एक ग्राफ में वोरोनोई आरेख

आज्ञा देना एक ग्राफ के साथ (सकारात्मक) भारित किनारों। मैं नोड्स / साइटों का एक सेट के लिए Voronoi आरेख को परिभाषित करना चाहते एक नोड के साथ संबद्ध करने के लिए, subgraph के सख्ती के करीब सभी नोड्स द्वारा प्रेरित में किसी भी अन्य नोड के लिए की तुलना में , मापने पथों पर भार के योग से पथ की लंबाई। है के Voronoi क्षेत्र । उदाहरण के लिए, नीचे दिए गए हरे नोड्स $G$ $S$ $v \in S$ $R(v)$ $G$ $v$ $S$ $R(v)$ $v$ $R(v_1)$ , और पीले रंग के नोड्स । मैं वोरोनोई आरेख की संरचना को समझना चाहूंगा। एक शुरुआत के रूप में, दो साइटों और का आरेख क्या दिखता है, अर्थात, 2-साइट द्विभाजक कैसा दिखता है (उपरोक्त उदाहरण में नीला)? मैं द्विभाजक के बारे में सोच के पूरक के रूप में में । यहाँ दो विशिष्ट प्रश्न दिए गए हैं: $R(v_2)$
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$v_1$ $v_2$ $B(v_1,v_2)$ $R(v_1) \cup R(v_2)$ $G$

Q1। क्या दो साइटों के द्विभाजक कुछ अर्थों में जुड़े हुए हैं?

Q2। क्या इस अर्थ में उत्तल है कि इसमें में किसी भी दो नोड्स के बीच सबसे छोटा रास्ता है ? $R(v)$ $R(v)$

इससे पहले निश्चित रूप से यह अध्ययन किया गया है। क्या कोई संदर्भ / संकेत प्रदान कर सकता है? धन्यवाद!

सुरेश की टिप्पणी के लिए परिशिष्ट:
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— जोसेफ ओ राउरके
स्रोत

Q1 के लिए समझ बनाने के लिए आपको कुछ चेहरे की समझ की आवश्यकता है, है ना? अन्यथा, "वास्तविक" द्विभाजक किनारों के बीच में है, और इस बिंदु के ठीक पहले और बाद में लंबवत परिचय देता है, गारंटी देता है कि द्विभाजक काट दिया गया है। हो सकता है कि यदि आप मान लें कि ग्राफ़ कॉर्डल है तो आप कुछ साबित कर सकते हैं। क्यू 2 के लिए: यह एक बहुभुज में छेद (या भूभाग) के लिए भी गलत है। मेरा अनुमान यह होगा कि आपको दोनों प्रश्नों के गैर-तुच्छ उत्तर प्राप्त करने के लिए ग्राफ़ पर कुछ मजबूत मानने की आवश्यकता है।

— सरील हर-पेलेड

धन्यवाद, सरियल, उन टिप्पणियों के लिए। हां, ऐसा प्रतीत होता है कि मैं बहुत ज्यादा उम्मीद कर रहा था, और शायद केवल विशेष वर्गों के रेखांकन में ही अच्छे संरचनात्मक गुण होंगे।

— जोसेफ ओ'रोरके

नियमित गोले पर एक वोरोनोई सेल एक गोलार्ध से बड़ी नहीं हो सकती है, इसलिए आपको यह समस्या नहीं है। लेकिन मेरी टिप्पणी आम तौर पर सरील के रूप में ही थी कि आप संभावित जेनेरिक रीमैनियन में वोरोनोई कोशिकाओं के उत्तलता के लिए पूछ रहे हैं और यह सच नहीं होना चाहिए।

— सुरेश वेंकट k

S

$S$

S

$S$

K_{2, n}

$K_{2, n}$

इसलिए अब मैं सोच रहा हूं कि शायद यहां एक दिलचस्प सवाल है। क्या होगा यदि अंतर्निहित मीट्रिक कई गुना है (जैसा कि सुरेश द्वारा सुझाया गया है)। अब, हम दो बिंदुओं को जोड़ते हैं यदि और केवल अगर कोई तीसरा बिंदु q मौजूद है, तो ऐसे अन्य दो बिंदु दो निकटतम पड़ोसी हैं (इस बारे में किसी प्रकार के गवाह परिसर के रूप में सोचें)। एक प्राकृतिक अनुमान यह होगा कि यदि कई गुना दोगुना है, तो कोई हमेशा O (1) अंक जोड़ सकता है जैसे कि द्विभाजक जुड़ा हुआ है। हम्मम ...

— सरील हर-पेले

Mehlhorn, K .: रेखांकन में स्टाइनर समस्या के लिए एक तेज सन्निकटन एल्गोरिदम। सूचना प्रसंस्करण पत्र 27, 125–128 (1988)

Erwig, M .: अनुप्रयोगों के साथ ग्राफ Voronoi आरेख। नेटवर्क 36 (3), 156–163 (2000)

दोनों संदर्भों से प्रतिलिपि बनाई गई

मैथ्यू टी। डिकर्सन, माइकल टी। गुडरिक, थॉमस डी। डिकर्सन, यिंग डेज़ी झूओ: ज्योग्राफिक नेटवर्क्स में राउंड-ट्रिप वोरोनोई डायग्राम्स और डाउबलिंग डेंसिटी। कम्प्यूटेशनल विज्ञान पर लेनदेन 14: 211-238 (2011)

— डेविड एप्पस्टीन
स्रोत

यह कुछ खुदाई लेगा, लेकिन सतही तौर पर, ऐसा नहीं लगता है कि इन कागजों में आरेख के कई संरचनात्मक गुणों की पहचान की गई है (शायद इसलिए कि नोट के कुछ गुण हैं!)।

— जोसेफ ओ'रोरके

वास्तव में बहुत कुछ ज्ञात नहीं है; हम somem.jp/voronoi.htm

— क्रिश्चियन सोमेर