उलटा किनेमेटीक्स के लिए जेकोबियन मैट्रिक्स की गणना करना

जब एक व्युत्क्रम कानेमेटिक को हल करने के लिए जेकोबियन मैट्रिक्स की गणना करते हैं, तो मैं कई स्थानों से पढ़ता हूं कि मैं इस फॉर्मूले का उपयोग जैकबियन मैट्रिक्स में एक जोड़ के प्रत्येक कॉलम को बनाने के लिए कर सकता हूं:

J_{i} = \frac{\partial e}{\partial ϕ_{i}} = [\begin{matrix} {[a_{i}^{'} \times (e_{p o s} - r_{i}^{'})]}^{T} \\ {[a_{i}^{'}]}^{T} \end{matrix}]

$\mathbf{J}_{i}=\frac{\partial \mathbf{e}}{\partial \phi_{i}}=\left[\begin{array}{c}{\left[\mathbf{a}_{i}^{\prime} \times\left(\mathbf{e}_{p o s}-\mathbf{r}_{i}^{\prime}\right)\right]^{T}} \\ {\left[\mathbf{a}_{i}^{\prime}\right]^{T}}\end{array}\right]$

ऐसा है कि विश्व अंतरिक्ष में रोटेशन की धुरी है, विश्व अंतरिक्ष में धुरी बिंदु है, और विश्व अंतरिक्ष में अंत प्रभावकार की स्थिति है। $a'$ $r'$ $e_{pos}$

हालांकि, मुझे समझ में नहीं आता है कि जब एक से अधिक डीओएफ हैं तो यह कैसे काम कर सकता है। एक उदाहरण के रूप में निम्नलिखित लें:

यहां छवि विवरण दर्ज करें

घूर्णी DOF हैं, अंत प्रेरक है, अंत प्रेरक, का लक्ष्य है , और जोड़ों कर रहे हैं। $\theta$ $e$ $g$ $P_1$ $P_2$ $P_3$

सबसे पहले, अगर मैं आरेख के लिए उपरोक्त सूत्र के आधार पर याकूबियन मैट्रिक्स की गणना करने के लिए था, तो मुझे कुछ इस तरह मिलेगा:

J = [\begin{matrix} ((0, 0, 1) \times \vec{e})_{x} & ((0, 0, 1) \times (\vec{e} - \vec{P_{1}}))_{x} & ((0, 0, 1) \times (\vec{e} - \vec{P_{2}}))_{x} \\ ((0, 0, 1) \times \vec{e})_{y} & ((0, 0, 1) \times (\vec{e} - \vec{P_{1}}))_{y} & ((0, 0, 1) \times (\vec{e} - \vec{P_{2}}))_{y} \\ ((0, 0, 1) \times \vec{e})_{z} & ((0, 0, 1) \times (\vec{e} - \vec{P_{1}}))_{z} & ((0, 0, 1) \times (\vec{e} - \vec{P_{2}}))_{z} \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix}]

$J=\begin{bmatrix} ((0,0,1)\times \vec { e } )_{ x } & ((0,0,1)\times (\vec { e } -\vec { P_{ 1 } } ))_{ x } & ((0,0,1)\times (\vec { e } -\vec { P_{ 2 } } ))_{ x } \\ ((0,0,1)\times \vec { e } )_{ y } & ((0,0,1)\times (\vec { e } -\vec { P_{ 1 } } ))_{ y } & ((0,0,1)\times (\vec { e } -\vec { P_{ 2 } } ))_{ y } \\ ((0,0,1)\times \vec { e } )_{ z } & ((0,0,1)\times (\vec { e } -\vec { P_{ 1 } } ))_{ z } & ((0,0,1)\times (\vec { e } -\vec { P_{ 2 } } ))_{ z } \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

यह माना जाता है कि सभी रोटेशन कुल्हाड़ियों और उन सभी में केवल एक घूर्णी डीओएफ है। इसलिए, मेरा मानना है कि प्रत्येक स्तंभ एक डीओएफ के लिए है, इस मामले में, the । $(0,0,1)$ $\theta_\#$

अब, यहाँ समस्या है: क्या होगा यदि सभी जोड़ों में पूर्ण 6 डीओएफ हो? अब कहो, हर संयुक्त के लिए, मेरे पास सभी अक्षों में घूर्णी DOF हैं, , और , और सभी axes, , और में भी अनुवादक । $\theta_x$ $\theta_y$ $\theta_z$ $t_x$ $t_y$ $t_z$

मेरे प्रश्न को स्पष्ट करने के लिए, मान लें कि यदि मैं "ज़ोर से" सभी जोड़ों के सभी डीओएफ के ऊपर सूत्र लागू करता हूं, तो मुझे शायद इस तरह से एक याकूबियन मैट्रिक्स मिलेगा:

(पूर्ण आकार के लिए क्लिक करें)

लेकिन यह अविश्वसनीय रूप से अजीब है क्योंकि हर संयुक्त के लिए डीओएफ के सभी 6 कॉलम एक ही बात दोहरा रहे हैं।

मैं सभी डीओएफ के साथ जैकबियन मैट्रिक्स के निर्माण के लिए एक ही सूत्र का उपयोग कैसे कर सकता हूं? इस मामले में याकूबियन मैट्रिक्स कैसा दिखेगा?

inverse-kinematics kinematics

— क्सीनन
स्रोत

वास्तव में, मुझे यकीन नहीं है कि मुझे यह प्रश्न यहां गणित में, गेम्सडेव में, या भौतिकी में पोस्ट करना चाहिए था। मुझे लगता है कि मैंने इस सवाल को गलत जगह पर पोस्ट किया है।

— क्सीनन

मुझे लगता है कि आपकी गलती यह है कि आपने प्रत्येक डीओएफ के लिए 'ए' नहीं बदला, यही कारण है कि वे सभी समान दिखते हैं।

जवाबों:

मुझे स्वीकार करना होगा कि मैंने उस विशिष्ट सूत्र को बहुत बार नहीं देखा है, लेकिन मेरा अनुमान है कि एक से अधिक डीओएफ के मामले में, आप हर कॉलम में प्रत्येक संयुक्त के लिए इसका मूल्यांकन करेंगे और फिर (शायद?) उन परिणामों को गुणा करेंगे। प्रत्येक स्तंभ।

लेकिन मुझे कई DOFs की मनमानी के संदर्भ में जैकोबियंस के लिए एक सरल एपोरच करने का सुझाव दें: मूल रूप से, जैकबियन आपको बताता है, यदि आप प्रत्येक संयुक्त रूप से चुने गए दिशा में अंत प्रभाव फ्रेम को आगे बढ़ाते हैं, तो प्रत्येक संयुक्त चाल कितनी दूर है। चलो आगे कीनेमेटीक्स, जहां हो जोड़ों कर रहे हैं, आगे कीनेमेटीक्स और का स्थितीय हिस्सा है घूर्णी हिस्सा। फिर आप संयुक्त चर के संबंध में आगे कीनेमेटिक्स को अलग करके जैकबियन प्राप्त कर सकते हैं : $f(\theta)$ $\theta = [\theta_1, ... , \theta_n]$ $f_{\text{pos}}$ $f_{\text{rot}}$ आपके मैनिप्युलेटर का जेकोबियन है। यह inverting आप respcet साथ उलटा कीनेमेटीक्स के लिए देना होगावेग। यह अभी भी, उपयोगी हालांकि हो सकता है अगर आप कितनी दूर प्रत्येक संयुक्त अगर आप कुछ करके अपना अंतिम प्रेरक ले जाना चाहते हैं स्थानांतरित करने के लिए है जानना चाहता हूँछोटेराशिकिसी भी दिशा में (क्योंकि स्थिति स्तर पर, यह प्रभावी रूप से एक linearization होगा):

J = \frac{\partial f}{\partial θ} = [\begin{matrix} \frac{\partial f_{pos}}{\partial θ_{1}}, & \frac{\partial f_{pos}}{\partial θ_{2}} & . . ., \frac{\partial f_{pos}}{\partial θ_{n}} \\ \frac{\partial f_{rot}}{\partial θ_{1}}, & \frac{\partial f_{rot}}{\partial θ_{2}} & . . ., \frac{\partial f_{rot}}{\partial θ_{n}} \end{matrix}]

$J = \frac{\partial f}{\partial \theta} = \begin{bmatrix} \frac{\partial f_{\text{pos}}}{\partial \theta_1}, & \frac{\partial f_{\text{pos}}}{\partial \theta_2} & ..., \frac{\partial f_{\text{pos}}}{\partial \theta_n} \\ \frac{\partial f_{\text{rot}}}{\partial \theta_1}, & \frac{\partial f_{\text{rot}}}{\partial \theta_2} & ..., \frac{\partial f_{\text{rot}}}{\partial \theta_n} \end{bmatrix}$

Δ x

$\Delta x$

Δ θ = J^{- 1} Δ x

$\Delta \theta = J^{-1}\Delta x$

आशा है कि यह मदद करता है।

— डैनियल एबर्ट्स
स्रोत

जवाब के लिए धन्यवाद! लेकिन इसका मतलब यह होगा कि मुझे संख्यात्मक रूप से मूल्यों की गणना करनी होगी? दरअसल, मैंने यह विश्लेषणात्मक उदाहरण ग्राफिक्स 19.cs.cmu.edu/nsp/course/15-464/Fall09/handouts/IK.pdf से स्लाइड 19 और ग्राफिक्स .ucsd.edu/courses -cse169_w05/ CSE169_13.ppt से स्लाइड पर देखा। 78. स्लाइड्स से, ऐसा लगता है कि मुझे संख्यात्मक तरीकों से नहीं गुजरना पड़ सकता है। स्थितियों में जब मेरे पास अंतर करने के लिए वास्तविक कार्य नहीं होते हैं, तो मैं इस सूत्र का उपयोग कर सकता हूं। लेकिन समस्या यह है कि क्या होता है जब मेरे पास प्रत्येक संयुक्त के लिए अधिक डीओएफ होता है।

— क्लेनन

यदि मैं स्लाइड्स को सही ढंग से समझता हूं, तो आप उन जोड़ों में से प्रत्येक के लिए वैक्टर

निर्धारित करके मनमाने ढंग से कई (घूर्णी) डीओएफ के मामले को संभाल लेंगे , जहां

संयुक्त की स्थिति है। इसलिए, यदि आपके पास 46 जोड़ों का कहना है, तो आप वास्तव में 46 स्तंभों और 6 पंक्तियों (या 3 के साथ एक जैकबियन प्राप्त करेंगे, यदि आप अंतिम प्रभाव के अभिविन्यास की उपेक्षा करते हैं)। लंबी कहानी छोटी: आप किसी भी संख्या में जोड़ों के लिए उस सूत्र को लागू कर सकते हैं और इसे अन्य जोड़ों के साथ "गठबंधन" नहीं करना है।

(e_{i} - P_{i})

$(e_i - P_i)$

P_{i}

$P_i$

— डैनियल एबर्ट्स

लेकिन क्या होता है, तो एक संयुक्त जैसे कई DOFs है

, और अनुवादकीय DOFs की तरह

? अब, प्रत्येक संयुक्त में 6 DOF हैं। जैकब मैट्रिक्स मैट्रिक्स आईके के लिए कैसे काम करता है, इस बारे में मेरी समझ से, पहले 6 कॉलम 6 अलग डीओएफ के संबंध में एंड-इफ़ेक्टर के डेरिवेटिव होंगे, और ये पहले 6 कॉलम पहले संयुक्त का वर्णन करने के लिए हैं। बाद के अगले 6 कॉलम 6 डीओएफ और इतने पर सम्मान के साथ दूसरे संयुक्त का वर्णन करेंगे। समीकरण का उपयोग करना

θ_{x}

$\theta_x$

θ_{y}

$\theta_y$

θ_{z}

$\theta_z$

t_{x}

$t_x$

t_{y}

$t_y$

t_{z}

$t_z$

(e_{i} - P_{i})

$(e_i - P_i)$ , इसका मतलब है कि प्रत्येक संयुक्त के 6 कॉलम स्वचालित रूप से एक कॉलम में पैक किए जाते हैं?

— ज़ेनन

ओह समझा। नहीं, उस स्थिति में, सूत्र काम नहीं करेगा क्योंकि यह रोटेशन के एक अक्ष के साथ घूर्णी जोड़ों के लिए डिज़ाइन किया गया था। यदि आप उदाहरण के लिए गोलाकार जोड़ों का इलाज करना चाहते हैं, तो आपको या तो एक अलग सूत्र की आवश्यकता होगी जो उस विशिष्ट संयुक्त प्रकार का इलाज करता है या आपको रोबोट के आगे कीनेमेटिक्स के एक बंद रूप की आवश्यकता होती है। आपको लगता है कि है, तो आप यह WRT जोड़ों अंतर कर सकते हैं

और Jacobian प्राप्त करते हैं।

θ

$\theta$

— डैनियल एबर्ट्स

धन्यवाद! :) बस जिज्ञासु, हालांकि ग्राफिक्स 58 में स्लाइड है ।ucsd.edu/courses/cse169_w05/CSE169_13.pp यह इंगित करता है कि 3 डीओएफ के साथ घूर्णी जोड़ों के सूत्र का उपयोग करना संभव है? जिसका अर्थ है कि यदि किसी संयुक्त में कोई ट्रांसफ़ेशनल डीओएफ नहीं है और विशुद्ध रूप से 3 घूर्णी डीओएफ है, तो भी यह संभव है? हालांकि मुझे यकीन नहीं है कि विभिन्न डीओएफ प्राप्त करने के लिए विभिन्न घुमावों के साथ गुणा करने के लिए

क्यों ले रहा है ।

(1, 0, 0, 0)

$(1,0,0,0)$

— क्सीनन

6 डॉफ जॉइंट के लिए आपका फॉर्मूला मानता है कि सभी 6 जॉइंट्स की धुरी वर्ल्ड फ्रेम में है और सभी जॉइंट्स उल्टे हैं। चूंकि 6 जोड़ इस प्रकार समान हैं, इसलिए जैकबियन में उनके स्तंभ भी समान हैं। $(0, 0, 1)$

शुरू से, मान लीजिए कि एक संयुक्त में एक बिंदु माध्यम से एक धुरी । चलो अंत स्थिति की स्थिति है। के निर्देशांक , , और पूरी दुनिया फ्रेम में दिया जाता है और के रूप में रोबोट ले जाया जा रहा है अद्यतन किया जा रहा है। अक्ष लंबाई है । $a$ $r$ $e$ $a$ $r$ $e$ $a$ $1$

यदि जोड़ उल्टा है, तो संयुक्त के लिए जैकबियन का स्तंभ है

$J_{\theta}(a, r) = \left[\begin{matrix} a \times (e - r) \\ a \end{matrix}\right]$

यदि संयुक्त प्रिज्मीय है, तो स्तंभ है

$J_{p}(a) = \left[\begin{matrix} a \\ 0 \end{matrix}\right]$

मान लीजिए कि हमारे पास 6 डॉफ जोड़ हैं जो न केवल गोलाकार हैं, बल्कि अंतरिक्ष में भी अनुवाद कर सकते हैं। मान लीजिए कि संयुक्त के अक्ष , और और प्रत्येक घूमने वाला और प्रिज्मीय संयुक्त एक अक्ष साझा करता है, ताकि संयुक्त के लिए जैकबियन बन जाए $a_x$ $a_y$ $a_z$

$J = \left[\begin{matrix} J_p(a_x) & J_p(a_y) & J_p(a_z) & J_{\theta}(a_x, r) & J_{\theta}(a_y, r) & J_{\theta}(a_z, r) \end{matrix}\right]$

अक्ष , , और रोबोट के आगे कीनेमेटीक्स पर निर्भर हैं। वर्णन करने के लिए, विश्व फ्रेम में वें संयुक्त के परिवर्तन को $a_x$ $a_y$ $a_z$ $k$

$F_k = \prod_{i=1}^{k} L_i T_i$

जहां स्थिरांक हैं, और परिवर्तन संयुक्त चर पर निर्भर करता है। बता दें कि और ऐसे ट्रांसफॉर्मेशन होते हैं जो (या तो , , या ) नाम के कोऑर्डिनेट अक्ष के बारे में द्वारा घुमाते और अनुवाद करते हैं । $L_i$ $T_i$ $R_c(q)$ $P_c(q)$ $q$ $c$ $x$ $y$ $z$

चलो होना एक विस्थापन, Jacobian की मदद की गणना, के लिए वें संयुक्त। चलो $\Delta q = (\Delta p_x, \Delta p_y, \Delta p_z, \Delta \theta_x, \Delta \theta_y, \Delta \theta_z)$ $i$ और अद्यतन द्वारा संयुक्त के स्थानीय परिवर्तन: $\Delta T = P_x(\Delta p_x) P_y(\Delta p_y) P_z(\Delta p_z) R_x(\Delta \theta_x) R_y(\Delta \theta_y) R_z(\Delta \theta_z)$

$T_i \leftarrow T_i \, \Delta T$

आगे कीनेमेटीक्स के इस निर्माण में, अक्ष , , और संयुक्त की वास्तव में के रोटेशन मैट्रिक्स के स्तंभ हैं । इसके अलावा स्थिति का अनुवाद वेक्टर है । $a_x$ $a_y$ $a_z$ $i$ $F_i$ $r$ $F_i$

— antonakos
स्रोत

जहां तक मैं आपके प्रश्न को समझता हूं कि आप 6 डीओएफ संयुक्त के लिए जेकोबियन मैट्रिक्स चाहते हैं।

मुझे रोबोटिक्स की बहुत बुनियादी बातों से शुरू करना चाहिए। आप रोबोटिक्स सीखने के अलग-अलग प्रारंभिक चरण में हैं। आपको यह समझने की आवश्यकता है कि प्रत्येक संयुक्त एकल DOF का प्रतिनिधित्व करता है या तो यह उलटा या प्रिज्मीय संयुक्त होगा।

जहाँ तक गोलाकार संयुक्त की चिंता है, इसे तीन परस्पर लंबवत अक्ष के साथ 3 उल्टा जोड़ में परिवर्तित किया जा सकता है। तो, अब आपने अपने गोलाकार जोड़ को सरल कर दिया है।

याकूबियन मैट्रिक्स के लिए आगे बढ़ रहा है। इसमें 6 पंक्तियाँ होती हैं। पहली 3 पंक्तियाँ अभिविन्यास का प्रतिनिधित्व करती हैं और अंतिम 3 पंक्तियाँ एक विशेष समन्वय प्रणाली के संदर्भ में स्थिति दर्शाती हैं। मैट्रिक्स में प्रत्येक स्तंभ एक एकल संयुक्त को इंगित करता है। तो संयुक्त / डीओएफ की संख्या आपके पास वही संख्या स्तंभ है जो आपके पास जेकबरी मैट्रिक्स में है।

यहां आपके प्रश्न के लिए अधिक स्पष्ट दृष्टिकोण है: एक एकल संयुक्त कभी भी एक से अधिक डीओएफ को पूरा नहीं करता है, क्योंकि यह संयुक्त को जटिल बनाता है और सटीक नियंत्रण कभी भी प्राप्त नहीं करेगा। यहां तक कि अगर हम काल्पनिक रूप से एक से अधिक डीओएफ के साथ संयुक्त मानते हैं, तो आपको गणित और समाधान को सरल बनाने के लिए प्रत्येक जॉइंट को 1 डीओएफ के साथ कई जोड़ों में बदलना होगा।

आदर्श रूप से 6 डीओएफ रोबोट 6 उल्टे संयुक्त कार्यों के साथ वास्तविक समस्याओं पर बहुमत के लिए काम करता है। लेकिन आपके प्रश्न के अनुसार आपने 6 संयुक्त रोबोट पर विचार किया, जिसमें प्रत्येक संयुक्त 3 डीओएफ है जो 18 डीओएफ रोबोट बनाता है। यह निरर्थक डीओएफ (यानी 18-6 = 12 निरर्थक डीओएफ) देगा। इसलिए, किसी भी अभिविन्यास के साथ किसी भी स्थान पर रोबोट एंड-इफ़ेक्टर तक पहुंचने के लिए आपके पास अनंत विभिन्न समाधान होंगे (समाधान का अर्थ है प्रत्येक संयुक्त का रोटेशन)। तो इस तरह की उलटी कीनेमेटिक्स समस्या को हल करें आपको उलटे कीनेमेटिक्स की पुनरावृत्ति विधि की आवश्यकता होगी।

आशा है, मैंने आपके प्रश्न का उत्तर अधिक स्पष्ट रूप से दिया है। बेसिक रोबोटिक्स सीखने के लिए आप जॉन जे। क्रेग - रोबोटिक्स मैकेनिक्स एंड कंट्रोल-पियरसन एजुकेशन, इंक।

सादर मनन कलसरिया

— मनन कलसरिया
स्रोत