क्या जोखिम के कारण सीमांत उपयोगिता कम हो जाती है, या इसके विपरीत?

Question

चलो $A$दुनिया के संभावित राज्यों का सेट हो, या किसी व्यक्ति की संभावित प्राथमिकताएं हो सकती हैं। चलो$G(A)$ "जुआ" या "लॉटरी" का सेट हो, यानी संभावना वितरण का सेट $A$। फिर प्रत्येक व्यक्ति को राज्यों का पसंदीदा ऑर्डर देना होगा$A$, साथ ही में लॉटरी के पसंदीदा आदेश $G(A)$। वॉन न्यूमैन-मॉर्गनस्टर्न प्रमेय में कहा गया है कि आपकी वरीयता क्रम को खत्म करना$G(A)$कुछ तर्कसंगतता के स्वयंसिद्धों का पालन करता है, आपकी प्राथमिकताओं को एक उपयोगिता फ़ंक्शन द्वारा दर्शाया जा सकता है । (यह समारोह scalars के गुणन और स्थिरांक के अलावा करने के लिए अद्वितीय है।) इसका मतलब है कि उस के लिए किसी भी दो लॉटरी और में , आप पसंद करते हैं को यदि और केवल यदि का अपेक्षित मान के तहत अधिक है तहत के अपेक्षित मान से । दूसरे शब्दों में, आप उपयोगिता फ़ंक्शन के अपेक्षित मूल्य को अधिकतम करते हैं।$u: A → ℝ$$L_1$$L_2$$G(A)$$L_1$$L_2$$u$$L_1$$u$$L_2$

अब सिर्फ इसलिए कि आप अपने उपयोगिता फ़ंक्शन के अपेक्षित मूल्य को अधिकतम करते हैं, इसका मतलब यह नहीं है कि आप पैसे जैसी वास्तविक चीजों के अपेक्षित मूल्य को अधिकतम करें। आखिरकार, लोगों को अक्सर जोखिम का सामना करना पड़ता है; वे कहते हैं "हाथ में एक पक्षी झाड़ी में दो लायक है"। जोखिम से बचने का मतलब है कि आप अपने द्वारा हासिल किए गए धन के अपेक्षित मूल्य से कम का जुआ खेलेंगे। यदि हम वॉन न्यूमैन-मॉर्गेंस्टर्न उपयोगिता फ़ंक्शन के संदर्भ में इस धारणा को व्यक्त करते हैं, तो हम जेन्सेन की असमानता के माध्यम से निम्नलिखित परिणाम प्राप्त करते हैं: एक व्यक्ति जोखिम का उल्टा होता है अगर और केवल अगर उनकी उपयोगिता फ़ंक्शन आपके पैसे का एक अवतल कार्य है, यानी किस हद तक आप जोखिम में पड़ जाते हैं, यह उसी हद तक है, जब आपके पास पैसे की मामूली सी उपयोगिता है। ( इस पीडीएफ के पृष्ठ 13 देखें )

मेरा प्रश्न यह है कि कारण किस दिशा में चलता है? वॉन न्यूमैन-मॉर्गेनस्टर्न यूटिलिटी फंक्शन के मूल्यों को अपनी प्राथमिकताओं की तीव्रता को दर्शाते हैं, और भविष्य के स्वयं के भविष्य की प्राथमिकताओं की तुलना में अच्छी तरह से दूर रहने वाले वरीयताओं को प्राथमिकता देने के कारण जोखिम का फैलाव होता है, जो अपने आप के भविष्य के संस्करणों की प्राथमिकताओं की तुलना में अच्छी तरह से बंद हो जाते हैं और इस प्रकार मूल्य रखते हैं अधिक पैसा (जैसा कि ब्रैड डेलॉन्ग यहाँ सुझाता है )? या करणीय दूसरे तरीके से चलता है: क्या जोखिम के लिए आपकी सहिष्णुता आपके उपयोगिता फ़ंक्शन के आकार को निर्धारित करती है, जिससे कि वॉन न्यूमैन-मॉर्गनस्टर्न उपयोगिता फ़ंक्शन आपको अपनी प्राथमिकताओं की सापेक्ष तीव्रता के बारे में कुछ नहीं बताता है?

Answer 1

मुझे लगता है कि मुझे नोबेल पुरस्कार विजेता जॉन सी। हरसैनी के 1994 के पेपर "नॉर्मल वैलिडिटी एंड वॉन न्यूमन-मॉर्गनस्टर्न यूटिलिटीज़ का अर्थ" के इस अंश में एक उत्तर मिला है , जो लॉजिक, मेथडोलॉजी और दर्शन के नौवें अंतर्राष्ट्रीय कांग्रेस में प्रस्तुत किया गया है। विज्ञान। हरसैनी उसी लेमेमा को साबित करके शुरू करता है जिसे एलेकोस ने अपने जवाब में साबित किया, अर्थात् यदि किसी व्यक्ति का vNM उपयोगिता कार्य है, तो$u$$u(10) - u(5) < u(5) - u(0)$अगर और केवल अगर वे 10 डॉलर के 50% और 0 डॉलर की 50% संभावना की तुलना में 5 डॉलर की गारंटी पसंद करेंगे। टिप्पणियों के अनुभाग में मैंने कहा कि यह प्रदर्शित करना अपर्याप्त था कि vNM उपयोगिता फ़ंक्शन प्राथमिकताओं की तीव्रता का प्रतिनिधित्व करता है, क्योंकि क्या होगा यदि व्यक्ति की वास्तविक खुशी और दर्द को कुछ अन्य उपयोगिता फ़ंक्शन द्वारा सटीक रूप से वर्णित किया गया था , जो कि एक मोनोटोनिक परिवर्तन है लेकिन एक स्नेह परिवर्तन नहीं है के ? उस मामले में, अपेक्षित मूल्य संपत्ति को संतुष्ट करने में विफल नहीं हो सकता है , और ?$v$$u$$v$$v(10) - v(5) = v(5) - v(0)$

इस मुद्दे से निपटने के लिए हरसानी के पास एक चतुर तर्क है। बता दें कि ऐसी लॉटरी है जहां आपको 5 डॉलर की गारंटी मिलती है, वह लॉटरी हो जहां आपके पास 10 डॉलर का 50% मौका और 0 डॉलर का 50% मौका हो, और को लॉटरी होने दें जहां आपके पास 50% का मौका हो 10 डॉलर और 5 डॉलर का 50% मौका। फिर स्पष्ट रूप से व्यक्ति को और दोनों के लिए पसंद करता है । और का तर्क है कि को से अधिक दृढ़ता से पसंद किया जाता है की तुलना में को प्राथमिकता दी यदि और केवल यदि । ऐसा इसलिए है क्योंकि चुनाव के बीच में,$L_1$$L_2$$L_3$$L_3$$L_1$$L_2$$L_3$$L_1$$L_3$$L_2$$v(10) - v(5) < v(5) - v(0)$$L_3$ बनाम , 50% समय उन्हें 5 डॉलर मिलते हैं, और 50% समय उन्हें 10 और 5 के बीच चुनाव करना होता है। इसी तरह और बीच के चुनाव में , 50% समय उन्हें 10 डॉलर मिलता है, और समय का 50% उन्हें 5 और 0 के बीच चुनाव करना होगा। $L_1$$L_3$$L_2$

अब यहाँ मास्टर स्ट्रोक आता है: को पसंद किया यदि और केवल को से अधिक दृढ़ता से पसंद किया जाता है, तो को पसंद किया । इसलिए, को पसंद किया यदि और केवल यदि । और इस प्रकार हम भव्य निष्कर्ष पर पहुँचते हैं कि यदि और केवल यदि ।$L_1$$L_2$$L_3$$L_1$$L_3$$L_2$$L_1$$L_2$$v(10)-v(5) < v(5) -v(0)$$u(10) - u(5) < u(5) - u(0)$$v(10)-v(5) < v(5) -v(0)$

इस प्रकार हरसानी इस निष्कर्ष पर पहुँचता है कि vNM उपयोगिता फ़ंक्शन प्राथमिकताओं का प्रतिनिधित्व करता है। तो मेरे प्रश्न का उत्तर ऐसा प्रतीत होता है कि vNM उपयोगिता फ़ंक्शन में सीमांत उपयोगिता कम हो गई है जब यह प्राथमिकताओं की तीव्रता की बात आती है तो वास्तविक ह्रासमान सीमांत उपयोगिता को दर्शाती है, और इस प्रकार (vNM स्वयंसिद्धों को सत्य मानते हुए) सीमांत उपयोगिता वास्तव में जोखिम का कारण है घृणा।

वैसे, एक तरफ ध्यान दें तो मुझे आश्चर्य है कि क्या हम सभी कार्यों के सेट की पहचान कर सकते हैं कि बाधा को संतुष्ट कर सकते हैं कि यदि और केवल यदि (और इसी तरह अधिक से अधिक और बराबर)। (EDIT: मैंने इसके बारे में गणित पर पूछा है । यहां देखें ।)$v$$u(x) - u(y) < u(z) - u(w)$$v(x)-v(y) < v(z) -v(w)$

Comments

@AlecosPapadopoulos धन्यवाद! लेकिन यह प्रमाण वास्तव में "स्वयंसिद्धों के काम करने" का मामला नहीं है; कार्यक्रम$v$अपेक्षित मूल्य संपत्ति को बिल्कुल भी संतुष्ट नहीं करना है।

— केशव श्रीनिवासन

@AlecosPapadopoulos वैसे, मैंने अभी-अभी अपेक्षित उपयोगिता सिद्धांत से संबंधित एक और प्रश्न पोस्ट किया है जिसमें आपकी रुचि हो सकती है: economics.stackexchange.com/q/5304/4447

— केशव श्रीनिवासन

Answer 2

उपयोगिता फ़ंक्शन वरीयताओं का एक प्रतिनिधित्व है, जो परंपरागत रूप से विकल्पों से अनुमानित हैं। प्राथमिकताएँ उपयोगिता से पहले आती हैं। मैं उपयोगिता और वरीयताओं के बीच संबंध को कारण नहीं कहूंगा, बस एक गणितीय संबंध।

जोखिम उठाने (जोखिम वरीयता) छूट से जुड़ा नहीं है, जो समय की प्राथमिकता को मापता है। यह कहने का कोई मतलब नहीं है कि जोखिम का फैलाव भविष्य की खुद की वरीयताओं को छूट देने के कारण है।

Comments

"मैं उपयोगिता और वरीयताओं के बीच संबंध को कारण नहीं कहूंगा, बस एक गणितीय संबंध।" खैर, मेरे सवाल का मूल यह नहीं है कि क्या प्राथमिकताएँ उपयोगिता कार्यों की ओर ले जाती हैं। यहां मैं मूल रूप से पूछ रहा हूं: क्या वॉन न्यूमैन-मॉर्गनस्टर्न उपयोगिता फ़ंक्शन के मूल्य वरीयताओं की तीव्रता को दर्शाते हैं, या क्या वे केवल जोखिम के प्रति दृष्टिकोण को प्रतिबिंबित करते हैं जिनका प्राथमिकताओं की तीव्रता से कोई लेना-देना नहीं है? और वैसे, छूट से मेरा मतलब समय छूटना नहीं है। मेरा मतलब है कि अन्य वायदा में संस्करणों की तुलना में कुछ संभावित वायदा में खुद के संस्करणों का मूल्यांकन करना।

— केशव श्रीनिवासन

वरीयताओं का अपेक्षित उपयोगिता प्रतिनिधित्व कड़ाई से बढ़ती परिवर्तन के लिए अद्वितीय है। उपयोगिता मूल्यों का कोई अर्थ नहीं है, केवल उनकी रैंकिंग का अर्थ है। आप उपयोगिता फ़ंक्शन को 2 से गुणा कर सकते हैं उदाहरण के लिए अपरिवर्तित प्राथमिकताएं।

— सैंडर हेनसालू

@ केशव श्रीनिवासन शायद दोनों ही आपके द्वारा यहां टिप्पणियों में डाली गई अतिरिक्त जानकारी के साथ सवाल / जवाब अपडेट करना चाहते हैं। शायद सवाल भी औपचारिक रूप से पूछा जाता है (और जैसा कि, बहुत लंबा)। मुझे लगता है कि मैंने यहाँ इन टिप्पणियों को पढ़कर कुछ सीखा है।

— फूबर

@ सेंडरहिनसालू दो बातों में अंतर करते हैं। VNM उपयोगिता फ़ंक्शन के अस्तित्व द्वारा बताई गई अतिरिक्त जानकारी है , अर्थात् वह जानकारी जो व्यक्ति vNM स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है। लेकिन मैं vNM फ़ंक्शन द्वारा बताई गई जानकारी के बारे में बात कर रहा हूँ। यह कहना है कि, यदि x, y, और z A के तीन निश्चित तत्व हैं, तो मात्रा (u (x) - u (y)) / (u (y) - u (z)) व्यक्ति से दूसरे व्यक्ति में भिन्न होती है (उन लोगों में जो vNM स्वयंसिद्ध को संतुष्ट करते हैं), लेकिन यह एक ही व्यक्ति के लिए विभिन्न vNM उपयोगिता कार्यों में भिन्न नहीं होता है। तो यह मात्रा किसी व्यक्ति के लिए कुछ खास बताती है।

— केशव श्रीनिवासन

जोखिम के प्रति दृष्टिकोण वरीयताओं का हिस्सा है। इसलिए यह कुछ अर्थों में वरीयता के जोखिम और तीव्रता दोनों को व्यक्त करता है। लेकिन vNM में राज्य-स्वतंत्र उपयोगिता भी है, जो कुछ बाद के निर्णय सिद्धांत में ढील दी गई है। इसे विभिन्न राज्यों में उपभोग के लिए वरीयता की समान तीव्रता के रूप में व्याख्या की जा सकती है, राज्यों की संभावनाओं के लिए अलग-अलग राज्यों में खपत से उपयोगिता में पूरे अंतर के साथ।

— सैंडर हेनसालू

Answer 3

अपेक्षित उपयोगिता संपत्ति एक संपत्ति नहीं है जो उपयोगिता फ़ंक्शन के कार्यात्मक रूप पर निर्भर करती है। इसका अस्तित्व कुछ निश्चित "स्वयंसिद्धों" (जो अधिक तीक्ष्ण रूप से "स्थितियों" के रूप में वर्णित किया जाएगा) को संतुष्ट करने पर निर्भर करता है, जो कि मनुष्यों की वरीयताओं / व्यवहार के साथ करना है। उन्हें एक सख्त गणितीय अभिव्यक्ति दी जा सकती है (जो अच्छी है), लेकिन उन्हें प्राथमिकता के साथ करना होगा, अर्थात उपयोगिता फ़ंक्शन के लिए किसी भी कार्यात्मक रूप को निर्दिष्ट करने से पहले। आइए देखें इसका क्या मतलब है। एक टिप्पणी में ओपी ने लिखा

“… यदि x, y और z, A के तीन निश्चित तत्व हैं, तो मात्रा $[u(x) - u(y)]/[u(y) - u(z)]$एक व्यक्ति से दूसरे व्यक्ति में भिन्न होता है (vNM स्वयंसिद्ध को संतुष्ट करने वाले लोगों के बीच), लेकिन यह एक ही व्यक्ति के लिए विभिन्न vNM उपयोगिता कार्यों में भिन्न नहीं होता है। तो यह मात्रा किसी व्यक्ति के लिए कुछ खास बताती है। "

ऐसा होता है।

जेहल और रेनी (2011) "उन्नत माइक्रोइकॉनॉमिक थ्योरी" (3 डी एड) से उद्धरण , ch। 2 पी। 108

"हम निष्कर्ष निकालते हैं कि उपयोगिता के अंतर का अनुपात व्यक्ति की प्राथमिकताओं के संबंध में निहित है और उन्हें प्रत्येक VNM उपयोगिता प्रतिनिधित्व (कमजोर वरीयता संबंध) के लिए समान मूल्य पर लेना चाहिए। इसलिए, VNM उपयोगिता प्रतिनिधित्व प्रासंगिक जानकारी के बारे में सामान्य जानकारी से अधिक प्रदान करता है। निर्णय निर्माता की प्राथमिकताएं, अन्यथा, उपयुक्त मोनोटोन परिवर्तनों के माध्यम से, ऐसे अनुपात कई अलग-अलग मूल्यों को मान सकते हैं। "

उनके उदाहरण में, उद्धरण के ठीक पहले वे दिखाते हैं

$$\frac {[u(x) - u(y)]}{[u(y) - u(z)]} = \frac {1-\alpha}{\alpha}$$

कहाँ पे $\alpha$एक संभावना है जो उन प्राथमिकताओं को दर्शाता है जो हम मॉडलिंग कर रहे हैं। फिर से उद्धरण (पृष्ठ 107)

"ध्यान दें कि संभावना संख्या $\alpha$द्वारा निर्धारित किया जाता है, और निर्णय निर्माता की वरीयताओं का एक प्रतिबिंब है। यह एक सार्थक संख्या है। कोई इसे दोगुना नहीं कर सकता, इसके लिए एक निरंतरता जोड़ सकता है, या इसे किसी भी तरह से बदल सकता है बिना वरीयताओं को भी बदल सकता है जिसके साथ यह जुड़ा हुआ है। "

तथा $(1-\alpha)/\alpha$एक ऑड्स है ("ऑड्स रेशियो" नहीं)।

तो यहां आप हैं: एक vNM उपयोगिता फ़ंक्शन उन बाधाओं से जुड़ा है जो किसी व्यक्ति की वरीयताओं को चिह्नित कर सकते हैं।

ADDENDUM
ओपी के साथ टिप्पणियों में एक दिलचस्प लेकिन बहुत अधिक विचारों और विचारों के आदान-प्रदान के बाद, मैंने एक उदाहरण के साथ इस उत्तर को बढ़ाने का फैसला किया, यह दिखाने के लिए कि वरीयताओं के विशिष्ट सिद्धांत के संदर्भ में हम चर्चा कर रहे हैं, "वरीयता तीव्रता "(जैसा कि यहां अनौपचारिक रूप से चर्चा की गई है)" जोखिम के प्रति दृष्टिकोण "से अलग नहीं किया जा सकता" -ये अटूट रूप से जुड़े हुए हैं।

मान लें कि एक व्यक्ति घोषणा करता है (जैसा कि उसके पास हर अधिकार है): "मेरी प्राथमिकताएं मोनोटोनिक हैं और मैं कम से कम पसंद करता हूं। इसके अलावा, अगले पांच यूरो मुझे बिल्कुल वैसा ही उपयोगिता देंगे जैसा कि उनके बाद पांचों ने दिया।" ध्यान दें कि यह अलग-अलग बोल रहा है-हम उस पर सवाल नहीं उठा सकते हैं कि क्या उपयोगिता कार्डिनल हो सकती है या नहीं आदि सुविधा के लिए शून्य से शुरू, हम उनके बयान का प्रतीक हैं

$$u(10) - u(5) = u(5) - u(0) \implies u(5) = \frac 12 u(0) + \frac 12 u(10) \tag {1}$$

ओपी के साथ चर्चा के संदर्भ में, यह "वरीयता तीव्रता" के बारे में एक बयान है।

अगला हम इस व्यक्ति को निम्नलिखित विकल्प प्रस्तुत करते हैं: वह या तो प्राप्त कर सकता है $5$ यूरो, या वह एक जुआ में भाग ले सकता है $G$ वह कहाँ मिलेगा $0$ संभावना के साथ यूरो $1/2$ या $10$ संभावना के साथ यूरो $1/2$। व्यक्ति तब घोषणा करता है कि वह सख्ती से पाना चाहता है$5$निश्चितता के साथ यूरो। यह "जोखिम के प्रति दृष्टिकोण" प्रकट करने वाला एक बयान है।

प्रश्न: क्या इस व्यक्ति की प्राथमिकताएं, जैसा कि उसके दो वक्तव्यों द्वारा वर्णित है, एक उपयोगिता फ़ंक्शन द्वारा प्रतिनिधित्व किया जा सकता है जो अपेक्षित उपयोगिता संपत्ति के पास है?

उत्तर: नहीं।

सबूत: उनके दूसरे बयान से, व्यक्ति ने खुलासा किया कि जुआ की निश्चित समतुल्यता$CE_G$ से कड़ाई से कम है $5$ यूरो:

इसलिए हमारे पास ऐसा है

$$E[u(G)] = u(CE_G) < u(5) \tag{2}$$

अब एक्सपेक्टेड यूटिलिटी प्रॉपर्टी को होल्ड करने के लिए ऐसा होना चाहिए

$$u[G;p(G)] = E[u(G)] = \frac 12 u(0) + \frac 12 u(10) \tag{3}$$

के चलते $(2)$ (जो व्यक्ति के "जोखिम के प्रति दृष्टिकोण" को व्यक्त करता है) हमारे पास वह है

$$(2), (3) \implies \frac 12 u(0) + \frac 12 u(10) < u(5) \tag {4}$$

लेकिन यह विरोधाभास है $(1)$, जो व्यक्ति की "वरीयता तीव्रता" को व्यक्त करता है।

इसलिए हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि एक व्यक्ति जिसकी प्राथमिकताएं उपरोक्त कथनों द्वारा बताई गई हैं, को एक उपयोगिता फ़ंक्शन द्वारा प्रतिनिधित्व नहीं किया जा सकता है जो अपेक्षित उपयोगिता संपत्ति रखता है।

दूसरे शब्दों में, अपेक्षित उपयोगिता संपत्ति के लिए, "जोखिम के प्रति दृष्टिकोण" को "वरीयता तीव्रता" से अलग नहीं किया जा सकता है। यदि व्यक्ति ने घोषणा की थी कि वह उसके बीच उदासीन है$5$ कुछ यूरो और जुआ $G$, तब उनकी प्राथमिकताओं को एक उपयोगिता फ़ंक्शन द्वारा दर्शाया जा सकता था, जिसमें यूरोपीय संघ की संपत्ति थी। लेकिन इसे प्राप्त करने के लिए, हमें "वरीयता तीव्रता" के साथ "जोखिम के प्रति दृष्टिकोण" को "संरेखित" करना पड़ा।

Comments

ठीक है, अब जब हमने उस मात्रा को स्थापित कर लिया है $\frac {u(x) - u(y)}{u(y) - u(z)}$आपको एक व्यक्ति के बारे में कुछ बताता है, मेरा सवाल बना हुआ है, क्या यह आपको वरीयताओं की तीव्रता के बारे में कुछ बताता है? उदाहरण के लिए, यदि$\frac {u(10) - u(5)}{u(5) - u(0)}= \frac{1}{3}$, क्या इसका मतलब यह है कि वे 10 डॉलर से 5 डॉलर कम मजबूती से पसंद करते हैं, जबकि वे 5 डॉलर से लेकर 0 डॉलर तक पसंद करते हैं? या यह सिर्फ जोखिम के प्रति दृष्टिकोण के बारे में कुछ संकेत देता है (यानी प्राथमिकताएं$G(A)$) जो प्राथमिकता तीव्रता के बारे में कुछ नहीं कहता है?

— केशव श्रीनिवासन

@KeshavSrinivasan यह रैंकों तीव्रता है, लेकिन यह नहीं करता है को मापने तीव्रता।

— एलेकोस पापाडोपोलोस

ठीक है, लेकिन यह भी तीव्रता रैंक क्यों करता है? तथ्य यह है कि क्यों$u(10) - u(5) < u(5) - u(10)$आवश्यक रूप से कहा गया है कि ५ डॉलर से १० डॉलर के लिए व्यक्ति की वरीयता ५ डॉलर से ५ डॉलर के लिए व्यक्ति की वरीयता से कम मजबूत है?

— केशव श्रीनिवासन

यदि आप मेरे उत्तर में दिए गए संदर्भ को देखते हैं, तो आप देखेंगे कि आपके संख्यात्मक उदाहरण कहते हैं: "यह व्यक्ति बीच में उदासीन है $5$ डॉलर के साथ निश्चितता, और एक जुआ जहाँ वह मिलता है $10$ संभावना के साथ डॉलर $3/4$, तथा $0$ संभावना के साथ डॉलर $1/4$। आह, लेकिन यह "जोखिम के प्रति दृष्टिकोण" है कोई कह सकता है, "तीव्रता की प्राथमिकताएं नहीं"। और किसने कहा कि "जोखिम के प्रति दृष्टिकोण" कुछ "वरीयता तीव्रता" से अलग है? Contd

— Alecos पापाडोपौलोस

कॉन्टेस्ट अगर मुझे "प्लस 5" पसंद है , तो मैं "माइनस 5" से कम नापसंद करता हूं, क्या यह सोचना तर्कसंगत नहीं है, जब यह अनिश्चितता की बात आती है, तो मैं 5 जीतने की बजाय 5 हारने के बजाय थोड़ा और गलत करूंगा। अधिक? याद रखें, जोखिम से बचने के लिए एक उपयोगिता समारोह, धन की मामूली उपयोगिता को भी प्रदर्शित करता है। जोखिम और "वरीयता तीव्रता" के प्रति दृष्टिकोण बहुत निकटता से जुड़ा हुआ है।

— एलेकोस पापाडोपोलोस