एफओ का न्यूनतम विस्तार क्या है जो नियमित भाषाओं के वर्ग को दर्शाता है?

Question

संदर्भ: तर्क और ऑटोमेटा के बीच संबंध

बुची के प्रमेय में कहा गया है कि स्ट्रिंग्स (MSO) पर मोनाडिक सेकंड ऑर्डर लॉजिक नियमित भाषाओं के वर्ग को पकड़ता है। प्रमाण वास्तव में दर्शाता है कि स्ट्रिंग्स के ऊपर MSO ( या EMSO ) नियमित भाषाओं को पकड़ने के लिए पर्याप्त है। यह थोड़ा आश्चर्यचकित करने वाला हो सकता है, क्योंकि सामान्य संरचनाओं के मुकाबले, MSO तुलना में कड़ाई से अधिक अभिव्यंजक है ।O $\exists\text{MSO}$$\exists\text{MSO}$

मेरा (मूल) प्रश्न: नियमित भाषाओं के लिए एक न्यूनतम तर्क?

वहाँ एक तर्क है, जो सामान्य संरचनाओं पर, की तुलना में सख्ती से कम अर्थपूर्ण है , लेकिन वह अभी भी नियमित रूप से भाषाओं के वर्ग जब तार से अधिक माना जाता खींचता है?$\exists\text{MSO}$

विशेष रूप से, मैं यह जानना चाहता हूं कि नियमित भाषाओं के किस टुकड़े को एफओ द्वारा उस पर कब्जा कर लिया जाता है, जब न्यूनतम-निर्धारित बिंदु ऑपरेटर (एफओ + एलएफपी) के साथ बढ़ाया जाता है। यह मैं क्या देख रहा हूँ के लिए एक प्राकृतिक उम्मीदवार की तरह लगता है (अगर यह नहीं है )।$\exists\text{MSO}$

एक पहला जवाब

के अनुसार @ माकोटो-कानाज़ावा के जवाब , दोनों एफओ (LFP) और एफओ (टीसी) नियमित रूप से भाषाओं, जहां टीसी बाइनरी संबंधों के सकर्मक बंद करने की एक ऑपरेटर है और अधिक से अधिक पर कब्जा। यह देखा जाना चाहिए कि क्या टीसी को किसी अन्य ऑपरेटर या ऑपरेटरों के सेट द्वारा इस तरह से प्रतिस्थापित किया जा सकता है कि विस्तार नियमित भाषाओं के वर्ग को कैप्चर करता है, और कोई अन्य नहीं।

पहला-ऑर्डर लॉजिक, जैसा कि हम जानते हैं, यह पर्याप्त नहीं है, क्योंकि यह स्टार-फ्री भाषाओं, नियमित भाषाओं का एक उचित उपवर्ग कैप्चर करता है। शास्त्रीय उदाहरण के रूप में, भाषा समानता एक एफओ वाक्य का उपयोग कर व्यक्त नहीं किया जा सकता है।$\;\;=(aa)^*$

अद्यतन प्रश्न

यहाँ मेरे प्रश्न का एक नया शब्द है, जो अनुत्तरित है।

प्रथम क्रम तर्क का न्यूनतम विस्तार क्या है जैसे कि एफओ + यह विस्तार, जब स्ट्रिंग्स पर लिया जाता है, बिल्कुल नियमित भाषाओं के वर्ग को कैप्चर करता है ?

यहां, एक एक्सटेंशन न्यूनतम है यदि यह सभी एक्सटेंशनों में से सबसे कम अभिव्यंजक (सामान्य संरचनाओं पर लिया गया) है जो नियमित भाषाओं के वर्ग (जब स्ट्रिंग्स पर लिया गया है) पर कब्जा करता है।

Comments

अगर मैं गलत नहीं हूँ, तो -culculus स्ट्रिंग्स के ऊपर MSO के बराबर है। $\mu$

— सिल्वेन

@ सिल्वेन, कोई संदर्भ? मैं कुछ भी नहीं जानता -culculus के। $\mu$

— जनमो २

यह में साबित किया गया प्रतीत होता dx.doi.org/10.1109/LICS.1988.5137 अनंत पेड़ के लिए, और में dx.doi.org/10.1007/3-540-61604-7_60 एमएसओ की bisimulation-अपरिवर्तनीय टुकड़ा के साथ तुल्यता के लिए मनमानी संरचनाओं पर।

— सिल्वेन

मैं दूसरे पेपर पर एक नज़र डाल रहा हूं, हालांकि मुझे डर है कि कई अवधारणाएं मेरे लिए नई हैं। विशेष रूप से, मैं द्वि-संचलन-अपरिवर्तनीय संक्रमण प्रणालियों के बारे में नहीं जानता था। ऐसा प्रतीत होता है कि डीएफए एक संक्रमण प्रणाली के विशेष मामले हैं, लेकिन मुझे नहीं पता कि क्या वे बाइसीम्यूलेशन-इनवेरिएंट हैं। यदि वे हैं, तो मेरे सवाल का हिस्सा होगा (नियमित भाषाओं के लिए एक और कम अभिव्यंजक तर्क हो सकता है); यदि वे नहीं हैं, तो मुझे लगता है कि कुछ भी नहीं कहा जा सकता है, क्योंकि अभी भी केवल तार पर विचार करते समय एक समानता हो सकती है।

— जनमो २

दो परिमित शब्द , जिन्हें संक्रमण प्रणाली के रूप में देखा जाता है, बिसिमिलर इफ़ हैं अगर वे आइसोमोर्फिक हैं। (दूसरा कागज, एक शब्द के अंकन में में Σ * साथ Σ = 2 पी आर ओ पी एक संक्रमण प्रणाली के रूप में देखा जा सकता है ⟨ { 1 , ... , n } , 1 , { ( मैं , मैं $a_1\cdots a_n$$\Sigma^\ast$$\Sigma=2^{\mathit{Prop}}$ )।$\langle\{1,\dots,n\},1,\{(i,i+1)\mid i<n\},\{i\mid p\in a_i\}_{p\in\mathit{Prop}}\rangle$

— सिल्वेन

Answer 1

एफओ (एलएफपी) पीटीटाइम को आदेशित संरचनाओं पर कब्जा कर लेता है, और स्ट्रिंग्स को आदेशित संरचनाएं हैं। तो एफओ (LFP) द्वारा निश्चित भाषाओं में सभी नियमित भाषाएं शामिल हैं और बहुत कुछ। http://dx.doi.org/10.1016/S0019-9958(86)80029-8

$\{ a^n b^n \mid n \geq 1 \}$

Comments

अति उत्कृष्ट। मुझे नहीं पता कि आपके लिए TC ^ 1 और TC ^ 2 का क्या मतलब है, क्या यह एक टाइपो है? जहाँ तक मुझे पता है, पुस्तक में आप का उल्लेख इस्तेमाल किया अंकन के साथ एफओ के विस्तार के लिए एफओ (टीसी) है सकर्मक बंद साथ एफओ के विस्तार के लिए और एफओ (डीटीसी) नियतात्मक सकर्मक बंद है, जो अलग ढंग से परिभाषित किया गया है। मुझे आपके द्वारा उल्लेखित अभ्यास नहीं मिला है, हालांकि। यह देखना बाकी है कि क्या टीसी के मुकाबले कोई ऑपरेटर कम अभिव्यंजक है जो अभी भी नियमित भाषाओं को पकड़ने की अनुमति देता है। मैं अपने प्रश्न को तदनुसार अद्यतन करूंगा।

— जनमो

Answer 2

यह उत्तर थोड़ा देर से है, लेकिन यह ज्ञात है कि कोई भी प्रत्येक परिमित समूह के लिए एक सामान्यीकृत समूह परिमाणक (या प्रत्येक परिमित सरल समूह के लिए समतुल्य) द्वारा सभी और केवल नियमित भाषाओं को प्राप्त कर सकता है। उदाहरण के लिए, http://www.brics.dk/RS/03/28/BRICS-RS-03-28.pdf पर Zoltan Esiky और Kim G. Larsen द्वारा "लिंडस्ट्रॉम क्वांटिफायर द्वारा निश्चित भाषाएं" देखें ।

इसके अलावा, यह इस अर्थ में इष्टतम है कि एक नियमित भाषा केवल तभी निश्चित होगी जब प्रत्येक समूह के लिए मात्रात्मक अपने सिंटैक्टिक मोनॉयड को उपलब्ध हो।

Answer 3

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मुझे कुछ और संदर्भ मिले जिनकी आपको रुचि हो सकती है।

$^1$ दस केट और सेगॉफिन के 2010 के पेपर में मोनैडिक ट्रांजेक्टिव । यह साबित करता है, अन्य बातों के अलावा, एफओ (एमटीसी) परिमित पेड़ों पर एमएसओ की तुलना में कड़ाई से कम अभिव्यंजक है।

$^1$