किसी क्रमबद्ध सूची का अनुमानित योग

Question

हाल ही में, मैंने क्रमबद्ध गैर-संख्‍यात्‍मक संख्‍याओं की सूची के अनुमानित योग के लिए समस्‍या पर काम किया। किसी निश्चित के लिए $\epsilon>0$ , एक $O(\log n)$ समय सन्निकटन योजना इस तरह प्राप्त किया गया है कि यह एक देता है $(1+\epsilon)$ राशि के लिए -approximation। पेपर http://arxiv.org/abs/1112.0520 पर पोस्ट किया गया है , जिसे अंतिम रूप नहीं दिया गया है।

मैं इस समस्या के लिए मौजूदा कामों की तलाश में हूं, लेकिन मुझे केवल कुछ दूर से संबंधित कागजात मिले, और उनका हवाला दिया। क्या इस समस्या का अध्ययन पहले किया गया था? अगर किसी को इस समस्या के बारे में कोई मौजूदा शोध पता है, तो कृपया मुझे बताएं। मैं मदद की सराहना करूंगा, और उसके अनुसार उद्धरणों को अपडेट करूंगा। यदि परिणाम पुराने हैं, तो कागज को कचरे के डिब्बे में डाल दिया जाएगा।

Comments

पेपर साझा करने के लिए धन्यवाद! क्या आप कृपया कुछ प्रेरणा देंगे कि क्रमबद्ध सूचियों के लिए अनुमानित राशि समस्या का अध्ययन क्यों करें ? मेरा मतलब है कि एक सूची को छांटना एक बहुत मजबूत धारणा है।

— दाई ले

@ दाई: संभवतः क्योंकि धारणा समस्या के लिए संरचना का एक सा जोड़ता है; एक अनसुलझी सूची के अनुमानित योग को खोजने की कोशिश करना स्पष्ट रूप से अचूक है क्योंकि आपके पास सूची के बारे में बिल्कुल कोई जानकारी नहीं है जो आपके द्वारा जांचे गए विशिष्ट नंबरों के अलावा है।

— स्टीवन स्टैडनिक

@ बिन: सभी-सकारात्मक मामलों में राशि के सन्निकटन पर निचली सीमा 'पकड़' से आती है कि शून्य का अनुमान लगाने का कोई अच्छा तरीका नहीं है; स्पष्ट रूप से यह मानक सन्निकटन योजना है, लेकिन यहाँ परिणामी राशि के आकार के बजाय सबसे बड़े घटक के आकार के मामले में त्रुटि को मापना बेहतर प्रतीत होगा; क्या यह सिर्फ परिणाम तुच्छ बनाता है?

— स्टीवन स्टैडनिक

गणित में, हम अक्सर f (1) + f (2) +… + f (n), जहां f (n) एक फ़ंक्शन है, जैसे योगों की गणना के लिए सूत्र देखते हैं। कई कार्य मोनोटोनिक हैं। उदाहरण के लिए, f (n) = n ^ k (log n)। यह पूछना स्वाभाविक है कि क्या मोनोटोनिक फ़ंक्शंस (?) के लिए इस तरह के योगों की गणना करने का एक कुशल तरीका है। जब मैंने इस पत्र को लिखा था, तो मुझे चिंता थी कि अगर मैं समय बर्बाद कर रहा हूं तो कुछ ऐसा करना चाहिए जो पहले से ही ज्ञात हो। यही कारण है कि मैं इस वेबसाइट पर संबंधित संदर्भों के लिए मदद मांगने आया था क्योंकि कई पेशेवर लोग यहां हैं। टिप्पणियों के लिए धन्यवाद। बिन फू

— बिन फू

@ बिन फू: आपके उत्तर के लिए धन्यवाद। धारणा समझ में आती है!

— दाई ले

Answer 1

यह समस्या निम्न पेपर में हल की गई है, जहां अधिक सामान्य समस्याएं ज्यादातर संबोधित की जाती हैं: http://valis.cs.uiuc.edu/~sariel/papers/06/integrate/ ।

Answer 2

हर-पेलेड के कोरसेट पेपर के प्रमाण विवरणों को पढ़ने के बाद , अब मैं समझता हूं कि उनकी विधि में सॉर्ट किए गए नॉनगेटिव नंबरों की अनुमानित राशि के लिए एक O (लॉग एन) टाइम एल्गोरिदम है। कोरसेट को सॉर्ट की गई सूची में संख्याओं के सबसेट द्वारा बनाया गया है, और उनकी स्थिति केवल सूची आकार n और सन्निकटन अनुपात एप्सिलॉन पर निर्भर करती है। कोरसेट में सभी बिंदुओं का भार ओ (लॉग एन) समय में गणना करने योग्य है। इस प्रकार, यह एक सॉर्ट की गई सूची के अनुमानित योग के लिए एक ओ (लॉग एन) समय एल्गोरिथ्म लाता है, हालांकि यह कागज में स्पष्ट रूप से दावा नहीं किया गया है। जैसा कि एल्गोरिथ्म हर-पेलेड के पेपर के दावा किए गए प्रमेयों के बजाय कोरसेट निर्माण के प्रमाण में छिपा हुआ है, मैंने पेपर में परिणामों की जांच करने के बाद इस तरह के निष्कर्ष को सही नहीं देखा।

मैंने अनुभाग 4 को हटाकर अपने पेपर को संशोधित किया है जिसमें O (लॉग एन) टाइम एल्गोरिथ्म है। हर-पेलेड्स के पेपर को अद्यतन संस्करण में उद्धृत किया गया है। पहला एल्गोरिथ्म अभी भी रखा गया है क्योंकि इसमें ओ (लॉग एन) समय के साथ एक अतुलनीय जटिलता है। उदाहरण के लिए, यह O (लॉग लॉग एन) समय में चलता है जब इनपुट सॉर्ट की गई सूची में संख्या 0 से लेकर (लॉग एन) ^ {ओ (1)} तक होती है। एल्गोरिथ्म एक द्विघात क्षेत्र खोज पर आधारित है, जो कोरसेट निर्माण से बहुत अलग है। समय सीमा को कम रखा गया है, लेकिन थोड़ा संशोधित किया गया है।

अब मेरे पास इस पंक्ति के कार्यों के बारे में बेहतर विचार है। मैं वास्तव में इस वेबसाइट पर सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान सहयोगियों से पेशेवर मदद की सराहना करता हूं, जो एक उत्कृष्ट प्रतिक्रिया प्रदान करता है। मेरा संशोधित पेपर अगले कुछ दिनों में उसी आर्काइव साइट पर उपलब्ध होगा। मैं संबंधित संदर्भों के बारे में और टिप्पणियों का ईमानदारी से स्वागत करता हूं जो याद रह सकते हैं।

बिन फू

Comments

अहम। हर-पेलेड के दस कोरसेट पेपर में से आपका क्या मतलब है? इसके अलावा कोर्सेट (दो ई के साथ) कोर्सेट (एक ई के साथ) के समान नहीं है। एक यादृच्छिक नमूने का उपयोग करता है; अन्य व्हेल हड्डियों का उपयोग करता है।

— जेफ

@ J @ paper E: मुझे लगता है कि उनका मतलब सरियल के उत्तर में संदर्भित पेपर है।

— त्सुयोशी इतो

शायद, लेकिन जब मैंने अपनी टिप्पणी पोस्ट की, तो यह जवाब सरियल की तुलना में पृष्ठ पर अधिक था। मैंने एक लिंक जोड़ा है।

— जेफ

मेरा अपडेटेड संस्करण अब arxiv.org/abs/1112.0520 पर उपलब्ध है ।

— बिन फू

Answer 3

हर-पेलेड का कोरसेट पेपर अनुमानित राशि समस्या के लिए -साइज कोरसेट के अस्तित्व को दर्शाता है। यह तुच्छ लगता है, और अनुमानित राशि समस्या के लिए स्पष्ट रूप से किसी भी ओ ( लॉग एन ) समय एल्गोरिथ्म का मतलब नहीं है।$\mathcal{O}(\log n)$$\mathcal{O}(\log n)$

मान लें कि । निश्चित है। एक क्रमबद्ध सूची के लिए 0 ≤ एक 1 ≤ एक 2 ≤ ⋯ ≤ एक n , निम्नलिखित बातों अनुमानित राशि समस्या के लिए एक छोटी सी coreset फार्म:$\varepsilon > 0$$0\leq a_1 \leq a_2 \leq \dots \leq a_n$

$\qquad a_n, \frac{a_n}{1+\varepsilon}, \frac{a_n}{(1+\varepsilon)^2}, \dots , \frac{a_n}{(1+\varepsilon)^k}$

$k \in \mathcal{O}\left(\frac{\log n}{\varepsilon}\right)$

$\mathcal{O}(\log n)$$\mathcal{O}(\log n)$$\mathcal{O}(\log n)$

$\mathcal{O}(\log n)$$a_n \cdot (1+\varepsilon)^{-j}$$a_n \cdot (1+\varepsilon)^{-j}$$a_n \cdot (1+\varepsilon)^{-(j+1)}$$\mathcal{O}((\log n)^2)$

Comments

हर- पेलेड के दस कोरसेट पेपर में से आपका क्या मतलब है? इसके अलावा, coreset ≠ चोली !

— जेफ

इसे उत्तर के रूप में पोस्ट नहीं किया जाना चाहिए क्योंकि यह आपके प्रश्न का उत्तर नहीं देता है। यह सबसे अच्छा होगा अगर इसे सरील के जवाब के लिए एक टिप्पणी के रूप में पोस्ट किया जा सकता है, लेकिन यह उसके लिए बहुत लंबा है। मैं इसे प्रश्न के अपडेट के रूप में पोस्ट करूंगा।

— त्सुकोशी इतो

Tsuyoshi: तुम सही हो। मेरी टिप्पणियों को

— बिन फू

उत्तर क्षेत्र के बजाय टिप्पणी क्षेत्र। माफ़ कीजिये।

— बिन फू

मुझे नहीं लगता कि आप मेरे कागज को समझते हैं। आपने जो ऊपर लिखा है वह दोनों गलत है, न कि मेरे पेपर में क्या है।

— सरियल हर-पेलेड