मानकीकृत CLIQUE की कठोरता?

Question

चलो $0\le p\le 1$ और निर्णय समस्या पर विचार

CLIQUE इनपुट: पूर्णांक , ग्राफ साथ कोने और किनारों प्रश्न: क्या में कम से कम कोने पर एक ?$_p$
जी टी ⌈ पी ($s$$G$$t$$\lceil p\binom{t}{2} \rceil$
$G$$s$

CLIQUE की एक आवृत्ति में सभी संभावित किनारों में से एक अनुपात होता है । स्पष्ट रूप से CLIQUE कुछ मूल्यों के लिए आसान है । CLIQUE में केवल पूरी तरह से डिस्कनेक्ट किए गए ग्राफ़ होते हैं, और CLIQUE में पूर्ण ग्राफ़ होते हैं। किसी भी स्थिति में, CLIQUE रैखिक समय में तय किया जा सकता है। दूसरी ओर, करीब मानों के लिए , CLIQUE NP-hard है CLIQUE से कम करके: अनिवार्य रूप से, यह Turan graph साथ असंतुष्ट संघ को लेने के लिए पर्याप्त है । पी पी पी 0 1 पी पी 1 / 2 $_p$$p$$_p$$p$$_0$$_1$$_p$$p$$1/2$$_p$ $T(t,s-1)$

मेरा प्रश्न:

क्या CLIQUE पीटीटाइम में या एनपी- प्रत्येक मूल्य के लिए पूर्ण है ? या मान हैं जिनके लिए CLIQUE में मध्यवर्ती जटिलता है (यदि P) NP)? पी पी $_p$$p$$p$$_p$

यह सवाल हाइपरग्राफ के लिए संबंधित प्रश्न से उत्पन्न हुआ था, लेकिन यह अपने आप में दिलचस्प लगता है।

Comments

दिलचस्प सवाल!

— सुरेश वेंकट

क्या p 0 और 1 के बीच वास्तविक संख्या है, या p t का कार्य हो सकता है?

— रॉबिन कोठारी

@ रोबिन: मैंने निर्दिष्ट नहीं किया है, दोनों दिलचस्प होंगे।

— आंद्र सलाम

यदि किनारों का अनुपात एक ऊपरी बाउंड है (और सटीक गणना की आवश्यकता या कम बाउंड नहीं है), तो किसी भी निरंतर यह समस्या NP-hard है CLIQUE से घटाकर: अलग-थलग वर्नों का एक पर्याप्त बड़ा सेट जोड़ें । क्या आवश्यकता है कि संख्या किनारों को दी गई अभिव्यक्ति के बराबर हो? या क्या मैं स्पष्ट रूप से स्पष्ट याद कर रहा हूँ? :-)$0<p<1$

— gphilip

@gphilip: जैसा कि आप बताते हैं कि यदि अनुपात सिर्फ ऊपरी सीमा है तो कटौती तत्काल होती है; यही कारण है कि प्रश्न सटीक अनुपात के संदर्भ में प्रकाशित होता है।

— आंद्र सलाम

Answer 1

मुझे लगता है कि संख्या समस्या की परिभाषा में CLIQUE_pग्राफ में किनारों की संख्या के बराबर है, सवाल के लिए gphilip की टिप्पणी के विपरीत।$\left\lceil p \binom{t}{2} \right\rceil$

समस्या CLIQUE _p सामान्य तर्कसंगत समस्या से कमी के द्वारा किसी भी तर्कसंगत स्थिर 0 < p <1 के लिए NP-पूर्ण है। (इस धारणा है कि पी तर्कसंगत है ही नहीं तो आवश्यक है से गणना की जा सकती एन में समय बहुपद में एन ।)$\lceil pN \rceil$

चलो कश्मीर ≥3 एक पूर्णांक दोनों संतोषजनक हो कश्मीर ² ≥1 / पी और (1-1 / कश्मीर ) (1-2 / कश्मीर )> पी । थ्रेसहोल्ड मान s के साथ n कोने और m किनारों वाले ग्राफ G को देखते हुए , कमी निम्नानुसार काम करती है।

1. यदि रों < कश्मीर , हम समय ओ (में गुट समस्या का समाधान एन ^एस ) समय। यदि कम से कम एस आकार का कोई क्लीक है , तो हम एक निश्चित हां-इंस्टेंस का उत्पादन करते हैं। अन्यथा, हम एक निश्चित नो-इंस्टेंस का उत्पादन करते हैं।
2. यदि n < s , हम एक निश्चित संख्या का उदाहरण नहीं देते हैं।
3. यदि n ≥ रों ≥ कश्मीर , हम करने के लिए जोड़ जी एक ( कश्मीर -1) -partite ग्राफ जहां प्रत्येक सेट के होते हैं n कोने जो वास्तव में है किनारों, और इस ग्राफ का उत्पादन।$\left\lceil p \binom{nk}{2} \right\rceil - m$

ध्यान दें कि केस 1 O ( n ^{k the1} ) समय लेता है , जो कि हर p के लिए n में बहुपद है । मामले 3 संभव है क्योंकि अगर n ≥ रों ≥ कश्मीर , तो ⌈ पी ( एन कश्मीरnonnegative है और पूर्ण (k)1) -पक्षीय ग्राफ K_n,…,nमें अधिकांश किनारोंपर निम्न दो दावों में दिखाया गया है।$\left\lceil p \binom{nk}{2} \right\rceil - m$

दावा १ । ।$\left\lceil p \binom{nk}{2} \right\rceil - m \ge 0$

सबूत । चूंकि , अगर हमp ( nk ) सिद्ध करते हैं तो यह पर्याप्त है$m \le \binom{n}{2}$ , या समकक्षpnk(nk≥1)n n(n)1)। के बाद सेपी≥ 1 /कश्मीर², हमपी एन(nk-1) ≥n(n-1 /कश्मीर) ≥n(n-1)। QED।$p \binom{nk}{2} \ge \binom{n}{2}$

दावा २ । । (ध्यान दें कि दाएं हाथ की तरफ किनारों की संख्या पूर्ण (k-1) में है -पराइट ग्राफ K_n,…,n)।$\left\lceil p \binom{nk}{2} \right\rceil - m \lt n^2 \binom{k-1}{2}$

सबूत । चूंकि और मीटर ≥ 0, यह पर्याप्त होता अगर हम साबित पी ( एन $\lceil x \rceil \lt x+1$ , या समकक्षn²(k(1) (k--2) -pnk(nk 21) - 2 Since 0.p केबाद से<(1−1 /k) (1−2 /k), हम n हैं2(कश्मीर-1)(कश्मीर-2)-पीएनकश्मीर(nकश्मीर-1)-2≥एन2(कश्मीर-1)(कश्मीर-$p \binom{nk}{2} + 1 \le n^2 \binom{k-1}{2}$

$$n^2(k-1)(k-2) - pnk(nk-1) - 2$$ = $$\ge n^2(k-1)(k-2) - n \left( n-\frac{1}{k} \right) (k-1)(k-2) - 2$$ QED। $$= \frac{n}{k} (k-1)(k-2) - 2 \ge (k-1)(k-2) - 2 \ge 0.$$

संपादित करें : 1 संशोधन में कमी एक त्रुटि थी; यह कभी-कभी किनारों की नकारात्मक संख्या (जब पी छोटा था) के साथ एक ग्राफ की आवश्यकता थी। यह त्रुटि अब ठीक हो गई है।

Comments

यह विशिष्ट phrasing के सबसे करीब है, इसलिए इसे निपटने के लिए धन्यवाद। केस 3 मेरे दिमाग में सबसे करीब है। हालाँकि, मैं गणना का पालन नहीं करता - क्या आप थोड़ा विस्तार कर सकते हैं?

— आंद्र सलाम

@ एंड्रस सलामोन: हो गया।

— त्सुकोशी इतो

Answer 2

$p$$t$$p$$\log^4 t$$s$$\log^2 t$$t^{\log^2 t}$

$\log^2 t$

अगर $p$