कॉर्डल ग्राफ़ के विशिष्ट उपवर्गों में वर्चस्वकारी सेट समस्या की जटिलता

Question

मुझे कुछ विशिष्ट ग्राफ कक्षाओं में वर्चस्व सेट समस्या (डीएसपी) की जटिलता में दिलचस्पी है जो कॉर्डल ग्राफ़ के उपवर्ग हैं ।

एक ग्राफ एक अप्रत्यक्ष पथ ग्राफ है यदि यह कुछ अप्रत्यक्ष वृक्षों में पथों के परिवार के शीर्ष-प्रतिच्छेदन ग्राफ है। बता दें कि यूपी अप्रत्यक्ष पथ ग्राफ का वर्ग है।

एक ग्राफ एक EPT ग्राफ है अगर यह कुछ अप्रत्यक्ष पेड़ में पथों के एक परिवार के किनारे-चौराहे का ग्राफ है। एक ईपीटी ग्राफ कॉर्डल नहीं हो सकता है, लेकिन सीईपीटी कोर्डल ईपीटी ग्राफ का वर्ग होने दें।

एक ग्राफ एक (निहित) निर्देशित पथ ग्राफ है अगर यह कुछ जड़ें निर्देशित पेड़ (यानी जड़ से दूर निर्देशित सभी आर्क्स) में निर्देशित पथ के एक परिवार के शीर्ष-चौराहे का ग्राफ है। बता दें कि आरडीपी (रूटेड) निर्देशित पथ रेखांकन का वर्ग है।

हम $RDP\subseteq CEPT \subseteq UP\subseteq chordal$

यह ज्ञात है कि डीएसपी RDP में रेखांकन के लिए रेखीय-समय-विलेय है लेकिन यूपी [ बूथ और जॉनसन, 1981 ] के रेखांकन के लिए NP- पूर्ण है।

मुझे विशेष रेखांकन में दिलचस्पी है, जो अधिकतम डिग्री के कैटरपिलर जैसे पेड़ों में अप्रत्यक्ष पथों के परिवारों के वर्टेक्स-चौराहे के ग्राफ के अनुरूप है। अधिक सटीक रूप से, ये "कैटरपिलर" एक ऐसे पथ से निर्मित होते हैं, जिसमें प्रत्येक सेकंड के टॉपटेक्स की लटकन डिग्री होती है- एक-शीर्ष से जुड़ा हुआ है। इस वर्ग को हम यूपी कहते हैं।

इसके अलावा, मेरे विशेष रेखांकन का निर्माण अधिकतम डिग्री 3 के विशिष्ट पेड़ों में अप्रत्यक्ष पथ के कुछ परिवारों के किनारे-चौराहे के रूप में भी किया जा सकता है।

तो मेरे सवाल हैं:

1) क्या बिल्ली-यूपी के रेखांकन के लिए डीएसपी की जटिलता ज्ञात है? (ध्यान दें कि [ बूथ और जॉनसन, 1981 ] में कमी एक मेजबान वृक्ष का उत्पादन करती है जो अधिकतम 3 डिग्री का है, लेकिन एक कैटरपिलर से काफी दूर है)

2) सीईपीटी के ग्राफ के लिए डीएसपी की जटिलता क्या है? और सीईपीटी के रेखांकन के लिए उत्पन्न होने वाला अधिकतम 3 डिग्री का मेजबान वृक्ष है? ( यह ISGCI को ज्ञात नहीं है )

3) क्या डीएसपी के लिए निकट संबंधी ग्राफ परिवार में कोई जटिलता परिणाम है?

Comments

मैं यहाँ DSP के लिए जटिलता पर आपके प्रश्न से प्यार करता हूँ। इस से क्या आता है में रुचि रखते हैं

— गेब्रियल फेयर

Answer 1

बहुत बुरा आप बिना किसी जवाब के इतने लंबे समय से इंतजार कर रहे हैं। मैं आपके द्वारा मांगी गई कक्षाओं के लिए नहीं जानता, लेकिन मैं कुछ संबंधित ग्राफ कक्षाओं और नई तकनीकों को जानता हूं जिन्हें आप आज़मा सकते हैं।

पहले मैं उल्लेख करूंगा कि स्टीवन चैप्लिक ने संबंधित ग्राफ कक्षाओं पर काम किया है, उन्होंने इस साल की शुरुआत में अपनी थीसिस पूरी की, आपको शायद यह शोध दिलचस्प लगे।

मुझे पता है कि इस दिशा में कुछ परिणाम संरचित पड़ोसियों और अल्गोरिदमिक अनुप्रयोगों के साथ अपने स्वयं के कार्य ग्राफ़ कक्षाओं से आते हैं। यह कुछ ग्राफ़ कक्षाओं में डीएसपी सहित विभिन्न समस्याओं को हल करने के लिए एक सामान्य तकनीक देता है। हम नए ग्राफ डिकम्पोजिशन (मेरी थीसिस देखें ) की शुरुआत करके ऐसा करते हैं ।

$(d-1)^{3(s-1)}poly(n)$

$0$$k \times n$

सीईपीटी के लिए एक ही तकनीक काम कर सकती है जो अधिकतम 3 डिग्री का एक मेजबान वृक्ष बनती है, लेकिन मुझे इस वर्ग को समझने के लिए कुछ और समय चाहिए। यदि आपके पास इस वर्ग की कुछ विशेषताओं का लिंक है जो मदद करेगा।

Comments

आपके उत्तर के लिए धन्यवाद, मार्टिन। वास्तव में मुझे बूलियन चौड़ाई (गैब्रियल रेनॉल्ट, जो यहां एक सहकर्मी है, ने मुझे बताया था) पर आपके काम के बारे में पता है और मैंने सफलता के बिना, एक साल पहले इस दृष्टिकोण की कोशिश की है। मेरे रेखांकन, मुझे लगता है, रैखिक बूलियन-चौड़ाई हो सकती है: अगर मुझे अच्छी तरह से याद है, तो वे कंघी ग्राफ के पथ के कम या ज्यादा चौराहे के ग्राफ (एक पथ ग्राफ + एक प्रारंभिक शिखर प्रति शीर्ष शिखर), सभी पथों के समापन बिंदुओं के साथ हैं। डिग्री-1-वर्जन होना। लेकिन मुझे आपके काम पर एक नज़र जरूर डालनी चाहिए।

— फ्लोरेंट फौकॉड