हाफस्पेस रेंज काउंटिंग के लिए ट्रेडऑफ सीमा

Question

वर्तमान समय / स्पेस ट्रेडऑफ़ के रूप में व्यक्त किए गए - dimensional बिंदुओं के एक सेट पर हाफ़स्पेस रेंज की गिनती के प्रश्नों के प्रदर्शन के लिए सबसे अच्छी बाध्यता क्या है । Matousek के लाभदायक 1993 कागज (प्रमेय 6.2, रेंज कुशल श्रेणीबद्ध कलमों के साथ खोज) के अनुसार, हम प्रश्नों कि के चौराहे हैं के लिए सीमा गिनती कर सकते हैं पी के लिए, halfspaces 1 ≤ पी ≤ घ + 1 , आकार के एक डेटा संरचना का उपयोग कर हे ( मीटर ) , के लिए n ≤ मीटर ≤ n घ , में हे ( $d$$p$$1 \le p \le d+1$$O(m)$$n \le m \le n^d$समय। के लिएपी=1यह हैहे(एन/मी1/घ)समय। हालाँकि, अग्रवाल की श्रेणी खोज पर सर्वेक्षण (तालिका 36.3.2) का दावा है कि बाउंडO($O\left(\frac{n}{m^{1/d}}\log^{p-(d-p+1)/d} \left(\frac{m}{n}\right)\right)$$p=1$$O(n/m^{1/d})$। बाउंड का सही कथन क्या है? वैकल्पिक रूप से, मुझे क्या गलतफहमी है? अंत में, क्या कोई गुप्त लॉग शब्द है जबm=nd?$O\left(\frac{n}{m^{1/d}}\log(\frac{m}{n})\right)$$m=n^d$

Answer 1

Matoušek की मजबूत समय सीमा सही है।

प्रमेय 6.1 ( पत्रिका संस्करण में ) का प्रमाण एक अप्रत्यक्ष चाल का उपयोग करता है जो लॉगरिदमिक क्वेरी समय के लिए आवश्यक जगह को से O ( n d / polylog n ) तक सीमित करता है । सहज रूप से, चाल को पॉलीग्लारिथिक आकार के सबसेट में बिंदुओं को क्लस्टर करने के लिए है, प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए एक रेखीय-स्थान डेटा संरचना का निर्माण करें, और फिर सबसेट पर एक मानक लघुगणक-क्वेरी-टाइम संरचना का निर्माण करें। अग्रवाल के सर्वेक्षण के लंबे संस्करण में गैरी सामान्यता में वर्णित मटौकेक के बहु-स्तरीय / ट्रेडऑफ़ मशीनरी में बंधे हुए बेहतर स्थान को प्लग करना$O(n^d)$$O(n^d/\operatorname{polylog} n)$माटोजेक के टाइम-स्पेस ट्रेडऑफ़ का रूप देता है। (वास्तव में, अप्रत्यक्ष चाल मानक ट्रेडऑफ मशीनरी का एक बहुत ही सावधान अनुप्रयोग है।)

Comments

बस स्पष्ट होने के लिए: मैटहाउसक के पेपर में प्रमेय 6.2 में दावा किया गया है कि हाफ़स्पेस की गिनती स्पेस, ओ ( एन / एम 1 / डी ) समय में की जा सकती है। जब m = n d , यह O ( 1 ) समय है ... कोई अस्थिर योजक कारक नहीं है? मैं केवल इसलिए पूछता हूं क्योंकि सर्वेक्षण में प्रमेय and और कोरोलरी add में एक योजक O ( l o g ( m / n ) ) है जो प्रमेय के Matousek के कथन में मौजूद नहीं है। $O(m)$$O(n/m^{1/d})$$m = n^d$$O(1)$$O(log (m/n))$

— पाकन

ओह समझा। हाँ, वहाँ एक बग है; ऊपरी बाध्य प्रमेय बयान में बहुत ढीली है। प्रमाण के लिए m = O ( n d / log d - p + 1 n ) की आवश्यकता होती है ; अन्यथा, पूर्णांक पैरामीटर r 1 से कम होगा । क्वेरी समय में लॉगरथमिक शब्द जोड़ने से भी समस्या ठीक हो जाती है। $m \le n^d$$m = O(n^d / \log^{d-p+1} n)$$r$$1$

— जेफ

Answer 2

अग्रवाल के सर्वेक्षण में तालिका 36.3.2 के ठीक ऊपर और इस सर्वेक्षण के खंड 4.3 में एक और आधे स्थान की खोज में परिणामों की एक संक्षिप्त चर्चा है । पूर्व में कई विवरण देने के लिए प्रतीत नहीं होता है "सिम्पलेक्स रेंज खोज के लिए एक स्पेस / क्वेरी-टाइम ट्रेडऑफ़ रैखिक-आकार और लॉगरिदमिक क्वेरी-टाइम डेटा संरचनाओं के संयोजन से प्राप्त किया जा सकता है", लेकिन उत्तरार्द्ध काफी थोड़ा प्रदान करता है। स्पेस / क्वेरी-टाइम ट्रेडऑफ़ पर अधिक विवरण। मेरा सुझाव है कि खंड 4.3, प्रमेय 7, कोरोलरी 8 ​​और उनके प्रमाण देखें। मैंने उन्हें यह जानने के लिए पर्याप्त विवरण में नहीं पढ़ा है कि क्या यह आपके प्रश्न का पूरी तरह से उत्तर देता है, लेकिन यह शुरू होने के लिए कम से कम एक अच्छी जगह है।