}

$A_2$

{\tilde{A}}_{11} - {\tilde{E}}_{12} {\tilde{A}}_{22}^{- 1} {\tilde{A}}_{21}

$\tilde A_{11} - \tilde E_{12} \tilde A_{22}^{-1} \tilde A_{21}$

$(*)$ $A_2:=[-\partial_h ~ \partial_h]$ $\tilde y_2$ $(p_h,u_{x,h})$ $\frac{d}{dt}\tilde y_2$ $(*)$

— जनवरी
स्रोत

[\begin{array}{cc} - \partial_{h} & \partial_{h} \\ I & I \end{array}]

$\left[\begin{array}{cc}-\partial_h &\partial_h\\ I & I \end{array}\right]$

@Paul मुझे संदर्भ के लिए एक प्रमेय नहीं मिला, इसलिए मैं अपने जवाब में दलीलें डालूंगा ...

— Jan

4

मैं यहां दिए गए समीकरणों से परिचित नहीं हूं, लेकिन मुझे याद है कि मेरे पाठ्यक्रम में एक संख्यात्मक योजना की स्थिरता की जांच करने के लिए एक और तरीका सीखना होगा। इसे संशोधित समीकरण विश्लेषण के रूप में जाना जाता है।

यहाँ इसके लिए एक अच्छा संदर्भ है,

http://193.146.160.29/gtb/sod/usu/$UBUG/repositorio/10291890_Warming.pdf

उपरोक्त संदर्भ में, संशोधित समीकरण विश्लेषण और वॉन न्यूमैन स्थिरता विश्लेषण पर आधारित स्थिरता सिद्धांत के बीच संबंध स्थापित किया गया है।

ऑनलाइन खोज के बाद, मैं निम्नलिखित संदर्भों में आया,

इस पत्र में भूकंपीय आवृत्तियों पर बायोट के पारलोमैटिक समीकरणों के परिमित अंतर मॉडलिंग पर चर्चा की गई है। इसमें संख्यात्मक योजना की स्थिरता के साथ-साथ एक खंड भी है।

यह पत्र युग्मित प्रणाली को डिकूप करने और संख्यात्मक योजना की स्थिरता की जांच करने की एक समाधान रणनीति प्रस्तुत करता है।

— सुबोध
स्रोत

मैंने उपरोक्त समीकरणों पर संशोधित समीकरण विश्लेषण का प्रदर्शन नहीं किया है, लेकिन वॉन न्यूमैन विश्लेषण के लिए पूछे गए प्रश्न के रूप में, मैंने उपरोक्त उत्तर लिखा है। यह बहुत संभव है कि यह सवाल का जवाब नहीं देता है। लेकिन किसी को उसके काम में सूचीबद्ध संदर्भ मिल सकते हैं।

— सुबोध

संदर्भ के लिए धन्यवाद! मैं देख सकता हूँ कि आपके संशोधित समीकरण विश्लेषण पत्र में जिस रूप की आवश्यकता है , वह मेरे द्वारा उपयोग किए जा रहे समीकरणों पर बिलकुल फिट नहीं है, लेकिन यह अन्य विश्लेषण तकनीकों को सीखने के लिए काफी पेचीदा है!

— पॉल