3-मूल्यवान तर्क की कार्यात्मक पूर्णता

Question

हाल के कुछ कामों के संदर्भ में , हम तीन-मूल्यवान लॉजिक ए ला क्लेने पर आधारित भाषा को परिभाषित कर रहे हैं, जहां सच के लिए खड़ा है, झूठे के लिए, और त्रुटि के लिए या पता नहीं है। यह दिखाने के लिए कि हमारी भाषा अभिव्यंजक थी, हम यह साबित करना चाहते थे कि हम कार्यात्मक रूप से पूर्ण रूप से ऑपरेटरों का एक सेट बना सकते हैं।$1$$0$$\bot$

साहित्य में मौजूदा परिणामों को खोजना काफी कठिन था। हमें 1962 में जोब द्वारा लिखित एक पेपर मिला, जिसमें निम्नलिखित प्रमेय दिए गए हैं:

Jobe 1962 प्रमेय पत्र (प्रतिबंधित पहुँच)।

तीन-मूल्यवान लॉजिक को सेट पर व्यक्त किया गया है और नीचे दिए गए ऑपरेटरों और द्वारा परिभाषित किया गया है , कार्यात्मक रूप से पूरा हो गया है।$E$$\{1, 2, 3\}$$\bullet, E_1$$E_2$

$$\begin{array}{c|ccc|c|c} ~\bullet~ & ~3~ & ~2~ & ~1~ & ~E_1~ & ~E_2~ \\ \hline 3 & 3 & 2 & 1 & 3 & 1 \\ 2 & 2 & 2 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 2 & 3 \end{array}$$

हमारे पेपर में, हमने अपने ऑपरेटरों और जोबे द्वारा परिभाषित लोगों के बीच एक पत्राचार दिखाकर इस परिणाम का उपयोग किया है (मोटे तौर पर, हम मजबूत संयोजन, निषेध और एक ऑपरेटर का उपयोग करते हैं जो झूठ में पता नहीं बदलते हैं)।

मेरी मुख्य चिंता यह है कि मैं वास्तव में जोबे के कार्यात्मक पूर्णता के प्रमाण को समझने में सक्षम नहीं हूं, और हम इस तिथि के बाद किसी भी अन्य परिणाम (सकारात्मक या नकारात्मक) को खोजने में सक्षम नहीं हैं, जो किसी तरह थोड़ा आश्चर्य की बात है।

तो मेरा प्रश्न निम्नलिखित है: 3-मूल्यवान लॉजिक्स की कार्यात्मक पूर्णता के बारे में कुछ और ज्ञात परिणाम हैं? इस दिशा में कोई भी जानकारी उपयोगी होगी।

Comments

तत्व क्षेत्र कार्यात्मक पूरा हो गया है। तत्व पोस्ट बीजगणित कार्यात्मक पूरा हो गया है। $3$$3$

— एमिल जेकाबेक

@ EmilJe Emábek धन्यवाद, मैंने अभी टर्नेरी पोस्ट लॉजिक के बारे में पढ़ा है, और जो कि पत्राचार से लगता है (हालाँकि मैं इस विषय पर ज्यादा नहीं ढूँढ सकता)। क्या आपके पास 3-तत्व क्षेत्र के बारे में कुछ संदर्भ होगा? Google थोड़ा बहुत अस्पष्ट है।

— चार्ल्स

मैं आपको एक संदर्भ-हाथ नहीं दे सकता, लेकिन यह एक आसान तथ्य है: मानक (बहुभिन्नरूपी) प्रक्षेप का अर्थ है कि एक परिमित क्षेत्र पर किसी भी ऑपरेशन को एक बहुपद द्वारा व्यक्त किया जा सकता है। इसके अलावा, यदि क्षेत्र प्रधान है (जैसे कि यहां), तो बहुपद के गुणांक निरंतर शब्दों ( ) द्वारा निश्चित हैं। इस प्रकार, भाषा में प्रमुख क्षेत्र कार्यात्मक रूप से पूर्ण होते हैं। $1+1+\cdots+1$$\{+,\cdot,1\}$

— एमिल जेकाबेक

Answer 1

पुस्तक के अध्याय 5 और 6 [परिमित सेटों पर फ़ंक्शन अलजेब्रा, डाइटलिंडे लाउ, 2006] में कई-मूल्यवान तर्क (प्रमाण सहित) में कार्यात्मक पूर्णता का गहन उपचार शामिल है। सारांश में: रोसेनबर्ग्स [1965, 1970] मैक्सिमम क्लोन के लक्षण वर्णन (जिसे प्रीक्लोमेटेड क्लोन भी कहा जाता है) किसी भी k के लिए k- मूल्यवान तर्क में कार्यात्मक पूर्णता के लिए एक मानदंड देते हैं।

3-मूल्यवान तर्क के विशेष मामले के लिए इस तरह के एक लक्षण वर्णन (18 अधिकतम / पूर्वनिर्मित वर्गों से मिलकर) 1954 में पहले से ही Jablonskij द्वारा दिया गया था। इसलिए, यह सत्यापित करने के लिए कि आपके 3-मूल्यवान "ऑपरेटरों" का सेट कार्यात्मक पूर्ण है, यह यह जांचने के लिए पर्याप्त है कि वे 18 अधूरा वर्गों में से किसी में नहीं आते हैं।