सुपरस्ट्रिंग को सॉल्व करना

सबसे छोटी सुपरस्ट्रिंग समस्या की सटीक जटिलता के बारे में क्या जाना जाता है? क्या इसे से तेज हल किया जा सकता है ? क्या ऐसे ज्ञात एल्गोरिदम हैं जो TSP को कम किए बिना सबसे छोटे सुपरस्ट्रिंग को हल करते हैं? $O^*(2^n)$

युपीडी: दबा बहुपद कारकों। $O^*(\cdot)$

सबसे छोटी सुपरस्ट्रिंग समस्या एक ऐसी समस्या है जिसका उत्तर सबसे छोटी स्ट्रिंग है जिसमें दिए गए सेट से प्रत्येक स्ट्रिंग होती है। सवाल एक प्रसिद्ध एनपी-हार्ड समस्या शॉर्टस्ट सुपरस्ट्रिंग (गैरी एंड जॉनसन, पी .२)) के अनुकूलन विस्तार के बारे में है।

— एलेक्स गोलोवनेव
स्रोत

"सुपरस्ट्रिंग समस्या" क्या है?

— जेफ

मेरा मतलब शॉर्टेस्ट सुपरस्ट्रिंग प्रॉब्लम था, मैंने इसे ठीक कर दिया। धन्यवाद!

— एलेक्स गोलोवनेव

ठीक है, तो "सबसे छोटी सुपरस्ट्रिंग समस्या" क्या है? मैं कई समस्याओं के बारे में सोच सकता हूं जो उस नाम के लायक हैं, और कुछ और जिन्हें "सबसे छोटी सर्वोच्च समस्या" कहा जाना चाहिए, लेकिन शायद वे व्यवहार में नहीं हैं। कृपया हमें कुछ संदर्भ दें!

— जेफ

आपका समस्या क्षेत्र क्या है? उदाहरण के लिए, यदि आप जीनोम के विखंडन में सबसे छोटी सुपर स्ट्रिंग की तलाश में हैं, क्योंकि जीनोम के विखंडन से पेड़ की चौड़ाई का ग्राफ बनता है, तो आपके पास तेज़ एल्गोरिथम हो सकता है, लेकिन यदि आप उपलब्ध एल्गोरिदम की तुलना में तेज़ में रुचि रखते हैं, तो आपका उत्तर है, इसके अलावा आपके पास तेज़ एल्गोरिथम नहीं हो सकता है चम्मच (सरल कमी की वजह से) में, इसके अलावा वहाँ

स्थानीय रूप से बंधे हुए वृक्ष की चौड़ाई के रेखांकन में एल्गोरिथ्म।

O^{*} (2^{\sqrt{n}})

$O^*(2^{\sqrt n})$

— सईद

@AlexGolovnev, हाँ आप सही हैं यह ATSP है, लेकिन बंधे हुए ट्रेविद के लिए मुझे लगता है कि cs.bme.hu/~dmarx/papers/marx-warsaw-fpt2 देखना अच्छा है या यदि आप उनके बारे में अधिक जानना चाहते हैं, तो एल्गोरिथम

— सईद

जवाबों:

मान लें कि स्ट्रिंग्स की लंबाई बहुपद , तो हाँ, कम से कम $n$ समय समाधान। कारण बहुपत्नी आकार पूर्णांक भार के साथ एटीएसपी के लिए सबसे छोटी सामान्य सुपरस्ट्रिंग समस्या से अच्छी तरह से ज्ञात कमी है, जिसे आप बदले में बहुपद प्रक्षेप द्वारा हल कर सकते हैं यदि आप एक निर्देशित मल्टीग्राफ में हैमिल्टनियन चक्रों की गिनती कर सकते हैं। उत्तरार्द्ध समस्या एक है $2^{n-\Omega(\sqrt{n/\log n})}$ समय समाधान। Björklund 2012 $2^{n-\Omega(\sqrt{n/\log n})}$

वजन के साथ ATSP से कमी कोने की एक जोड़ी के लिए के रूप में इस प्रकार है Hamiltonian चक्र की गिनती के लिए चला जाता है: $w_{uv}$ $u,v$

के लिए , जहां एक ऊपरी के सभी रकम पर बाध्य है ATSP उदाहरण में वजन, निर्माण एक ग्राफ जहाँ आप प्रत्येक वजन की जगह के साथ से आर्क्स टू । $r=1,2,\cdots,w_\mbox{sum}$ $w_\mbox{sum}$ $n$ $G_r$ $w_{uv}$ $r^{w_{uv}}$ $u$ $v$

प्रत्येक के लिए Hamiltonian चक्र की गिनती को हल करके , आप बहुपद प्रक्षेप के माध्यम से एक बहुपद का निर्माण कर सकते के साथ वजन के मूल ग्राफ में TSP पर्यटन की संख्या के बराबर । इसलिए सबसे छोटा लगाने ऐसी है कि गैर शून्य हल समस्या है। $G_r$ $\sum_{l=0}^{w_\mbox{sum}} a_lr^l$ $a_l$ $l$ $l$ $a_l$

— एंड्रियास ब्योर्क्लकुंड
स्रोत

आपका बहुत बहुत धन्यवाद! मैं हैमिल्टन चक्र की गिनती के इस संबंध को नहीं जानता था।

— एलेक्स गोलोवनेव

@AlexGolovnev: लेकिन कमी कमोबेश उसी तरह है जैसे कोहन, गॉटलीब, कोन के परिणाम का आपने अपने जवाब में उल्लेख किया है? यह पूर्णांकों पर न्यूनतम-योग सेमिनार का एक सरल एम्बेडिंग है। किसी भी तरह, मुझे यह महसूस करने के लिए धन्यवाद कि मेरे पेपर का अगला संस्करण स्पष्ट रूप से यह बताना चाहिए।

— एंड्रियास ब्योर्क्लकुंड

मैंने समस्या का अध्ययन किया है और मुझे कुछ परिणाम मिले हैं। सबसे कम आम सुपरस्ट्रिंग (SCS) को केवल पॉलीनोमियल स्पेस ( कोन, गॉटलीब, कोह्न ; कार्प ; बैक्स, फ्रैंकलिन ) के साथ समय में हल किया जा सकता है । $2^n$

सबसे अच्छा ज्ञात सन्निकटन (पलूच)। $2\frac{11}{30}$

संपीड़न का सबसे अच्छा ज्ञात अनुमान (पलूच)। $3\over4$

यदि SCS को द्विआधारी वर्णमाला के ऊपर एक कारक द्वारा अनुमानित किया जा सकता है, तो इसे किसी भी वर्णमाला ( Vassilevska-Williams ) पर एक कारक द्वारा अनुमानित किया जा सकता है । $\alpha$ $\alpha$

एससीएस की तुलना में बेहतर अनुपात के साथ approximated नहीं किया जा सकता जब तक पी = एनपी ( Karpinski, Schmied )। $1.0029$

जब तक P = NP ( Karpinski, Schmied ) से बेहतर अनुपात के साथ Maximal Compression का अनुमान नहीं लगाया जा सकता । $1.0048$

मैं किसी भी अतिरिक्त और सुझावों के लिए आभारी रहूंगा।

— एलेक्स गोलोवनेव
स्रोत

यहाँ कम से कम superstring समस्या है: आप दिए गए हैं तार कुछ वर्णमाला से अधिक और तुम पर कम से कम स्ट्रिंग लगाना चाहते हैं जिसमें प्रत्येक लगातार पात्रों में से किसी परिणाम, यानी सबस्ट्रिंग के रूप में। $n$ $s_1,\ldots, s_n$ $\Sigma$ $\Sigma$ $s_i$

जब हम समस्या के लिए सटीक एल्गोरिदम के बारे में बात करते हैं, तो सबसे छोटी सुपरस्ट्रिंग की लंबाई को अधिकतम संपीड़न खोजने के बराबर होता है, जो अंतिम सुपरस्ट्रिंग में सभी लगातार स्ट्रिंग ओवरलैप का योग है, अर्थात । $L$ $C$ $C=\sum_i |s_i|-L$

जहां तक मुझे पता है, सबसे छोटी सुपरस्टारिंग के लिए सबसे तेज सटीक एल्गोरिदम ( ) में चलता है जहां स्ट्रिंग्स की संख्या है। यह एक सरल गतिशील प्रोग्रामिंग एल्गोरिथ्म है जो सबसे लंबे पथ (और अन्य समस्याओं) के लिए गतिशील प्रोग्रामिंग एल्गोरिथ्म के समान है: $O^*$ $2^n$ $n$

तार के प्रत्येक सबसेट के लिए और स्ट्रिंग में हम भर superstrings पर अधिकतम संपीड़न गणना जहां पहली स्ट्रिंग, superstring में प्रदर्शित होने के ((सी के रूप में इस भंडारण है ))। हम पहले केवल एक ही तत्व के साथ सभी सबसेट प्रसंस्करण, और फिर सी का निर्माण कर ऐसा करते हैं (( )) सबसेट के लिए मूल्यों पर पर उन लोगों से तार तार। विशेष रूप से: $S$ $v$ $S$ $S$ $v$ $v,S$ $v,S$ $S$ $k$ $k-1$

प्रत्येक स्ट्रिंग के लिए हम सब सबसेट देखने के पर तार नहीं है कि शामिल और के लिए (मान सेट अधिकतम करने के लिए) से अधिक तार में अधिकतम के योग का के ओवरलैप के साथ सी ((साथ ))। $u$ $S'$ $k-1$ $u$ $u,{u}\cup S'$ $v$ $S'$ $u$ $v$ $v,S'$

अंतिम रनटाइम O ( ) से अधिक नहीं है जहाँ अधिकतम स्ट्रिंग लंबाई है। $n^2 2^n + n^2 l$ $l$

बेहतर एल्गोरिदम हैं यदि आप मानते हैं कि छोटा है, या जोड़ीदार ओवरलैप छोटा है, वर्णमाला का आकार छोटा है, लेकिन मुझे किसी भी एल्गोरिथ्म के बारे में पता नहीं है जो से अधिक तेज है । $l$ $2^n$

— Virgi
स्रोत

ओपी जानता

एल्गोरिथ्म, वह तेजी से समाधान के लिए कहा।

O^{*} (2^{n})

$O^*(2^n)$

— सईद

जैसा कि मैंने कहा, मुझे विश्वास नहीं है कि एक तेज समाधान ज्ञात है।

— कुंवारी

@virgi, आपका बहुत-बहुत धन्यवाद! आपका एल्गोरिथ्म बहुत अच्छा है। लेकिन मैं शामिल किए जाने-अपवर्जन सिद्धांत हमें भी देता है लगता

Superstring समस्या के लिए बहुपद अंतरिक्ष के साथ -algorithm। मैं वास्तव में तेज एल्गोरिदम में दिलचस्प हूं, कुछ बाधाओं (छोटे वर्णमाला, संक्षिप्त उत्तर आदि) के साथ हो सकता है। आपका बहुत बहुत धन्यवाद!

O^{*} (2^{n})

$O^*(2^n)$

— एलेक्स गोलोवनेव