ईपस्टीन के एल्गोरिथ्म के साथ सबसे छोटा पथ ढूँढना

मैं यह पता लगाने की कोशिश कर रहा हूँ कैसे पथ ग्राफ़ Eppstein के एल्गोरिथ्म के अनुसार इस में कागज काम करता है और कैसे मैं फिर से संगठित कर सकते हैं से कम से कम पथ को इसी ढेर निर्माण के साथ । $P(G)$ $k$ $s$ $t$ $H(G)$

अब तक:

एक शीर्ष छोड़ने सभी किनारों शामिल ग्राफ में जिसमें एक कम से कम पथ का हिस्सा नहीं हैं । वे "समय की बर्बादी" कहा जाता द्वारा ढेर-आदेश दिया गया हैं पर उसके स्थान पर एक कम से कम पथ पर एक के इस बढ़त का उपयोग कर। दिज्क्स्त्र को लागू करने से मुझे से हर शिखर पर सबसे छोटा रास्ता मिल जाता । $out(v)$ $v$ $G$ $G$ $\delta(e)$ $t$

मैं किनारे की लंबाई + (सिर के शीर्ष का मान (जहां निर्देशित किनारा इंगित कर रहा है) का मान लेकर इसकी गणना कर सकता हूं - पूंछ का शीर्ष (जहां निर्देशित किनारा शुरू हो रहा है) का मान। अगर यह है। कम से कम रास्ते पर नहीं है, अगर यह है $> 0$ सबसे छोटे रास्ते पर है। $= 0$

अब मैं का निर्माण एक 2-मिन-ढेर किनारों के सेट heapifying द्वारा उनके के अनुसार किसी के लिए , जहां जड़ का केवल एक बच्चा (= सबट्री) है। $H_{out}(v)$ $out(v)$ $\delta(e)$ $v \in V$ $outroot(v)$

आदेश बनाने के लिए मैं डालने में टर्मिनल शिखर में शुरुआत । हर एक शीर्ष किसी भी तरह छुआ, जबकि यह डालने एक के साथ चिह्नित है है । $H_T(v)$ $outroot(v)$ $H_T(next_T(v))$ $t$ $*$

अब मैं निर्माण कर सकते हैं के बाकी डालने से में । में हर शिखर या तो शामिल से बच्चों को और से या पहली और से दूसरे से और एक 3-ढेर। $H_G(v)$ $H_{out}(w)$ $H_T(v)$ $H_G(v)$ $2$ $H_T(v)$ $1$ $H_{out}(w)$ $0$ $2$

साथ मैं निर्माण कर सकते हैं एक DAG बुलाया प्रत्येक के लिए एक शीर्ष युक्त से -marked शिखर और प्रत्येक गैर-रूट शिखर के लिए से । $H_G(v)$ $D(G)$ $*$ $H_T(v)$ $H_{out}(v)$

की जड़ों में कहा जाता है और वे अनुसार करने के लिए कोने वे हैं से जुड़े हैं करने के लिए एक "मानचित्रण" द्वारा। $H_G(v)$ $D(G)$ $h(v)$ $out(v)$

अब तक सब ठीक है।

कागज कहता है कि मैं निर्माण कर सकते हैं एक रूट डालने से और को यह जोड़ने के साथ एक inital किनारे से । कोने में समान हैं, लेकिन वे भारित नहीं हैं। किनारों की लंबाई होती है। फिर प्रत्येक निर्देश दिया बढ़त के लिए $P(G)$ $r = r(s)$ $h(s)$ $\delta(h(s))$ $D(G)$ $P(G)$ $(u,v) \in D(G)$ में इसी किनारों बनाया है और के आधार पर भारित कर रहे हैं । उन्हें हीप एज कहा जाता है। फिर प्रत्येक शिखर के लिए है, जो कोने की एक जोड़ी जोड़ने बढ़त एक कम से कम पथ में नहीं प्रतिनिधित्व करता और , "पार किनारों" से बनाई गई हैं करने के लिए में लंबाई वाले $P(G)$ $\delta(v) - \delta(u)$ $v \in P(G)$ $u$ $w$ $v$ $h(w)$ $P(G)$ $\delta(h(w))$ । में प्रत्येक शीर्ष पर केवल अधिकतम की एक आउट गोइंग डिग्री है । $P(G)$ $4$

से शुरू होने वाले के रास्तोंको में - -paths केबीच एक से एक लंबाई के पत्राचार माना जाता है। $P(G)$ $r$ $s$ $t$ $G$

अंत में एक नए ढेर का आदेश दिया गया 4-हीप का निर्माण होता है। में एक पथ के लिए प्रत्येक शीर्ष मेल खाती पर निहित । किसी भी शीर्ष के माता-पिता के पास एक कम बढ़त है। एक शीर्ष का वजन संबंधित पथ का हिस्सा है। $H(G)$ $P(G)$ $r$

To find the $k$ shortest paths I use BFS to $P(G)$ and "translate" the search result to paths by using $H(G)$ .

Unfortunately, I don't understand how I can "read" $P(G)$ and then "translate" it through $H(G)$ to receive the $k$ shortest paths.

— Laura
स्रोत

Did you check the various implementations at ics.uci.edu/~eppstein/pubs/p-kpath.html ?

— Radu GRIGore

It's been long enough since I wrote that, that by now my interpretation of what's in there is probably not much more informed than any other reader's. Nevertheless:

I believe that the description you're looking for is the last paragraph of the proof of Lemma 5. Basically, some of the edges in P(G) (the "cross edges") correspond to sidetracks in G (that is, edges that diverge from the shortest path tree). The path in G is formed by following the shortest path tree to the starting vertex of the first sidetrack, following the sidetrack edge itself, following the shortest path tree again to the starting vertex of the next sidetrack, etc.

— David Eppstein
स्रोत

As a side note, this algorithm seems to have been recently outperformed. The details can be found here

— Carlos Linares López

David, I really need an implementation of your algorithm, best in Java. Can you point me where I can find one?

— Tina J

The implementations that I know about are linked from the bottom of ics.uci.edu/~eppstein/pubs/p-kpath.html — but I haven't checked the off-site ones recently so there may be some deadlinks.

— David Eppstein

Thanks. But more importantly, do you have a complete pseudo-code of your algorithm available somewhere?

— Tina J

@DavidEppstein Something similar to Dijkstra's one at Wikipedia: en.wikipedia.org/wiki/K_shortest_path_routing

— Tina J

Pseudocode for Eppstein's algorithm (and the authors' lazy version of it) are given in: V.M. Jiménez, A. Marzal, A lazy version of Eppstein’s shortest paths algorithm, in: 2nd International Workshop on Experimental and Efficient Algorithms (WEA ’03), in: Lecture Notes in Computer Science, vol. 2647, Springer, 2003, pp. 179–190. https://pdfs.semanticscholar.org/3a31/5a14a2fc773d2d800186121905016de31705.pdf

— tmn
स्रोत