निरंतर मजदूरी के साथ मेर्टन जैसे पोर्टफोलियो विकल्प मॉडल में इष्टतम खपत

Question

मेरे सवाल

निम्नलिखित समस्या पर विचार करें। यह लगभग समान है क्लासिक मर्टन पोर्टफोलियो पसंद समस्या। यहां मैं इसका उपयोग करके हल कर रहा हूं तथाकथित मार्टिंगेल विधि। मैंने अपना प्रयास प्रदान किया है एक व्युत्पत्ति। मेरे तीन प्रश्न हैं:

1. क्या ये सही है?
2. ऐसा क्यों लगता है कि उपभोग पथ स्टोकेस्टिक है? मैं समझता हूं कि हम कर सकते हैं शायद यह समस्या क्लासिक मर्टन के समान है समस्या जहां एजेंट के पास कुछ शुरुआती धन $ W_0 & gt; 0 $। हम यह कहकर कर सकते हैं कि $ W_0 = \ int_0 ^ \ infty \ pi_t wt $। हालांकि, एजेंट सरल $ C_t = w $ का चयन क्यों नहीं करेगा? मेरा संदेह यह है कि यह $ \ rho $ के सापेक्ष मूल्यों पर निर्भर करता है और ब्याज दर $ r $।
3. के अंतर्गत क्या स्थितियां $ C_t = w $ होगी, यदि कभी?

समस्या सेटअप

एक एजेंट के पास प्रारंभिक धन $ W_0 = 0 $ होता है, लेकिन उसे निरंतर प्राप्त होता है मजदूरी की धारा $ w $। एक जोखिम रहित संपत्ति है जो ब्याज दर का भुगतान करती है $ r $ और एक जोखिमपूर्ण सुरक्षा जो गतिशीलता का अनुसरण करती है $$ \ frac {dS} {S} = \ mu_S dt + \ sigma_S dB_t, $$ जहां $ B_t $ एक मानक ब्राउनियन गति है।

अब, एजेंट के पास सीआरआरए उपयोगिता है। इस प्रकार, उनके निर्णय द्वारा मॉडलिंग की जाती है निम्नलिखित कार्यक्रम:

\ Begin {संरेखित *} \ max _ {\ _ C_t \} _ {t = 0} ^ \ infty} \ quad \ mathbb E \ left [\ int_0 ^ \ infty e ^ {- \ rho t}   \ बाएं (\ frac {C_t ^ {1- \ gamma}} {1 - \ gamma} \ right)   \, \ mathrm d t \ right] \\ \ पाठ {s.t. } \ mathbb E \ left [\ int_0 ^ \ infty \ pi_t (c_t - w) dt \ right] \ leq W_0, \ अंत {संरेखित *} जहाँ $ \ pi_t $ स्टोचस्टिक छूट कारक है, जो कर सकता है के रूप में लिखा जा सकता है $$ \ frac {d \ pi_t} {\ pi_t} = - \ mu _ {\ pi} dt - \ sigma _ {\ pi} d B_t। $$

मेरे समाधान का प्रयास

मार्टिंगेल विधि के साथ आगे बढ़ना, पहले क्रम की स्थिति उपयुक्त लग्रनिज हैं $$ u_c (c_t, t) = e ^ {- \ rho t} C_t ^ {- \ Gamma} = \ lambda \ pi_t; $$ जहाँ $ \ pi = e ^ {- r t} \ xi_t $, $ \ lambda $, लैग्रेग गुणक है, और घातीय मार्टिंगेल है $ \ xi_t = \ exp \ left (- \ eta B_t - \ frac {t} {2} \ eta ^ 2 \ right) $। ध्यान दें कि यह पूर्ण बाजारों की धारणा पर आधारित है और के बराबर है $$ \ frac {d \ pi_t} {\ pi_t} = - r dt - \ eta d B_t, $$ जहां $ \ eta = \ frac {\ mu_s - r} {\ sigma_s} $ जोखिम का बाजार मूल्य है।

पहले-क्रम की स्थिति का तात्पर्य है $ C ^ * _ t = \ left (\ lambda \ pi_t e ^ {\ rho t} \ right) ^ {- 1 / \ gamma} $। हम फिर इसे बजट की कमी में बदल सकते हैं और $ \ lambda $ के लिए हल करें: \ Begin {संरेखित *} W_0 & amp; = \ mathbb E \ int_0 ^ \ infty \ pi_t (C_t ^ * - w) \, \ mathrm d t \\ 0 & amp; = \ mathbb E \ int_0 ^ \ infty \ pi_t ^ {\ frac {\ gamma - 1} {\ gamma}}       \ lambda ^ {\ frac {-1} {\ Gamma}} \ exp (- \ rho t / \ gamma) - \ pi_t w \, \ mathrm d t \ अंत {संरेखित *}

अब आगे बढ़ने के लिए, हमें निम्नलिखित मध्यवर्ती गणनाएँ करनी हैं: \ Begin {संरेखित *} \ mathbb E_0 [\ pi_t] & amp; = \ exp \ {- r t \} \\ & amp; \ पाठ {और} \\ \ mathbb E_0 \ left [\ pi_t ^ {\ frac {\ Gamma - 1} {\ gamma}} \ right]   & amp; = \ mathbb E_0 \ exp \ left \ {   -> फ्राक {\ _- गामा - 1} {\ _ गामा} \ लेफ्ट (r + \ frac 12 \ eta ^ 2 \ right) t   -> फ़्रेक {\ _- गामा - 1} {\ _ गामा} \ ईटा बी (टी) \ राइट \} \\   & amp; = \ exp \ left \ {- \ frac {\ gamma - 1} {\ gamma} (r + \ frac 12 \ eta ^ 2) t   + \ frac 12 \ frac {(\ Gamma - 1) ^ 2} {\ gamma ^ 2} \ eta ^ 2 t \ right \} \\   & amp; = \ exp \ left \ {-t \ frac {\ gamma - 1} {\ gamma} \ left [r + \ frac 12 \ eta ^ 2   \ frac {1} {\ gamma} \ right] \ right \}। \ अंत {संरेखित *} उचित नियमितता की स्थिति के कारण, हम विनिमय कर सकते हैं के एकीकरण का क्रम निम्नलिखित गणना करें: \ Begin {संरेखित *} \ mathbb E \ int_0 ^ \ infty \ pi_t w \, \ mathrm d t & amp; = w \ int_0 ^ \ infty \ mathbb E [\ pi_t] \, \ mathbm d t।   = w \ int_0 ^ \ infty \ exp (-r t) = \ frac {w} {r} \\  \ पाठ {और} \\ \ mathbb E \ int_0 ^ \ infty \ pi_t ^ {\ frac {\ gamma - 1} {\ gamma}}   \ exp \ left (\ frac {- \ rho t} {\ Gamma} \ right) \, \ mathrm d t   & amp; = \ int_0 ^ \ infty \ exp (-a t) dt = a ^ {- 1}, \ अंत {संरेखित *} जहाँ $ a = \ frac {\ rho} {\ gamma} + \ frac {\ Gamma - 1} {{गामा}}   \ बाएँ [r + \ frac 12 \ eta ^ 2 \ frac {1} {\ Gamma} \ right] $। फिर, बजट की कमी के साथ, हम जारी रखते हैं $ \ lambda ^ {- 1 / \ gamma} $ के लिए हल कर सकते हैं, $$ \ lambda ^ {- 1 / \ Gamma} = \ frac {w a} {r}। $$ इसके बाद हम इसे अपनी अभिव्यक्ति में बदल सकते हैं खपत का इष्टतम मार्ग, $$ C ^ * _ t = \ frac {w a} {r} \ pi_t ^ {- 1 / \ gamma} \ exp \ left \ {- \ frac {1} {\ gamma} \ rho t   \सही \}। $$

Comments

मैंने व्युत्पत्ति को विस्तार से नहीं देखा है, लेकिन मुझे लगता है कि मार्टिंगेल दृष्टिकोण पूर्ण बाजारों को मानता है, ताकि एजेंट किसी भी अन्य संपत्ति की तरह अपनी श्रम आय स्ट्रीम भी कर सकें (और संभवतः वह व्युत्पन्न खपत का समर्थन करने के लिए होगा प्रक्रिया)। Nontraded श्रम आय के लिए इष्टतम नीति प्राप्त करने के लिए शायद एजेंट के गतिशील कार्यक्रम को स्पष्ट रूप से हल करना होगा।

— ivansml

Answer 1

$ \ Newcommand {\ आर} {\ mathbb {R}} \ Newcommand {\ n} {\ mathbb {एन}} \ Newcommand {\ एफ} {\ mathbb {एफ}} \ Newcommand {\ सी} {\ mathbb {सी}} \ Newcommand {\ ई} {\ mathbb {E}} एक गणित वातावरण में संक्षिप्त रूप से "ऐसा" है \ newcommand {\ st} {\ text {s.t. }} एक गणित वातावरण में% पाठ "जैसा" \ newcommand {\ as} {\ text {as}} % विभिन्न संदर्भ आदेश \ Newcommand {\ rref} [1] {(\ रेफरी {# 1})} \ Newcommand {\ eref} [1] {eq। (\ रेफरी {# 1})} \ newcommand {\ fref} [1] {चित्र \ ref {# 1}} % अंतर d \ newcommand {\ dd} {\, \ mathrm {d}} % विचरण और कोविरियन $

भाग 1

हाँ। हालांकि, उत्तर को आगे भी सरल करना और लिखना उपयोगी है अन्य के संदर्भ में इष्टतम खपत। अधिक आसानी से मनाया मात्रा। यहाँ व्युत्पत्ति है। मैं पोर्टफोलियो होल्डिंग्स के लिए भी हल करता हूं।

धन के संदर्भ में इष्टतम खपत की गणना

बजट बाधा से संबंधित कुछ प्रारंभिक गणनाओं के साथ फिर से शुरू करें। \ Begin {संरेखित *} \ mathbb E_t \ left [\ pi_T ​​^ {\ frac {\ gamma - 1} {\ gamma}} \ right]   & amp; = \ mathbb E_0 \ pi_t ^ {\ frac {\ gamma-1} {\ gamma}} \ exp \ left \ {   -> फ्राक {\ Gamma - 1} {\ Gamma} \ left (r + \ frac 12 \ eta ^ 2 \ right) (T-t)   -> फ़्रेक {\ Gamma - 1} {\ Gamma} \ eta (B (T) - B (t)) \ right \} \\   & amp; = \ pi_t ^ {\ frac {\ gamma-1} {\ Gamma}} \ exp \ left \ {- \ frac {\ Gamma - 1} {\ gamma} (r + \ frac 12 eta ^ 2) (TT)   + \ _ frac 12 \ frac {(\ Gamma - 1) ^ 2} {\ gamma ^ 2} \ eta ^ 2 (T-t) \ right \} \\   & amp; = \ pi_t ^ {\ frac {\ Gamma-1} {\ gamma}} \ exp \ left \ {(Tt) \ frac {\ gamma - 1} {\ _ gamma} \ left [r + \ frac 12] \ ईटा ^ 2   \ frac {1} {\ gamma} \ right] \ right \}। \ अंत {संरेखित *} बजट की कमी से \ Begin {संरेखित *} \ pi_t W_t & amp; = \ E_t \ left [\ int_t ^ \ infty \ pi_s C_s \ dd s \ right] \\ W_t & amp; = \ frac {1} {\ _ pi_t} \ E_t \ left [\ int_t ^ \ infty \ lambda ^ {- 1 / \ gamma} e ^ {- \ frac \ "rho} {\ gamma} pi_s ^ {\ frac {\ gamma-1} {\ gamma}} \ dd s \ right] \\   & amp; = \ frac {1} {\ _ pi_t} \ int_t ^ \ infty \ lambda ^ {- 1 / \ gamma} e ^ {- \ frac {\ rho} {\ gamma} s \ _ \ _ \ _ \ _ ^ {\ frac {\ Gamma-1} {\ Gamma}} \ right] \ dd s \\   & amp;; \ gamma-1} {\ gamma}} \ exp \ {- (st) \ frac {\ Gamma-1} {\ Gamma} \ left [r + \ frac 12 \ eta ^ 2 \ frac 1 \ gamma's right] \} \ dd s \\   & amp; = \ pi ^ {\ frac {-1} {\ gamma}} \ lambda ^ {\ frac {-1} {\ gamma}}   \ int_t ^ \ infty \ exp \ left \ {- \ frac {\ rho} {\ Gamma} (st) - \ frac {\ rho} {\ gamma} t - (st) \ frac {\ _ \ _ गामा -1} { \ Gamma} \ left [r + \ frac 12 \ eta ^ 2 \ frac 1 \ gamma \ right] \ right \} \ dd s \\   & amp; = \ pi ^ {\ frac {-1} {\ gamma}} \ lambda ^ {\ frac {-1} {\ gamma}}   e ^ {- \ frac \ rho \ Gamma t} \ int_t ^ \ infty \ exp \ left \ {- (st) \ frac {\ gamma-1} {\ gamma} \ left [r + \ frac \ "rho} {[गामा -१}} + \ frac १२ \ eta ^ २ \ frac १ \ गामा \ सही] \ right \} \ dd s \\   & amp; = \ pi ^ {\ frac {-1} {\ gamma}} \ lambda ^ {\ frac {-1} {\ gamma}}   e ^ {- \ frac \ rho \ gamma t} \ frac 1 a, \ अंत {संरेखित *} कहा पे $ ए = \ frac {\ gamma-1} {\ Gamma} \ left [r + \ frac {\ rho} {\ gamma-1} + \ frac 12 \ eta ^ 2 \ frac 1 \ gamma \ right] $ (यह प्रश्न में प्रदर्शित प्रयास के रूप में परिभाषित किया गया है)। हमारे इष्टतम उपभोग की व्युत्पत्ति से, हमारे पास है $$ C_t ^ * = \ lambda ^ {- \ frac 1 \ gamma} e ^ {- \ frac \ rho \ Gamma t} \ pi_t ^ {- \ frac 1 \ Gamma} = a W_t। $$

इष्टतम खपत के लिए गतिशीलता प्राप्त करना: $ \ dd C_t ^ * $।

खपत के इस स्तर का समर्थन करने के लिए इष्टतम पोर्टफोलियो खोजने के लिए आगे बढ़ने के लिए, हमें $ C_t ^ * $ की गतिशीलता की गणना करने की आवश्यकता है।

हम यह दिखाएंगे कि, इष्टतम खपत के हमारे व्युत्पत्ति से, \ Begin {} समीकरण \ dd W_t = \ frac 1 a \ dd C_t ^ * = \ frac 1 एक C_t \ frac 1 \ gamma \ left (\ eta \ dd Z_t + \ frac 12 \ frac {1+ \ Gamma} {\ Gamma} \ eta ^ 2 \ dd t's right)। \ लेबल {धन-गतिशीलता-से-इष्टतम खपत} \ _ टैग १ \ अंत {} समीकरण

दूसरी समानता निम्नानुसार ली गई है।

वह दूसरी समानता $ \ lambda ^ {- \ frac 1 \ Gamma} = \ frac {w a} r $ (प्रश्न कथन में दिए गए प्रयास से प्राप्त) से आती है इटो के लेम्मा से लागू किया गया \ Begin {संरेखित *} C ^ * _ t & amp; = \ lambda ^ {- \ frac 1 \ gamma} e ^ {- \ frac \ rho \ gamma t} \ pi_t ^ {- \ frac 1 \ Gamma} \\   & amp; = \ frac {w a} {r} (e ^ {\ rho t} \ pi_t) ^ {- \ frac 1 \ gamma} \\ & amp; = \ frac {w a} {r} \ xi_t ^ {- \ frac 1 \ Gamma}। \ अंत {संरेखित *} यहाँ मैंने सरल धारणा को जोड़ा है कि $ \ rho = r $ और मैंने उस परिभाषा का उपयोग किया है $ \ pi_t = e ^ {- r t} \ xi_t $। इष्टतम खपत पर इटो के लेम्मा की गणना इस तरह से होती है: \ Begin {संरेखित *} \ dd C_t & amp; = - \ frac {वा} {r} \ frac 1 \ gamma \ xi_t ^ {\ frac {-1 - \ Gamma} {\ gamma}} \ dd \ xi_t + \ _ frac 12 \ frac {वा} {r} \ frac 1 \ gamma \ frac {1 + \ Gamma} {\ Gamma} \ xi_t ^ {- \ frac 1 \ Gamma - 2} (\ dd \ xi_t) ^ 2 \\   & amp; = - C_t \ frac 1 \ Gamma \ left (\ frac {\ dd \ xi_t} {\ xi_t} \ right) + \ _ frac 12 C_t \ frac 1 \ gamma \ frac {1+ \ gamma} {\ Gamma} \ left (\ frac {\ dd \ xi_t} {\ xi_t} \ right): 2 \\   & amp; = -C_t \ frac 1 \ Gamma (- \ eta \ dd B_t) + \ frac 12 C_t \ frac 1 \ Gamma \ frac {1+ \ "गामा} {\ gamma} (\ eta ^ 2 \ dd t) \ अंत {संरेखित *} इस प्रकार, $$ \ frac {\ dd C_t} {C_t} = \ frac 1 \ gamma \ left (\ frac 12 \ eta ^ 2 \ frac {1+ \ gamma} \ Gamma \ dd t + \ etma \ dd B_t \ right)। $$

इष्टतम पोर्टफोलियो प्राप्त करने के लिए शब्दों का मिलान करें।

हम इष्टतम पोर्टफोलियो को घटा सकते हैं जिसकी गतिशीलता को प्राप्त किया जा सकता है एक व्यापार रणनीति के साथ एक पोर्टफोलियो जिसका वजन $ omega_t $ द्वारा परिभाषित किया गया है और इन गतिकी की तुलना धन की गतिकी से होती है जिस डायनेमिक्स के लिए हमने गणना की है इष्टतम खपत।

यदि $ \ omega $ धन का वह अंश है जो हम जोखिमपूर्ण सुरक्षा में निवेश करते हैं और $ 1- \ _ ओमेगा $ जोखिम रहित सुरक्षा में निवेशित अंश है, तो धन के लिए गतिशीलता लिखी जा सकती है $$ \ dd W_t = \ omega (\ mu -r) W_t \ dd t + (r W_t - C_t) \ dd t + W_t \ omega \ sigma \ dd Zt $$

अब, हम शब्दों का मिलान करके $ \ omega $ के लिए एक अभिव्यक्ति प्राप्त कर सकते हैं समीकरण के शब्दों के साथ इस समीकरण (\ ref {धन-गतिकी-से-इष्टतम-खपत})। $ \ Dd Z_t $ की शर्तों से, \ Begin {संरेखित *} W_t \ omega \ sigma & amp; = \ frac 1 एक C_t \ frac 1 \ gamma \ eta \\ \ omega & amp; = \ frac \ eta {\ sigma \ gamma}। \ अंत {संरेखित *}

भाग 2

ऐसा लगता है कि खपत स्टोचस्टिक है क्योंकि यहां खपत होती है है स्टोकेस्टिक। सेवन अर्थव्यवस्था की स्थिति पर निर्भर करता है। हालाँकि यह है, $ \ mathcal F_t $ -measurable, इसलिए समय पर इष्टतम खपत $ t $ केवल $ t $ समय पर उपलब्ध जानकारी पर निर्भर करता है। सकारात्मक शार्प अनुपात $ \ eta $ और परिमित जोखिम से बचने के कारण, एजेंट जोखिमपूर्ण सुरक्षा में निवेश करेगा। जैसा कि हमने पहले दिखाया था, खपत धन का एक अंश है, $ C_t ^ * = W_t $। धन प्रदर्शन पर निर्भर करता है एजेंट के निवेश का। अच्छे समय में, एजेंट अधिक खपत करता है। भस्म धन का अंश, एक $, पर निर्भर करता है ब्याज दर $ r $, व्यक्तिपरक छूट $ \ rho $, जोखिम से बचने की $ \ गामा $, और जोखिम का बाजार मूल्य (शार्प अनुपात) $ \ eta $।

भाग ३

इसका एक तरीका यह हो सकता है कि अगर हम यह मान लें कि एजेंट केवल निवेश कर सकता है जोखिम रहित सुरक्षा में। बस के रूप में, $ \ eta = 0 $ दें। इसके अलावा, मान लीजिए कि ब्याज दर व्यक्तिपरक छूट दर के बराबर है, $ r = \ rho $।

ऐसा करते हुए, हम देखते हैं कि $ \ pi_t = \ exp \ {- r t \} $ है। से भी बजट बाधा हम जानते हैं कि धन है $$ W_t = B_t + \ $$ जहां $ B_t $ जोखिमहीन संपत्ति में निवेश किए गए धन पर $, $ theta_t $ है डॉलर की राशि जोखिमपूर्ण सुरक्षा $ S_t $, और शेष में निवेश की जाती है टर्म भविष्य की मजदूरी (उम्मीद) के वर्तमान रियायती वर्तमान मूल्य है यहाँ $ \ pi_s $ और $ w $ को इस मामले में स्थिर होने के बाद से छोड़ा जा सकता था, लेकिन मैंने शामिल किया है यह स्थिरता के लिए)। इसके अलावा, $ \ eta = 0 $, $ a = r $ के बाद से। इस प्रकार, $$ C_t ^ * = r W_t = r \ left (B_t + \ frac w r \ right)। $$ चूंकि $ B_0 = 0 $ धारणा से, $ C_0 = w $। धीरे-धीरे बोलना, एक प्रेरण-जैसा तर्क हमें $ B_t = 0 $ सभी $ t $ के लिए देता है और इस प्रकार, $$ C_t ^ * = \ frac w r = w। $$