यह कैसे निर्धारित किया जाए कि एक पीडीई के लिए संख्यात्मक समाधान एक निरंतर समाधान में परिवर्तित हो रहा है?

Question

लैक्स तुल्यता प्रमेय कहा गया है कि स्थिरता और एक संख्यात्मक योजना की स्थिरता एक रेखीय प्रारंभिक मूल्य समस्या के लिए अभिसरण के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त है। लेकिन ग़ैर-समरूप समस्याओं के लिए, संख्यात्मक विधियाँ लगातार और स्थिर होने के बावजूद, बहुत ही गलत परिणामों में परिवर्तित कर सकती हैं। उदाहरण के लिए, यह कागज दिखाता है कि 1 डी लीनोरीकृत उथले पानी के समीकरणों के लिए लागू किया गया पहला आदेश गोडुनोव विधि एक गलत समाधान में कैसे परिवर्तित होता है।

जाली और समय कदम शोधन के तहत स्पष्ट रूप से आत्म-अभिसरण पर्याप्त नहीं है, लेकिन अचूक समाधान आमतौर पर nonlinear PDEs के लिए उपलब्ध नहीं हैं, इसलिए यदि कोई संख्यात्मक विधि वास्तविक समाधान में परिवर्तित हो रही है तो कोई कैसे निर्धारित कर सकता है?

Comments

निर्मित समाधानों की तथाकथित विधि सभी समस्याओं के लिए सटीक समाधान उपलब्ध कराती है। यह आपके द्वारा वर्णित समस्याग्रस्त समाधानों को उत्पन्न करने में सक्षम नहीं हो सकता है, लेकिन ऐसा नहीं है कि सटीक समाधान कभी भी उपलब्ध नहीं हैं।

— बिल बर्थ

मुझे लगता है कि यह यहाँ मुश्किल है क्योंकि आपको समाधान के प्रकार के साथ एक समाधान का अनुमान लगाने की आवश्यकता होगी जो समाधान विधि द्वारा अच्छी तरह से अनुमानित नहीं है।

— 13

मैं मानता हूं कि उन समाधानों का निर्माण करना कठिन है, जो कि जेद उल्लेखों के समस्याग्रस्त तरीकों को उत्तेजित करते हैं। मैं सिर्फ यह बताना चाहता था कि परीक्षण के लिए सटीक समाधान हमेशा उपलब्ध हैं। मैं नहीं जानता कि क्या होता है यदि आप 1D रैखिक उथले पानी के समीकरणों के समाधान का उपयोग करते हैं, कहते हैं, ट्रिगर और घातीय कार्यों का मिश्रण (MoM सटीक समाधानों का विशिष्ट), इसी स्रोत की शर्तों को प्राप्त करने के लिए क्रैंक को चालू करें, और चलाएं 1-ऑर्डर गोडुनोव योजना के माध्यम से उन्हें। शायद जेड इसे एक शॉट दे सकता है और वापस रिपोर्ट कर सकता है।

— बिल बर्थ

एमओएम एक महान उपकरण है, लेकिन इस मामले में, मुद्दा यह है कि प्रसार एक झटके के अंदर गलत तरीके से लागू होता है। हर जगह, समान रूप से प्रत्येक समीकरण पर शून्य में परिवर्तित होने वाला प्रसार स्वीकार्य है, लेकिन प्रसार एक झटके में शून्य में परिवर्तित नहीं होता है, इसलिए प्रत्येक शब्द के लिए संख्यात्मक प्रसार को समान रूप से गलत गतिशीलता में परिणाम देता है। मैं इस सवाल का एक लंबा जवाब लिखूंगा जब मेरे पास समय होगा, अगर कोई मुझे इसके लिए नहीं धड़कता है।

— जेड ब्राउन

@ Jed, क्या LET को रैखिक समीकरणों पर लागू नहीं होना चाहिए?

— मैट नेप्ले

Answer 1

इस संबंध में चर्चा करने के लिए समाधानों के दो मुख्य वर्ग हैं।

"पर्याप्त रूप से" चिकना समाधान

में स्ट्रेंग के शास्त्रीय कागज यह दिखाया गया है कि लैक्स प्रमेय (यानी, यह विचार है कि स्थिरता के साथ साथ स्थिरता अभिसरण का तात्पर्य है) अरेखीय PDE समाधान के लिए प्रदान तुल्यता अगर वे निरंतर डेरिवेटिव की एक निश्चित संख्या है । ध्यान दें कि कागज हाइपरबोलिक समस्याओं पर केंद्रित है, लेकिन परिणाम पैराबोलिक समस्याओं पर ले जाता है। डेरिवेटिव की संख्या एक तकनीकी बिंदु है, लेकिन यह दृष्टिकोण आमतौर पर उन समाधानों पर लागू होता है जो पीडीई को एक मजबूत अर्थ में संतुष्ट करते हैं।

असंतोषजनक उपाय

अन्य चरम पर, हमारे पास असंतोष के साथ पीडीई "समाधान" हैं , जो आमतौर पर गैर-हाइपरबोलिक संरक्षण कानूनों से उत्पन्न होते हैं । इस स्थिति में, निश्चित रूप से, समाधान को मजबूत अर्थों में पीडीई को संतुष्ट करने के लिए नहीं कहा जा सकता है, क्योंकि यह एक या अधिक बिंदुओं पर गैर-परिवर्तनीय है। इसके बजाय, कमजोर समाधान की एक धारणा पेश की जानी चाहिए, जो अनिवार्य रूप से आवश्यक है कि समाधान एक अभिन्न संरक्षण कानून को संतुष्ट करे।

समाधानों के अनुक्रम का अभिसरण करना इस मामले में भी अधिक कठिन है, क्योंकि पर्याप्त नहीं है; आमतौर पर अनुक्रम को एक कॉम्पैक्ट स्पेस में झूठ दिखाने के लिए दिखाया जाना चाहिए, जैसे कि फ़ंक्शन का सेट जिसमें कुछ परिमित अधिकतम कुल भिन्नता होती है।एल $L_p$$L_\infty$

यदि अनुक्रम को किसी चीज़ में परिवर्तित करने के लिए दिखाया जा सकता है, और यदि विधि रूढ़िवादी है, तो Lax-Wendroff प्रमेय गारंटी देता है कि यह संरक्षण कानून के एक कमजोर समाधान में परिवर्तित होगा। हालांकि, ऐसे समाधान अद्वितीय नहीं हैं । यह निर्धारित करना कि कौन सा कमजोर समाधान "सही" है ऐसी जानकारी की आवश्यकता होती है जो हाइपरबोलिक पीडीई में निहित नहीं है। आमतौर पर, हाइपरबोलिक पीडीई को एक निरंतर मॉडल में परवलयिक शब्दों की उपेक्षा करके प्राप्त किया जाता है, और सही कमजोर समाधान इस बात पर निर्भर कर सकता है कि क्या परवलयिक शब्द खारिज कर दिए गए थे (यह आखिरी बिंदु ऊपर दिए गए प्रश्न में जुड़े कागज का ध्यान केंद्रित है )।

यह एक समृद्ध और शामिल विषय है, और गणितीय सिद्धांत पूरी तरह से दूर है। अधिकांश अभिसरण प्रमाण 1 डी समस्याओं के लिए हैं और विशेष तकनीकों पर निर्भर हैं। इस प्रकार व्यवहार में अतिपरवलयिक संरक्षण कानूनों के लगभग सभी वास्तविक कम्प्यूटेशनल समाधान मौजूदा उपकरणों के साथ अभिसरण साबित नहीं हो सकते हैं । कम्प्यूटेशनल दृष्टिकोण से एक व्यावहारिक चर्चा के लिए, लेवेके की किताब (अध्याय 8, 12, और 15) देखें; अधिक कठोर और विस्तृत उपचार के लिए मैं डेफरमोस का सुझाव दूंगा ।

Answer 2

मुझे यहाँ पर योगदान देने के अलावा कुछ और भी कहना है कि जब भी संख्यात्मक विधियों को हाइपरबोलिक समीकरणों से परेशानी होती है (और गलत समाधान में परिवर्तित होती है), तो यह आमतौर पर झटके के कारण नहीं होता है। बल्कि, जिन क्षेत्रों में उन्हें कठिनाई होती है वे दुर्लभ लहर हैं - जहां समाधान सुचारू है।

$$u_t + \beta \cdot \nabla F(u) = g$$ $F'(u)=0$$u_t + \beta F'(u) \cdot \nabla u = g$$F'=0$$F'=0$$F'=0$$\omega\subset\Omega$$|\omega|>0$

$F(u)$

$$F(u) = \frac{u^4}{u^4 + (1-u)^2 \cdot (1-u^2)}$$ $u$$F'(u)=0$$u=0$

Comments

यह एक उत्कृष्ट बिंदु है, हालांकि यह कड़े अर्थों में सवाल का ऑर्थोगोनल है। आप सही कमजोर समाधान में परिवर्तित करने के मुद्दे को संबोधित करते हैं, जो वास्तव में कुछ कमजोर समाधान में परिवर्तित करने के मुद्दे से अधिक समस्याग्रस्त है ।

— डेविड केचेसन