मोनोटोन सर्किट स्पार्स इनपुट पर कंप्यूटिंग कार्यों की जटिलता

वजनबाइनरी स्ट्रिंग स्ट्रिंग में लोगों की संख्या है। यदि हम कुछ लोगों के साथ इनपुट पर एक मोनोटोन फ़ंक्शन की गणना करने में रुचि रखते हैं तो क्या होगा? $|x|$ $x\in\{0,1\}^n$

हम जानते हैं कि यदि एक ग्राफ में -clique है, तो मोनोटोन सर्किट के लिए कठिन है (दूसरों के बीच में देखें अलोन बोपाना, 1987), लेकिन अगर किसी ग्राफ़ में उदाहरण के लिए सबसे अधिक किनारों पर एक मोनोटोन बाउंड डेप्थ सर्किट खोजना संभव है आकार जो -clique तय करता है । $k$ $k^3$ $f(k)\cdot n^{O(1)}$ $k$

मेरा प्रश्न: क्या कोई ऐसा कार्य है जो के वजन से कम के इनपुट पर भी एक मोनोटोन सर्किट द्वारा गणना करना कठिन है ? यहाँ हार्ड का मतलब सर्किट साइज़ । $k$ $n^{{k}^{\Omega(1)}}$

और भी बेहतर: वहाँ कोई स्पष्ट लय समारोह जो गणना करने के लिए भले ही हम केवल वजन के आदानों के बारे में परवाह कठिन है है $k_1$ और $k_2$ ?

एमिल जेराबेक पहले से ही कहा कि जाना जाता कम सीमा एक लय सर्किट कि आदानों के दो वर्गों को अलग (के लिए पकड़ $a$ -cliques अधिक से अधिक बनाम $(a-1)$ -colorable रेखांकन) संभाव्य तर्क में कुछ स्वतंत्रता की कीमत पर, इस प्रकार यह इसे बनाने के लिए संभव है निश्चित वजन के इनपुट के दो वर्गों के लिए काम करते हैं। यह $k_2$ को का एक कार्य करने का कारण बनता है $n$ जिससे मैं बचना चाहता हूं।

क्या वास्तव में पसंद आएगा $k_1$ और लिए एक स्पष्ट कठिन कार्य $k_2$ है $n$ (जैसा कि मानकीकृत जटिलता ढांचे में है)। इससे भी बेहतर अगर $k_1=k_2+1$ ।

ध्यान दें कि लिए एक सकारात्मक उत्तर $k_1=k_2$ , मनमाने सर्किट के लिए एक घातीय निचला होगा।

अद्यतन : यह प्रश्न आंशिक रूप से प्रासंगिक हो सकता है।

— MassimoLauria
स्रोत

आपके पहले (सामान्य) प्रश्न (क्लिक के बारे में नहीं) के लिए। मुझे लगता है, यहां तक कि ज्यादातर

लोगों के साथ इनपुट का मामला बहुत मुश्किल है।

साथ एक bipartite

ग्राफ

लें । प्रत्येक शीर्ष को असाइन करें

एक बूलियन चर

। चलो

एक लय बूलियन समारोह जिसका minterms हैं

किनारों के लिए

के

। Let

2

$2$

n \times m

$n\times m$

G

$G$

m = o (n)

$m=o(n)$

u

$u$

x_{u}

$x_u$

f_{G} (x)

$f_G(x)$

x_{u} \land x_{v}

$x_u\land x_v$

u v

$uv$

G

$G$

एक लय सर्किट जो सही ढंग से गणना करता है की कम से कम आकार के होने

के साथ आदानों पर

वाले। फिर किसी भीनिरंतर

लिएकोई कम बाउंड

नॉनमोनटोनसर्किट केलिएएकघातीयनिचला बाउंडहोगा।

s (G)

$s(G)$

f_{G}

$f_G$

\leq 2

$\leq 2$

s (G) \geq (2 + c) n

$s(G)\geq (2+c)n$

c > 0

$c>0$

— Stasys

≫ n / 2

$\gg n/2$

\exp (min {a, n / b}^{1 / 4})

$\exp(\min\{a,n/b\}^{1/4})$

b

$b$

a

$a$

a < b

$a<b$

k

$k$

n^{k}

$n^k$

k \geq 3

$k\geq 3$

(n - k)

$(n-k)$

O (n^{2} \log n)

$O(n^2\log n)$ हर स्थिर लिए ।

k

$k$

— Stasys

मुझे स्पष्ट करना चाहिए कि मैं विरल ग्राफ के अर्थ में विरल इनपुट की परवाह करता हूं। एक बहुत विरल ग्राफ में -clique की तलाश में (के साथ कहना किनारों) FPT मोनोटोन सर्किट आकार में किया जा सकता है।

k

$k$

k^{10}

$k^{10}$

— मास्सिमो लौरिया

पहली टिप्पणी में आपका उदाहरण बहुत अच्छा है। अगर मैं सही ढंग से समझूं तो यह एक समान समस्या है जिसमें मोनोटोन फ़ंक्शंस हैं जो एक निश्चित वज़न पर कठिन हैं । नकारात्मक इनपुटों का अनुकरण करने के लिए छद्म पूरक कार्यों का उपयोग करना, सर्किट जटिलता मोनोटोन और गैर-मोनोटोन मामले के बीच भिन्न नहीं होती है। निरंतर (या छोटे) यह छद्म पूरक एक मोनोटोन सर्किट द्वारा कुशलता से लागू किया जा सकता है।

k

$k$

k

$k$

— मास्सिमोउलौरिया

मेरी पहली टिप्पणी ग्राफ जटिलता पर निर्भर थी। इस प्रारूप के पृष्ठ 13 पर " " घटना पाई जा सकती है । Btw मैं काफी समझ में नहीं आया कि आप "k और k + 1" के लिए कठिन होने से क्या मतलब है? (मेरी गलती, निश्चित रूप से।)

(2 + c) n

$(2+c)n$

— Stasys

विशेष रूप से प्रश्न के एक भाग पर विचार (उदाहरण के लिए = 1, = 2), लोकम ने इस पत्र में "2-स्लाइस" कार्यों का अध्ययन किया और साबित किया कि उन पर मजबूत निचले सीमा को सामान्यीकृत किया जा सकता है, इसलिए यह बहुत कठिन है बुनियादी जटिलता वर्ग अलगाव और ऐसी किसी भी निर्माण / स्पष्ट कार्य से संबंधित खुली समस्या एक सफलता होगी; अमूर्त से: $k_1$ $k_2$

एक बूलियन फ़ंक्शन f को 2-स्लाइस फ़ंक्शन कहा जाता है यदि यह दो 1 से कम इनपुट के साथ शून्य पर मूल्यांकन करता है और दो 1 1 से अधिक के इनपुट पर एक का मूल्यांकन करता है। इनपुट पर ठीक दो 1 के च के साथ nontrivially परिभाषित किया जा सकता है। 2-स्लाइस फ़ंक्शंस और ग्राफ़ के बीच एक प्राकृतिक पत्राचार है। ग्राफ़ जटिलता के ढांचे का उपयोग करते हुए, हम बताते हैं कि 2-स्लाइस फ़ंक्शंस के बहुत ही विशेष वर्ग के लिए पर्याप्त रूप से मजबूत सुपरलाइनियर मोनोटोन लोअर सीमाएँ, उनके द्वारा प्राप्त कुछ कार्यों के लिए पूर्ण आधार पर सुपरपोलिनोमियल लोअर सीमाएँ होंगी।

ग्राफ जटिलता और स्लाइस फ़ंक्शंस / सत्यनारायण वी। लोकम, थ्योरी कम्प्यूट। सिस्टम 36, 71–88 (2003)

अपनी टिप्पणी में भी एसजे ने अपनी पुस्तक में इस तरह के मामले को ग्राफ की स्टार जटिलता की खोज करने वाले खंड में शामिल किया है ।1.7.2।

बूलियन फ़ंक्शन जटिलता: अग्रिम और सीमाएं , स्टैसीस जुकना

— vzn
स्रोत