एक रेफरी के साथ संचार जटिलता

Question

संचार जटिलता में एक फ्रेमवर्क मानें जहां हमारे पास दो खिलाड़ी A (जूँ) और B (ob) और एक R (eferee) हैं। A और B एक दूसरे से सीधे संवाद नहीं करते हैं। संचार के प्रत्येक दौर में, उनमें से प्रत्येक एक संदेश भेजता है ($m_A$, $m_B$) को R. R दो कार्यों की गणना करता है $f_A(m_A,m_B)$ तथा $f_B(m_A,m_B)$और उन्हें परिणाम भेजता है। कार्य तय हो गए हैं। विचार यह है कि खिलाड़ियों के बीच संचार प्रतिबंधित है। इसके अलावा रेफरी संदेशों पर कुछ प्रसंस्करण कर सकता है।

उदाहरण:

A और B, R को दो (मनमानी बड़ी) संख्याएँ भेजते हैं, R यह जाँचता है कि उनमें से कौन अधिक है और खिलाड़ियों को सूचित करता है।

इस ढाँचे में, हम एक साधारण प्रोटोकॉल को डिज़ाइन कर सकते हैं जो एकल राउंड का उपयोग करके आसानी से निम्नलिखित फ़ंक्शन की गणना करता है। A और B भेजते हैं$x$ तथा $y$ R को R, उन्हें उत्तर देता है, और वे उत्तर को आउटपुट करते हैं।

$$f(x,y)= \begin{cases}0 & x\leq y\\ 1 & ow \end{cases}$$

स्पष्ट रूप से यह एक दिलचस्प मामला नहीं है, क्योंकि जिस फ़ंक्शन की हम गणना कर रहे हैं वह रेफरी के कार्यों के समान है। एक और दिलचस्प मामला है जब हमारे पास एक निश्चित रैखिक असमानता है$\vec{a} \cdot \vec{x} \leq \vec{b} \cdot \vec{y}$ और चर के लिए मूल्य खिलाड़ियों (ए है) के बीच विभाजित हैं $\vec{x}$ और बी है $\vec{y}$)। कार्य यह तय करना है कि असमानता सही है या नहीं। इस मामले में प्रोटोकॉल यह है कि खिलाड़ी अपने हिस्से की गणना करते हैं और फिर उन्हें रेफरी के पास भेजते हैं।

सवाल:

क्या इस तरह की संचार जटिलता का अध्ययन किया गया है? यदि हाँ, तो मुझे इस बारे में और कहाँ मिल सकता है?

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नोट 1: पृष्ठ 49 पर कुशलीवित्ज और निसान ने एक रूपरेखा का उल्लेख किया है जिसमें एक रेफरी शामिल है लेकिन जो मैं पूछ रहा हूं उससे बहुत अलग लगता है।

नोट 2: मुझे यकीन नहीं है कि अगर आर रेफरी को फोन करना सही बात है, तो कृपया टिप्पणी करें यदि आपके पास बेहतर सुझाव है।

Comments

जिस मॉडल का आप उल्लेख कर रहे हैं उसे "Simultaneous Message Passing" कहा जाता है

— Marcos Villagra

इस पत्र ( arxiv.org/abs/quant-ph/0102001 ) और उसके संदर्भों की जाँच करें । विशेष रूप से, अम्बैनिस और न्यूमैन और सज़ीदी द्वारा कागजात की जांच करें।

— मार्कोस विलग्रा

यहाँ Raoul Jahin ieeexplore.ieee.org/xpl/…

— मार्कोस

@MarcosVillagra: SMP Kaveh के नोट 1 के समान है, है ना?

— एलेसेंड्रो कोसेंटिनो

@ मार्कोस, धन्यवाद, मैं उनकी जांच करूंगा, लेकिन एब्सट्रैक्ट के आधार पर मुझे ऐसा लगता है कि एसएमपी जो मैं बता रहा हूं उससे अलग है। (मैं यह स्पष्ट करने के लिए एक बेहतर उदाहरण के साथ आने की कोशिश करूंगा कि खिलाड़ी आर का उपयोग करने के लिए संवाद करने के लिए कर रहे हैं जो कई राउंड ले सकता है।) ps: मुझे लगता है कि यह बेहतर होगा यदि आप इन टिप्पणियों को एक उत्तर के रूप में पोस्ट करते हैं।

— केव

Answer 1

मुझे यकीन है कि आप निम्नलिखित पेपर जानते हैं, लेकिन मैंने इसके लिए एक लिंक दिया है क्योंकि अन्य पाठकों की रुचि हो सकती है: खेलों द्वारा इंटरपोलेशन

यह पत्र विमानों को काटने के लिए निचली सीमा दिखाने के लिए संचार जटिलता ढांचे का उपयोग करने का एक प्रयास है। प्रोटोकॉल का उपयोग असंतोषजनक CNF के लिए एक इंटरपोलेंट सर्किट का उत्पादन करने के लिए किया जाता है:

$$A(x,y)\lor B(x,z).$$

खिलाड़ी $A$ इनपुट मिलता है $a$ तथा $y^a$, खिलाड़ी $B$ हो जाता है $b$ तथा $z^b$। यदि विमानों को काटने में उथले वृक्ष जैसा प्रमाण है तो दोनों खिलाड़ियों के पास संचार प्रोटोकॉल है

• रेफरी द्वारा किसी भी संचार की मध्यस्थता की जाती है, जो सबूत में असमानताओं का मूल्यांकन करने में मदद करता है;
• संचार की मात्रा छोटी है (पेड़ उथला है);
• दोनों खिलाड़ी या तो यह तय करते हैं कि $A$ या $B$ मिथ्या है;
• वे एक स्थिति पाते हैं $i$ जिसमें $a_i \not= b_i$।

रेफरी को असमानताओं के लिए एक संभाव्य प्रोटोकॉल में बदल दिया गया है। इस तरह से पेड़ की तरह काटने वाले विमानों के साक्ष्यों के लिए संचार जटिलता जटिलता में पेड़ की तरह संभाव्य प्रोटोकॉल के लिए निचले बाउंड को चालू करना संभव है।

यदि हम PLS के रूप में संचार प्रोटोकॉल के लिए कम बाध्य थे, तो हम डैग-जैसे कटिंग विमानों के प्रमाण के लिए कम बाध्य होंगे।

ध्यान दें कि यह तकनीक विमानों को काटने के वास्तविक अनुमान नियमों पर निर्भर नहीं करती है। यदि हम अनुमान नियमों को मान लेते हैं (1) सकारात्मक संयोजन (2) पूर्णांक विभाजन फर्श के साथ तो हम पावेल पुडलक तर्क का उपयोग करके मोनोटोन इंटरपोलेंट सर्किट का निर्माण कर सकते हैं ।

Comments

वास्तव में मैं यह पता लगाने की कोशिश कर रहा था कि संचार जटिलता में इससे अधिक सामान्य कुछ का अध्ययन किया गया है, इसलिए मैंने उत्तर को पूर्वाग्रह न करने के लिए प्रूफ जटिलता लोअरबाउंड और व्यवहार्य प्रक्षेप का उल्लेख नहीं किया, लेकिन धन्यवाद। :)

— केव

हां, मैंने सोचा था कि लेकिन इस मंच के अन्य पाठकों को दिलचस्पी हो सकती है और सबूत जटिलता के लिए रुचि हो सकती है।

— मास्सिमो लौरिया

Answer 2

बस कुछ टिप्पणी। सबसे पहले, मैं बिल्कुल नहीं देख सकता कि हमें एक रेफरी की आवश्यकता क्यों है। यदि उसका कार्य खिलाड़ियों के लिए जाना जाता है, तो वे रेफरी की नकल क्यों नहीं कर सकते? ऐलिस भेजता है$m_A$ बॉब को, वह (बिना देखे) $m_A$) गणना करता है $m_B$, उसके बाद वह गणना करता है $f(m_A,m_B)$और एलिस को परिणाम बताता है। शायद आप ऐसा मान लें$f_A$है न , बॉब के लिए जाना जाता है और$f_B$ ऐलिस के लिए?

दूसरा, रैखिक असमानताओं से संबंधित प्रोटोकॉल वास्तव में विमान के सबूत को काटने के संदर्भ में दिलचस्प हैं। इस मामले में, यह और भी प्रोटोकॉल, जहां पर विचार करने के लिए पर्याप्त है प्रपत्र संदेशों के है बहुत सीमित इनपुट चर के कुछ रैखिक संयोजन का सिर्फ मूल्यों संप्रेषित किया जा सकता:।

थोड़ा और सटीक होने के लिए, मान लें कि हमें पूर्णांक गुणांक वाले रैखिक असमानताओं की एक प्रणाली दी गई है। हम जानते हैं कि सिस्टम के पास कोई नहीं है$0$-$1$समाधान। चर किसी तरह खिलाड़ियों के बीच विभाजित हो जाते हैं (पचास-पचास तरीके से); यह "सबसे खराब विभाजन" परिदृश्य है: विरोधी "सबसे खराब" विभाजन चुन सकता है। दिए गए$0$-$1$स्ट्रिंग, खिलाड़ियों का लक्ष्य एक असमान असमानता का पता लगाना है। यही है, जवाब अब एक सा नहीं है, लेकिन हमारे सिस्टम की एक असमानता का नाम है। (यह एक कार्मर-विगडरसन प्रकार का संचार गेम है।)

अब इस तरह के खेल के लिए निम्नलिखित प्रतिबंधित प्रोटोकॉल पर विचार करें: (i) रेफरी फ़ंक्शन यदि बस $f(\alpha,\beta)=1$ iff $\alpha \leq \beta$, (ii) खिलाड़ियों के संदेश रैखिक लोगों तक सीमित हैं: प्रत्येक दौर में, एलिस को फॉर्म का संदेश भेजना चाहिए$m_A(\vec{x})=\vec{c}\cdot \vec{x}$, और बॉब फॉर्म का संदेश $m_B(\vec{y})=\vec{d}\cdot \vec{y}$।

इम्पेग्लियाज़ो, पिकासि और उरक्हार्ट (1994) ने निम्नलिखित देखा: यदि कटिंग प्लेन प्रूफ में उपयोग किए जाने वाले सभी गुणांक चर की संख्या में बहुपद हैं, और यदि इस खेल की आवश्यकता है$t$ संचार के बिट्स, फिर हर पेड़ की तरह दिए गए सिस्टम की असंतोषजनकता का सबूत होना चाहिए $\exp(t/\log n)$असमानताओं। फिर उन्होंने संचार जटिलता पर ज्ञात निचली सीमा का उपयोग किया ताकि स्पष्ट प्रणाली को घातीय आकार के प्रमाण की आवश्यकता हो। इस परिणाम का नुकसान यह है कि प्रणाली बहुत ही कृत्रिम है , यह "वास्तविक" अनुकूलन समस्या से मेल खाती है। इसलिए "वास्तविक" अनुकूलन समस्याओं के लिए कम बाध्यता के साथ आना एक दिलचस्प सवाल है।

ऐसी समस्याओं में से एक ग्राफ के लिए स्वतंत्र सेट समस्या है। एक ग्राफ दिया $G=(V,E)$ हम प्रत्येक शीर्ष के साथ जुड़ सकते हैं $u$ एक परिवर्तनीय $x_u$ और असमानता से मिलकर असमानताओं की प्रणाली पर विचार करें $\sum_{v\in V}x_v>\alpha(G)$, और सभी असमानताएँ $x_u+x_v\leq 1$ सभी किनारों के लिए $uv$ का $G$। चूँकि हर$0$-$1$ इन उत्तरार्द्ध असमानताओं के उपतंत्र के लिए समाधान एक स्वतंत्र सेट देता है $G$, पूरे सिस्टम में शून्य-एक समाधान नहीं है। ऐसी प्रणालियों के लिए खेलों की संचार जटिलता क्या है?

अगर हमारा ग्राफ $=(L\cup R,E)$ द्विदलीय है, तो इसके भागों के अनुसार चर को विभाजित करना स्वाभाविक (प्रतिकूल के लिए) है। इस मामले में, ऐलिस एक उपसमूह मिलता है$A\subseteq L$, बॉब एक ​​सबसेट $B\subseteq R$ उस वादे के साथ $|A\cup B|>\alpha(G)$। लक्ष्य के बीच एक बढ़त को खोजने के लिए है $A$ तथा $B$। यहाँ$\alpha(G)$ "द्विदलीय" स्वतंत्रता संख्या है: एक स्वतंत्र सेट का अधिकतम आकार पूरी तरह से झूठ नहीं है $L$ या में $R$। मेरी पसंदीदा समस्याओं में से एक है: साबित करो कि$n\times n$ रेखांकन की आवश्यकता है $\omega(\log^2 n)$संचार के बिट्स मौजूद हैं ।

@Kaveh: प्रश्नों के साथ आपके प्रश्न का "उत्तर" देने के लिए क्षमा करें।

Comments

मुझे प्रचलित जटिलता में इसके ज्ञात अनुप्रयोगों की तुलना में सामान्य सीसी ढांचे में अधिक दिलचस्पी है। रेफरी द्वारा उपयोग किए जाने वाले कार्यों को ज्ञात किया जाता है (वे जैसा मैंने कहा था, तय किए गए हैं)। इस मॉडल में मेरी दिलचस्पी क्यों है, इसके कई मुद्दे हैं, लेकिन मुख्य बिंदु यह है कि हम संचार की मात्रा को कैसे मापने जा रहे हैं। यदि हम संचारित बिट्स की कुल संख्या में रुचि रखते हैं तो प्रोटोकॉल को अनुकरण करना संभव है जैसा आपने कहा था। लेकिन अगर हम जटिलता के कुछ अन्य उपायों पर विचार करना चाहते हैं जैसे कि राउंड की संख्या तो मुझे लगता है कि यह अलग है। उदाहरण के लिए, एक मामले में जिसका उपयोग किया गया है

— केव

सबूत जटिलता प्रत्येक खिलाड़ी रेफरी को एक वास्तविक संख्या भेजता है। एक वास्तविक संख्या असीम रूप से कई बिट्स को एन्कोड कर सकती है, इसलिए यदि आप इसका अनुकरण करना चाहते हैं तो हमें अनंत संख्या में बिट्स भेजना होगा, और यदि हम अनुमति दे रहे हैं तो हम केवल संपूर्ण इनपुट भेज सकते हैं, इसलिए यह निर्बाध हो जाता है। लेकिन एक रेफरी के साथ ढांचे में राउंड की संख्या की गिनती से हमें एक अलग उपाय मिलता है जो उपयोगी हो सकता है (जैसा कि पावेल पुडलक के प्रमाण में)।

— केव

@ केव: हाँ, यह समझ में आता है कि हम किस संचार को गिनते हैं। लेकिन विमानों को काटने के फ्रेम में, हमें वास्तविक संख्या भेजने के बारे में ध्यान रखने की आवश्यकता नहीं है । बस मान लें कि सभी गुणांक पूर्णांक हैं$O(\log n)$ बाइनरी आकार ($n$चर की संख्या) है। यहां तक ​​कि यह (प्रतिबंधित) मामला स्पष्ट नहीं है, जब "वास्तविक" अनुकूलन समस्याओं (जैसे स्वतंत्र सेट) के लिए कुछ प्राप्त करना चाहते हैं। मुझे "राक्षस समस्याओं" के लिए निचली सीमा प्राप्त करने का कोई मज़ा नहीं है। सबूत जटिलता में लोग आमतौर पर "राक्षसों" से संतुष्ट होते हैं। लेकिन अनुकूलन सिद्धांत के लोग "वास्तविक" निचले सीमाओं को देखना पसंद करेंगे।

— Stasys

ये एक पक्षीय मुद्दे हैं, जैसा कि मैंने कहा कि मैं प्रश्न में वर्णित संचार जटिलता के बारे में अधिक जानकारी प्राप्त करना चाहता हूं और जानबूझकर इसे सबूत जटिलता और प्रक्षेपों से जोड़ने से बचा गया। मेरे प्रश्न के कथन में प्रूफ जटिलता से संबंधित कुछ भी नहीं है।

— केव

@Kaveh: रेफरी के समारोह तो है खिलाड़ियों के लिए जाना जाता है, मैं इन "रेफरी प्रोटोकॉल" और "कोई रेफरी प्रोटोकॉल" (यदि, जैसा कि मैंने कहा, संख्या छोटे हैं) के बीच का अंतर नहीं दिख रहा। अंतर तब हो सकता है जब हमारे पास सिर्फ एक दौर होगा: खिलाड़ी रेफरी को अपने संदेश भेजते हैं, और वह अंतिम निर्णय लेता है। के मामले में बी.टी.वी.$k>2$खिलाड़ियों, यह "एक साथ संदेश संचार" के रूप में जाना जाता है। "राक्षस समस्याओं" के बारे में। यहां मुझे लगता है कि सर्किट जटिलता के बारे में नहीं है, बल्कि उन समस्याओं के बारे में है जिनके साथ अनुकूलन सिद्धांत का सामना करना पड़ता है।

— स्टेसिस