वॉन न्यूमैन के स्थिरता विश्लेषण से हमें गैर-रैखिक परिमित अंतर समीकरणों के बारे में क्या पता चलता है?

Question

मैं एक पेपर पढ़ रहा हूं [1] जहां वे निम्नलिखित गैर-रेखीय समीकरण को हल करते हैं

$$\begin{equation} u_t + u_x + uu_x - u_{xxt} = 0 \end{equation}$$ परिमित अंतर विधियों का उपयोग करना। वे वॉन न्यूमैन के स्थिरता विश्लेषण का उपयोग करके योजनाओं की स्थिरता का भी विश्लेषण करते हैं। हालांकि, जैसा कि लेखकों को एहसास है, यह केवल रैखिक पीडीई के लिए लागू है। इसलिए लेखक इसके चारों ओर गैर-रेखीय शब्द "फ्रीजिंग" द्वारा काम करते हैं, अर्थात वे इसे प्रतिस्थापित करते हैं$uu_x$ के साथ कार्यकाल $Uu_x$, कहाँ पे $U$ "स्थानीय रूप से निरंतर मूल्यों का प्रतिनिधित्व करने के लिए माना जाता है $u$। "

तो मेरा सवाल दो गुना है:

1: इस विधि की व्याख्या कैसे करें और यह क्यों (नहीं) काम करता है?

2: क्या हम भी बदल सकते हैं $uu_x$ के साथ कार्यकाल $uU_x$ शब्द, जहां $U_x$ "स्थानीय रूप से निरंतर मूल्यों का प्रतिनिधित्व करने के लिए माना जाता है $u_x$"?

संदर्भ

1. इलबेक, जेसी, और जीआर मैकगुएर। "नियमित रूप से लंबी-तरंग समीकरण I के संख्यात्मक अध्ययन: संख्यात्मक तरीके।" कम्प्यूटेशनल भौतिकी के जर्नल 19.1 (1975): 43-57।

Comments

आपने समीकरण गलत कर दिया। कागज में समीकरण RLW समीकरण है।

— Ö

संबंधित प्रश्न, बिना पूर्ण उत्तर के: scicomp.stackexchange.com/q/8717/713 , mathoverflow.net/q/186760 , scicomp.stackexchange.com/q/16142 , scicomp.stackexchange.com/q/6863 । मुझे लगता है, हेयुरिस्टिकली बोलना, यह काम करना चाहिए क्योंकि आप बहुत उच्च-आवृत्ति मोड की स्थिरता में रुचि रखते हैं (जिस पर त्रुटियां होती हैं, मेष रिक्ति के आदेश पर तरंग दैर्ध्य), जबकि समाधान इसके बजाय बहुत कम आवृत्ति के साथ भिन्न होगा, इसलिए गुणांक को स्थिर करना और जमे हुए गुणांक पीडीई की स्थिरता का अध्ययन करना ठीक है।

— किरिल

मैंने किरिल से जुड़े कुछ सवालों के जवाब दिए। दुर्भाग्य से, मैं आरएलडब्ल्यू समीकरण के लिए किसी भी परिणाम से अवगत नहीं हूं, लेकिन शायद तब तक स्थिरता साबित हो सकती है जब तक कि समाधान पर्याप्त रूप से सुचारू नहीं हो जाता।

— डेविड केचेसन

Answer 1

आप जो कह रहे हैं उसे रेखीयकरण कहा जाता है। यह एक सामान्य तकनीक है जिसका उपयोग गैर-रेखीय पीडीई के विश्लेषण में किया जाता है। क्या किया जाता है प्रारूप में समीकरण डालना,

$u_t+Au=0$

यहाँ A समीकरण के रैखिककरण से उत्पन्न एक मैट्रिक्स है।

अब आपके प्रश्नों के लिए,

1. जैसा आप सोच रहे हैं, यह कुछ हद तक काम करता है, लेकिन कुछ हद तक नहीं। उपयोगिता यह है कि स्थिरता रैखिक प्रणालियों के लिए सिद्ध की जा सकती है लेकिन गैर-रैखिक प्रणालियों के लिए आसानी से नहीं। तो रैखिक परिणाम गैर-रेखीय प्रणालियों तक बढ़ाए जाते हैं। विशेष मामलों के लिए अक्सर विभिन्न तरीकों को अपनाया जाता है। उदाहरण के लिए,

$uu_x = \frac{1}{2}(u^2)_x$

जो संरक्षण रूप है। इसलिए,

$u_t+\frac{1}{2}(u^2)_x = 0$

जब एक परिमित मात्रा में प्रतिनिधित्व किया जाता है तो आप यू के विकास पर सीमा देते हैं।

2. प्रतिस्थापन करने की उपयोगिता क्या है। आप समीकरण को तरंग समीकरण रूप से निकाल देंगे। जिसका अर्थ होगा कि समाधान एक लहर समीकरण के रूप में व्यवहार नहीं करेंगे। तो स्थिरता विश्लेषण में, परीक्षण समाधान के साथ-साथ पूरी तरह से अलग और गैर-भौतिक होना होगा।

Answer 2

रैखिककरण तर्क पर विस्तार से बताने के लिए, uu_x में आप मान लेना चाहते हैं कि u स्थानीय है, न कि u_x, दो कारणों से: a) u अपने व्युत्पन्न की तुलना में धीरे-धीरे बदलता है, और b) इस विशेष मामले में, यदि आप मानते हैं कि__ स्थानीय रूप से स्थिर है , परिभाषा के अनुसार, आप यह भी मानते हैं कि u स्थानीय स्तर पर रैखिक है, जिसका अर्थ है कि उच्च स्थान व्युत्पन्न शून्य है, और यह न केवल अतिरिक्त सन्निकटन त्रुटि का परिचय देता है, बल्कि इसका अर्थ यह हो सकता है कि आप अपने समीकरण के आधार पर बच्चे को स्नान के पानी से बाहर निकाल रहे हैं।