टीसीएस में श्रेणी सिद्धांत के ठोस अनुप्रयोग?

Question

मैं श्रेणी सिद्धांत के कुछ बिट्स सीख रहा हूं। यह निश्चित रूप से चीजों को देखने का एक अलग तरीका है। (जिन लोगों ने इसे नहीं देखा है उनके लिए बहुत ही संक्षिप्त सारांश: श्रेणी सिद्धांत सभी प्रकार के गणितीय व्यवहार को पूरी तरह से वस्तुओं के बीच कार्यात्मक संबंधों के संदर्भ में व्यक्त करने का तरीका देता है। उदाहरण के लिए, दो सेट के कार्टेशियन उत्पाद जैसी चीजों को पूरी तरह से परिभाषित किया गया है। अन्य कार्य इसके साथ कैसे व्यवहार करते हैं, इस बात के संदर्भ में नहीं कि कौन से तत्व सेट के सदस्य हैं।)

मुझे कुछ अस्पष्ट समझ है कि श्रेणी सिद्धांत प्रोग्रामिंग भाषाओं / तर्क ("थ्योरी बी") पक्ष पर उपयोगी है, और सोच रहा हूं कि एल्गोरिदम और जटिलता ("थ्योरी ए") कितना लाभ उठा सकती है। यह मुझे जमीन पर उतरने में मदद कर सकता है, अगर मुझे थ्योरी बी में श्रेणी सिद्धांत के कुछ ठोस अनुप्रयोग पता हैं (मैं पहले से ही अनुमान लगा रहा हूं कि थ्योरी ए में अभी तक कोई आवेदन नहीं मिला है, लेकिन अगर आपके पास उनमें से कुछ हैं, तो यह भी है मेरे लिए ठिक है!)

"ठोस अनुप्रयोग" से मेरा मतलब है:

(1) आवेदन श्रेणी के सिद्धांत पर इतनी दृढ़ता से निर्भर करता है कि मशीनरी का उपयोग किए बिना इसे प्राप्त करना बहुत मुश्किल है।

(2) आवेदन श्रेणी सिद्धांत के कम से कम एक गैर-तुच्छ प्रमेय (उदाहरण के लिए योनेदा के लेम्मा) को आमंत्रित करता है।

यह अच्छी तरह से हो सकता है कि (1) का तात्पर्य (2) है, लेकिन मैं यह सुनिश्चित करना चाहता हूं कि ये "वास्तविक" अनुप्रयोग हैं।

जबकि मेरे पास कुछ "थ्योरी बी" पृष्ठभूमि है, यह कुछ समय के लिए है, इसलिए किसी भी डे-जारगाइजिंग को बहुत सराहना की जाएगी।

(मुझे किस तरह के उत्तर मिलते हैं, इस पर निर्भर करते हुए, मैं इस प्रश्न को बाद में सामुदायिक विकि में बदल सकता हूं। लेकिन मैं वास्तव में अच्छे स्पष्टीकरण के साथ अच्छे आवेदन चाहता हूं, इसलिए यह उत्तर देने वाले को कुछ के साथ पुरस्कृत नहीं करने के लिए शर्म की बात है।)

Answer 1

मैं एक उदाहरण के बारे में सोच सकता हूं जहां प्रोग्रामिंग भाषाओं में एक खुली समस्या को हल करने के लिए श्रेणी सिद्धांत को सीधे "लागू" किया गया था: थोरस्टेन अल्टेंकिर, पीटर डब्बर, मार्टिन हॉफमैन, और फिल स्कॉट, "प्रतिरूप के साथ टाइप किए गए लैम्ब्डस के मूल्यांकन के लिए सामान्यीकरण" । उनके सार से: "हम मजबूत बाइनरी सैम्स के साथ बस टाइप किए गए लंबो कैलकुलस के लिए निर्णय की समस्या को हल करते हैं, समान रूप से बाइनरी कोप्रोडक्ट्स के साथ मुक्त कार्टेशियन बंद श्रेणियों के लिए शब्द समस्या। हमारी पद्धति शब्दार्थ तकनीक पर आधारित है जिसे मूल्यांकन द्वारा सामान्यीकरण कहा जाता है 'और शामिल है। वाक्यविन्यास की व्याख्या को एक उपयुक्त शीफ मॉडल में और इससे उपयुक्त विशिष्ट सामान्य रूपों को निकालने में मदद करता है। "

सामान्य तौर पर, हालांकि, मुझे लगता है कि श्रेणी सिद्धांत आमतौर पर प्रोग्रामिंग भाषाओं में गहरी प्रमेयों को साबित करने के लिए लागू नहीं किया जाता है (जिनमें से बहुत सारे नहीं हैं), लेकिन इसके बजाय एक वैचारिक ढांचा प्रदान करता है जो अक्सर उपयोगी होता है (उदाहरण के लिए, उपरोक्त में। विचार (पूर्व) बहरा शब्दार्थ)।

एक महत्वपूर्ण ऐतिहासिक उदाहरण युजेनिओ मोगी सुझाव है कि की धारणा है इकाई (जो बुनियादी और श्रेणी में सिद्धांत सर्वव्यापी है) प्रोग्रामिंग भाषाओं में साइड इफेक्ट का एक अर्थ स्पष्टीकरण के हिस्से के रूप में इस्तेमाल किया जा सकता है (जैसे, राज्य, nondeterminism)। इसने प्रोग्रामिंग भाषाओं के सिंटैक्स पर कुछ प्रतिबिंब को भी प्रेरित किया , उदाहरण के लिए सीधे हास्केल में "मोनाड टाइपकास्ट" के लिए अग्रणी (जिसका उपयोग प्रभावों को घेरने के लिए किया गया था)।

हाल ही में (पिछले एक दशक), भिक्षुओं के संदर्भ में प्रभावों की इस व्याख्या को पुराने कनेक्शन (60 के दशक में श्रेणी सिद्धांतकारों द्वारा स्थापित) के दृष्टिकोण से संशोधित किया गया है, मठों और बीजीय सिद्धांतों के बीच: मार्टिन लैंड और जॉन पावर को देखें , "द क्लास थ्योरेटिक अंडरस्टैंडिंग ऑफ़ यूनिवर्सल अलजेब्रा: लॉवेरी थ्योरीज़ एंड मोनाड्स" । यह विचार है कि प्रभावों का एकरूप दृश्य (कुछ मायनों में अधिक आकर्षक) प्रभावों के बीजीय दृष्टिकोण के साथ संगत है, जिसमें प्रभाव (जैसे, स्टोर) को संचालन के संदर्भ में समझाया जा सकता है (जैसे, "लुकअप" और "अपडेट") और संबंधित समीकरण (उदाहरण के लिए, अपडेट की आलस्य)। पॉल-आंद्रे मेलीअस द्वारा इस संबंध में हाल ही में एक पेपर बिल्डिंग है, "सहगल की स्थिति कम्प्यूटेशनल प्रभावों से मिलती है", जो "उच्च श्रेणी के सिद्धांत" से आने वाले विचारों पर भी काफी हद तक निर्भर करता है (उदाहरण के लिए "योनेदा संरचना" की धारणा के रूप में, प्रेएफ़ेफ़ शब्दार्थ को व्यवस्थित करने का एक तरीका)।

उदाहरणों से संबंधित एक और वर्ग रैखिक तर्क से आता है । 80 के दशक में जीन-यवेस गिरार्ड द्वारा इसकी शुरुआत के तुरंत बाद (रचनात्मक तर्क की बेहतर समझ के साथ), श्रेणी सिद्धांत के ठोस संबंध स्थापित किए गए थे। इस संबंध के कुछ स्पष्टीकरण के लिए, जॉन बैज़ और माइक स्टे, "भौतिकी, टोपोलॉजी, तर्क और संगणना: एक रोसेटा स्टोन" देखें ।

अंत में, यह उत्तर sigfpe के प्रबुद्ध ब्लॉग "ए नेबरहुड ऑफ इनफिनिटी" के संदर्भ के बिना अधूरा होगा । विशेष रूप से आप "हास्केल पर लागू कुछ श्रेणी के सिद्धांत का एक आंशिक आदेश" देख सकते हैं ।

Comments

हाय नोआम, मुझे लगता है कि उस उत्कृष्ट उत्तर के बाद, आपके प्रतिनिधि लिंक जोड़ने के लिए पर्याप्त उच्च हैं!

— सुरेश वेंकट 14

मैं एक नौसिखिया के रूप में एक ही समस्या का सामना करना पड़ा। मैं बस अपना जवाब पाने के लिए इंतजार कर रहा था, फिर मैंने लिंक में डाल दिया। आप भी ऐसा ही कर सकते हैं ...

— बाउर

धन्यवाद! हाइपरलिंक प्रतिबंध के बारे में क्षमा करें ... काश प्रणाली "यो, आई एम नोम ज़ेलेबर्गर, आई एम लीगल" बताने का कोई तरीका था

— रयान विलियम्स

लिंक जोड़ा! हाँ, यह पूरी तरह से उचित नीति है, बस कभी-कभी रास्ते में आ जाती है।

— नोआम ज़िलबर्गर

Answer 2

क्वांटम कम्प्यूटेशन

एक बहुत ही दिलचस्प क्षेत्र क्वांटम गणना के लिए विभिन्न मोनोइडल श्रेणियों का अनुप्रयोग है। कुछ लोग तर्क दे सकते हैं कि यह भी भौतिकी है, लेकिन यह काम कंप्यूटर विज्ञान विभागों के लोगों द्वारा किया जाता है। इस क्षेत्र में एक प्रारंभिक पेपर सैमसन अब्रामस्की और बॉब कोएके द्वारा क्वांटम प्रोटोकॉल का एक श्रेणीबद्ध शब्दार्थ है । अब्रामस्की और कोएके और अन्य लोगों द्वारा हाल ही में किए गए कुछ कागजात इस दिशा में काम जारी रखते हैं।

काम के इस शरीर में क्वांटम प्रोटोकॉल को (कुछ प्रकार के) कॉम्पैक्ट बंद श्रेणियों के रूप में स्वयंसिद्ध किया जाता है। ऐसी श्रेणियों में स्ट्रिंग (और रिबन) आरेखों के संदर्भ में एक सुंदर चित्रमय भाषा है। श्रेणी में समीकरण स्ट्रिंग्स के कुछ आंदोलनों के अनुरूप हैं, जैसे कि एक पेचीदा लेकिन नॉटेड स्ट्रिंग को सीधा करना, जो क्वांटम यांत्रिकी में कुछ सार्थक के अनुरूप होता है, जैसे क्वांटम टेलीपोर्टेशन।

श्रेणीबद्ध दृष्टिकोण एक उच्च स्तर, तार्किक दृष्टिकोण प्रदान करता है जिसमें आम तौर पर बहुत कम स्तर की गणना शामिल होती है।

सिस्टम का सिद्धांत

कोलजेब्रा का इस्तेमाल मॉडल सिस्टम (स्ट्रीम, ऑटोमेटा, ट्रांजिशन सिस्टम, प्रोबेबिलिस्टिक सिस्टम) के लिए एक सामान्य ढांचे के रूप में किया गया है। इसका सिद्धांत श्रेणी के सिद्धांत में निहित है, टैल्जेब्रा की धारणा पर आधारित है , जहां एक फंक्टर है जो संक्रमण प्रणाली की संरचना का वर्णन करता है। इस प्रकार, अंतर्निहित फ़ंक्शनल के साथ सिस्टम की तरह बदल जाती है, लेकिन सिद्धांत के अधिकांश, जैसे कि बाइसीम्यूलेशन की धारणा, सभी फंक्शनलर्स के लिए लागू होती है। श्रेणी सिद्धांत भी कोलजब्रस के रूप में वर्णित प्रणालियों के बारे में तर्क के लिए मॉड्यूलर लॉगिक्स के मॉड्यूलर निर्माण को सक्षम करता है ।$F$$F$

ग्राफ रूपांतरण

श्रेणी सिद्धांत की भाषा में ग्राफ रूपांतरणों को काफी अच्छी तरह से व्यक्त किया जा सकता है। इसने आवेदन पाया है, उदाहरण के लिए, मॉडल परिवर्तन (यूएमएल मॉडल में) और अन्य दृश्य मॉडलिंग औपचारिकताएं। दृष्टिकोण रेखांकन और ग्राफ समरूपता की श्रेणी में होता है। सबसे पहले, एक पुशआउट को एक ग्लूइंग कंस्ट्रक्शन के रूप में देखा जा सकता है: दो ग्राफ़ को देखते हुए । एक ग्राफ और दो आकार और उन हिस्सों को निरूपित करते हैं, जिनके दो रेखांकन आम हैं। पुशआउट इन भागों को एकजुट करता है, और के शेष हिस्सों को जोड़ते हुए , प्रभावी रूप से, और एक साथ जोड़ देता है$G_1,G_2$$P$$e_1:P\to G_1$$e_2:P\to G_2$$G_1$$G_2$$G_1$$G_2$$P$ ।

एक ग्राफ परिवर्तन का वर्णन करने के लिए एक डबल पुशआउट का उपयोग किया जाता है। नियम एक टपल का प्रतिनिधित्व करती है , जहां शासन की पूर्व शर्त को दर्शाता है, शासन के पद हालत को दर्शाता है, और ग्राफ को नियम लागू करना का हिस्सा बताता है। से मानचित्र हैं और , जिनमें से एक का उपयोग मूल ग्राफ के एक हिस्से से मेल खाने के लिए किया जाएगा, दूसरा परिणामस्वरूप ग्राफ बनाने के लिए। उस हिस्से को हटाए जाने का वर्णन करता है। द्वारा बनाए जाने वाले भाग का वर्णन करता है। एक नक्शा से एक में संदर्भ$(L, K, R)$$L$$R$$K$$l:K\to L$$r:K\to R$$L\setminus K$$R\setminus K$$d$$K$ग्राफ को प्रदान करने की आवश्यकता है, और का पुशआउट और मैप को ब्याज के ग्राफ के बराबर होना चाहिए । और का पुशआउट फिर परिवर्तन करने का परिणाम देता है।$D$$d$$l$$G$$d$$k$

प्रोग्रामिंग लैंग्वेज (मैथओवरफ़्लो के माध्यम से)

प्रोग्रामिंग भाषाओं और प्रोग्रामिंग भाषा सिद्धांत के डिजाइन में श्रेणी सिद्धांत के बहुत सारे अनुप्रयोग हैं। MathOverflow पर व्यापक उत्तर मिल सकते हैं। https://mathoverflow.net/questions/3721/programming-languages-based-on-category-theory ) https://mathoverflow.net/questions/4235/relating-category-theory-to-programming-language-theory ।

Bigraphs - प्रोसेस कैल्कुली

अंत में, मिलनर के बिग्रेड्स हैं , बातचीत करने वाले एजेंटों के सिस्टम के बारे में वर्णन और तर्क के लिए एक सामान्य रूपरेखा। इसे प्रक्रिया बीजगणित और उनके संरचनात्मक और व्यवहार सिद्धांतों के बारे में तर्क के लिए एक सामान्य ढांचे के रूप में देखा जा सकता है। दृष्टिकोण भी पुशआउट्स पर आधारित है।

Answer 3

मैं पहले से ही अनुमान लगा रहा हूं कि थ्योरी ए में अभी तक कोई आवेदन नहीं आया है, लेकिन अगर आपके पास उनमें से कुछ हैं, तो यह मेरे लिए और भी बेहतर है!

• मेरी समझ यह है कि प्रजाति के जोयल के सिद्धांत का उपयोग व्यापक रूप से एन्यूमेरिटिक कॉम्बिनेटरिक्स में व्यापक रूप से किया जाता है, जो उत्पन्न होने वाले कार्यों के सामान्यीकरण के रूप में होता है, जो आपको बताता है कि चीजों को अनुमति देने के अलावा कितने हैं।

• नियमित भाषा और अर्धवृत्त की किस्मों से संबंधित करने के लिए पिप्पेंगर ने स्टोन ड्यूलिटी को लागू किया है। Jeandel ने क्वांटम, संभाव्य और साधारण ऑटोमेटा के लिए एकीकृत खाते (और प्रमाण!) देने के लिए इन विचारों को लागू किया है।

• रोलाण्ड बैकहाउस ने उष्णकटिबंधीय संगोष्ठी के साथ गाल्वा कनेक्शन के माध्यम से लालची एल्गोरिदम के सार लक्षण वर्णन दिए हैं।

बहुत अधिक सट्टा नस में, नोआम ने शेफ मॉडल का उल्लेख किया। ये अमूर्त तार्किक संबंधों की वाक्य रचना तकनीक की विशेषता है, जो संभवतः शब्दार्थ में सबसे शक्तिशाली तकनीकों में से एक है। हम ज्यादातर उन्हें अनुभवहीनता और निरंतरता परिणामों को साबित करने के लिए उपयोग करते हैं, लेकिन यह जटिलता सिद्धांतकारों के लिए दिलचस्प होना चाहिए क्योंकि यह व्यावहारिक गैर-प्राकृतिक (रज़ोरोव / रूडीच के अर्थ में) प्रमाण तकनीक का एक अच्छा उदाहरण है। (हालांकि, तार्किक संबंध आमतौर पर बहुत सावधानीपूर्वक इस बात की गारंटी देने के लिए डिज़ाइन किए गए हैं कि वे संबंधित हों - भाषा डिजाइनर के रूप में, हम प्रोग्रामर को आश्वस्त करना चाहते हैं कि फ़ंक्शन कॉल ब्लैक बॉक्स हैं!)

संपादित करें: मैं रेयान के अनुरोध पर अटकलें जारी रखूंगा। जैसा कि मैं इसे समझता हूं, एक प्राकृतिक सबूत सर्किट की संरचना के एक प्रेरक अपरिवर्तनीय को परिभाषित करने की कोशिशों की तर्ज पर लगभग एक है, जो विभिन्न समझदार स्थितियों के अधीन है। जब आप लैम्बडा-कैलकुलस टर्म (उदाहरण के लिए, टाइप सेफ्टी को साबित करने के लिए) के रूप में समान रूप से बनाए गए अपरिवर्तनीय को परिभाषित करने का प्रयास करते हैं, तब भी समान विचार प्रोग्रामिंग भाषाओं में बहुत ही सामान्य हैं। 1

हालांकि, यह तकनीक अक्सर उच्च (यानी, फ़ंक्शन) प्रकारों पर टूट जाती है। उदाहरण के लिए, बस टाइप किया गया लैम्ब्डा कैलकुलस कुल है - इसमें लिखा गया प्रत्येक प्रोग्राम समाप्त हो जाता है। हालाँकि, यह साबित करने का प्रयास प्रथम श्रेणी के कार्यों की समस्या के आधार पर किया जाता है: यह साबित करने के लिए पर्याप्त नहीं है कि हर प्रकार का शब्द समाप्त होता है। चूँकि हम अतिरिक्त रूप से कार्यों के लिए दलीलें लागू कर सकते हैं, इसलिए हमें न केवल यह सुनिश्चित करने की आवश्यकता है कि कार्यकाल के प्रत्येक पद के , हमें यह सुनिश्चित करने की भी आवश्यकता है कि यह संपत्ति "आनुवंशिक रूप से" रखती है - हमें यह भी जानना होगा कि किसी भी पद को दिया गया है टाइप , एप्लिकेशन भी रुक जाएगा।ए → बी $A \to B$$A \to B$$A$

यही तार्किक संबंध है। एक एकल आगमनात्मक को परिभाषित करने के बजाय, हम प्रकार (आमतौर पर) की संरचना पर पुनरावृत्ति द्वारा विधेय के एक पूरे परिवार को परिभाषित करते हैं। फिर, हम यह साबित करते हैं कि प्रत्येक निश्चित शब्द उपयुक्त विधेय में निहित है, जो हमें वह चीज़ स्थापित करने देता है जो हमने माँगा था। इसलिए समाप्ति के लिए, हम कहेंगे कि आधार प्रकार के अच्छे मूल्य आधार प्रकार के मूल्य हैं, और प्रकार अच्छे मूल्य इस प्रकार के मूल्य हैं, जिन्हें का अच्छा मूल्य दिया गया है, जो एक अच्छे मूल्य का मूल्यांकन करता है। केए $A \to B$$A$$B$। ध्यान दें कि कोई एकल प्रेरक नहीं है - हम इनपुट की संरचना पर पुनरावृत्ति द्वारा आक्रमणकारियों के एक पूरे परिवार को परिभाषित करते हैं, और अन्य साधनों का उपयोग करके यह दिखाते हैं कि सभी शब्द इन आक्रमणकारियों के भीतर स्थित हैं। प्रमाण-सैद्धांतिक रूप से, यह एक बहुत मजबूत तकनीक है, और यही कारण है कि यह आपको स्थिरता परिणाम साबित करने की अनुमति देता है।

शीशों का कनेक्शन इस तथ्य से उत्पन्न होता है कि हमें अक्सर खुले शब्दों (यानी, मुफ्त चर के साथ शर्तें) के बारे में तर्क करने की आवश्यकता होती है, और इसलिए त्रुटियों के कारण अटकने और एक चर को कम करने की आवश्यकता के कारण अटक जाने के बीच अंतर करने की आवश्यकता होती है। लैंबडा कैलकुलस को कम करने पर विचार करने से उत्पन्न होती हैं क्योंकि एक श्रेणी के आकार को परिभाषित करते हैं जिनकी शर्तें हैं (यानी, कमी से प्रेरित आंशिक आदेश), और फिर इस श्रेणी से फंक्शंस को सेट (यानी, विधेय) में मानते हैं। जीन गैलियर ने 2000 के दशक की शुरुआत में इसके बारे में कुछ अच्छे कागजात लिखे थे, लेकिन मुझे संदेह है कि वे पठनीय हैं जब तक कि आप पहले से ही लैम्ब्डा कैलकुलस की उचित मात्रा को आत्मसात नहीं करते हैं।

Comments

क्या आप बैकहाउस पेपर का संदर्भ दे सकते हैं? उनके पास कई ऐसे हैं जो शीर्षक में "गैलोज कनेक्शन" का उल्लेख करते हैं, लेकिन एक त्वरित खोज ने स्पष्ट रूप से प्रकट नहीं किया कि कौन से लालची एल्गोरिदम के बारे में है (और मुझे नहीं लगता कि मैं विवरण और आंकड़े के माध्यम से क्षेत्र से परिचित होने के लिए पर्याप्त परिचित हूं आसानी से जो लालची एल्गोरिदम के बारे में "वास्तव में" है)। धन्यवाद!

— यहोशू ग्रोवो

यहोशू के सवाल के साथ, मैं यह भी दिलचस्पी रखता हूं कि कैसे शफ मॉडल और तार्किक संबंध प्राकृतिक प्रमाणों से संबंधित हैं।

— रयान विलियम्स

पुन: स्टोन द्वैत, अधिक रोमांचक हाल के काम के लिए माई गेहरके की "स्टोन द्वैत और एक बीजगणित पर पहचानने योग्य भाषाएँ" ( math.ru.nl/~mgehrke/Ge09.pdf ) और गेहरके , ग्रिगोरिएफ़ और पिन की "मान्यता के लिए एक मनोवैज्ञानिक दृष्टिकोण" देखें। "( math.ru.nl/~mgehrke/GGP10.pdf )

— Noam Zeilberger

पुन: Gallier, आप देर से 90 के दशक मतलब (के रूप sciencedirect.com/science/article/pii/0304397594002800 ?)

— Blaisorblade

Answer 4

कई उदाहरण हैं, जो पहली बार दिमाग में आता है, वह प्रोग्रामिंग भाषाओं के गुणों को साबित करने के लिए एलेक्स सिम्पसन की श्रेणी के सिद्धांत का उपयोग करता है, उदाहरण के लिए " अंतर्ज्ञानवादी सेट सिद्धांत के मॉडल में पुनरावर्ती प्रकारों के लिए कम्प्यूटेशनल पर्याप्तता ", शुद्ध और एप्लाइड लॉजिक के विवरण , 130: 207-275, 2004. भले ही शीर्षक में उल्लेख है कि सिद्धांत श्रेणी-सिद्धांत है। अधिक उदाहरणों के लिए एलेक्स का होम पेज देखें।

Comments

रेफरी के लिए धन्यवाद, लेकिन कृपया ध्यान दें कि मैंने यह नहीं पूछा: "श्रेणी सिद्धांत का उपयोग करके क्या परिणाम प्राप्त किए गए जो अन्यथा प्राप्त नहीं किए जा सकते?"

— रयान विलियम्स

सच है, तुमने नहीं किया। मैंने अपना उत्तर संपादित किया।

— एंड्रेज बॉयर

Answer 5

मुझे लगता है कि आप प्रयोज्यता के बारे में दो प्रश्न पूछ रहे हैं, ए और टाइप बी अलग से।

जैसा कि आप ध्यान दें, बी विषयों को टाइप करने के लिए श्रेणी सिद्धांत के कई महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हैं: प्रोग्रामिंग भाषाओं के शब्दार्थ (मोनैड्स, कार्टेशियन बंद श्रेणियां), तर्क और उत्तेजना (टॉपोई, रैखिक तर्क की किस्में)।

हालांकि, थ्योरी ए (एल्गोरिदम या जटिलता) के लिए बहुत कम आवेदन प्रतीत होते हैं।

प्राथमिक वस्तुओं में कुछ उपयोग हैं, जैसे ऑटोमेटा या दहनशील वस्तुओं की श्रेणियां (रेखांकन, अनुक्रम, क्रमपरिवर्तन, आदि) का वर्णन करना। लेकिन ये भाषा सिद्धांत या एल्गोरिदम की गहरी समझ के लिए जिम्मेदार नहीं लगते हैं।

विशेष रूप से, यह श्रेणी सिद्धांत और सिद्धांत A विषयों की वर्तमान रणनीतियों के बीच एक बेमेल हो सकता है:

• श्रेणी सिद्धांत की केंद्रीय रणनीति समानता के साथ काम कर रही है (जब चीजें समान होती हैं और जब वे अलग होती हैं और वे एक दूसरे के लिए कैसे मैप होती हैं)।

• जटिलता सिद्धांत के लिए, प्राथमिक रणनीति में कटौती और सीमा निर्धारित करना है (किसी को लगता है कि कमी एक तीर की तरह होगी, लेकिन मुझे नहीं लगता कि इस सतही समानता से परे कुछ भी अध्ययन किया गया है)।

• एल्गोरिदम के लिए, तदर्थ चालाक जुझारू सोच के अलावा इसके लिए कोई व्यापक रणनीति नहीं है। कुछ डोमेन के लिए, मुझे उम्मीद है कि फलदायक अन्वेषण (बीजगणित के लिए एल्गोरिदम?) हो सकता है, लेकिन मैंने अभी तक इसे नहीं देखा है।

Comments

यह पता चला है कि कटौती, गोएडेल के डायलेक्टिका व्याख्या के श्रेणीबद्ध पुनर्निर्माण और रैखिक तर्क के शब्दार्थ से संबंधित है। एंड्रियास ब्लास के "प्रश्न और उत्तर देखें - रैखिक तर्क, जटिलता सिद्धांत, और सेट सिद्धांत" में उत्पन्न होने वाली एक श्रेणी। math.lsa.umich.edu/~ablass/qa.pdf

— नील कृष्णास्वामी

Answer 6

"TCS-A" अनुप्रयोग जो मेरे दिमाग में आते हैं, वो हैं जोयल की कॉम्बिनेटरियल प्रजातियाँ (पावर सीरीज़ टू फंक्शनलर्स टू सोपर्स टू कोम्बिनेटरियल ऑब्जेक्ट्स जैसे ट्री, सेट्स, मल्टीसेट्स इत्यादि) और क्रिप्टोग्राफ़िक "गेम-हॉपिंग" का औपचारिकता का उपयोग करके रिलेशनल, प्रोबेबिलिस्टिक होरे लॉजिक (ईजीसाइक्रिप्ट, सर्टिफिकेशन, एंड्रियास लोचीबेलर का काम)। जबकि श्रेणियां सीधे उत्तरार्द्ध में दिखाई नहीं देती हैं, वे अंतर्निहित लॉजिक्स (जैसे मठ) के विकास में सहायक थे।

पुनश्च: चूँकि मेरा नाम पहले उत्तर में बताया गया था: थॉमस स्ट्रीचर द्वारा मार्टिन-लोफ के प्रकार के सिद्धांत में एक निश्चित स्वयंसिद्धता की गैर-बराबरी दिखाने के लिए समूह-विखंडन का उपयोग और स्वयं को "ठोस" श्रेणी के सिद्धांत का उपयोग भी माना जा सकता है (यद्यपि) तर्क में या "TCS-B")।

Answer 7

कम्पोज़िटैलिटी में हाल ही में आई किताब सेवन स्केच कंप्यूटर विज्ञान और इंजीनियरिंग में श्रेणी सिद्धांत के कई अनुप्रयोगों को सूचीबद्ध करती है। डेटाबेस पर अध्याय उल्लेखनीय है जहां लेखक एक श्रेणीगत मॉडल के आधार पर डेटाबेस के क्वेरी, संयोजन, माइग्रेट करने और विकसित करने का वर्णन करते हैं। लेखकों ने इसे आगे बढ़ाया और डेटाबेस के अपने श्रेणीबद्ध मॉडल के आधार पर श्रेणीबद्ध क्वेरी भाषा (CQL) और एक एकीकृत विकास वातावरण (IDE) विकसित किया।