इनपुट्स के रूप में क्वांटम सबरूटीन की मनमानी क्वांटम राज्यों में लेने की जटिलता क्या है?

Question

जटिलता वर्ग बीक्यूपी बहुपद समय क्वांटम सबरूटीन्स से संबंधित है जो शास्त्रीय इनपुटों में लेते हैं और एक संभाव्य शास्त्रीय आउटपुट को थूकते हैं। क्वांटम सलाह संशोधित करती है कि कुछ पूर्व निर्धारित क्वांटम सलाह राज्यों की प्रतियों को शामिल करना है लेकिन हमेशा की तरह शास्त्रीय इनपुट के साथ। इनपुट के रूप में मनमाने ढंग से क्वांटम राज्यों में ले जाने वाले बहुपद समय क्वांटम सबरूटीन के लिए जटिलता वर्ग क्या है, केवल एक प्रति के कारण, कोई क्लोनिंग नहीं है, और एक आउटपुट के रूप में क्वांटम राज्यों को थूकना है?

Comments

क्या आप बता सकते हैं कि आपका राज्य कितना मनमाना हो सकता है? 'हिल्बर्ट स्पेस में कुछ भी', 'यथार्थवादी क्वांटम चैनलों के एक निश्चित परिवार द्वारा उत्पन्न कुछ', आदि

— जुआन बर्मेज़ो वेगा

Answer 1

मुझे लगता है कि आप जिस चीज के बारे में जानना चाहते हैं, वह फ़ंक्शन समस्याओं की कक्षाओं के क्वांटम एनालॉग्स हैं। (एक टिप्पणी में इस संक्षिप्त विवरण को इंगित करने के लिए पीटर शोर के लिए धन्यवाद।)

एक सार प्रक्रिया है जो इनपुट के रूप में तय आकार का एक क्वांटम राज्य लेता है और के रूप में उत्पादन एक कहा जाता है तय आकार का एक क्वांटम राज्य का उत्पादन क्वांटम चैनल । आपकी स्थिति में, हम इनपुट आकार या आउटपुट आकार को ठीक नहीं करना चाहते हैं, और इसलिए हम स्वाभाविक रूप से क्वांटम चैनलों के एक परिवार को शास्त्रीय तारों से शास्त्रीय तारों के कार्यों के क्वांटम एनालॉग के रूप में मानते हैं।

यह क्वांटम चैनलों के परिवारों के वर्ग को परिभाषित करने के लिए स्पष्ट रूप से संभव है जो कुशल क्वांटम सर्किट के परिवारों द्वारा कार्यान्वित / अनुमानित किया जा सकता है (दक्षता, एकरूपता और सन्निकटन की उपयुक्त धारणा के साथ)। मुझे नहीं पता कि इस वर्ग का कोई मानक नाम है (लेकिन सुझाव के लिए पीटर शोर की टिप्पणी देखें)।

मेरी अटकलों में, क्वांटम चैनलों की कक्षाओं का अक्सर अध्ययन नहीं किया जाता है क्योंकि जटिलता वर्गों पर विचार करने का एक कारण विभिन्न कम्प्यूटेशनल मॉडल की शक्तियों की तुलना करना है, और क्वांटम चैनलों की कक्षाओं का उपयोग शास्त्रीय और क्वांटम कम्प्यूटेशनल मॉडल की तुलना करने के लिए नहीं किया जा सकता है। हालांकि, ऐसी कक्षाओं के बारे में परिभाषित करना और बात करना पूरी तरह से ठीक है अगर उनके बारे में कुछ भी दिलचस्प साबित हो सकता है।

Comments

ये फ़ंक्शन कक्षाओं के क्वांटम एनालॉग हैं। आप नाम के लिए एक एफ उपसर्ग करके फ़ंक्शन कक्षाओं का नाम देते हैं; उदाहरण के लिए, एनपी निर्णय वर्ग है, और एफएनपी संबंधित फ़ंक्शन वर्ग है। वर्तमान में, आपको एक QF को नाम से जोड़कर क्वांटम फंक्शन क्लासेस को नाम देना चाहिए, जिस क्लास को आप चाहते हैं, उसके लिए QFBQP की पैदावार करें (जो कि FBQP से अलग होगा, शास्त्रीय कार्यों के वर्ग को आप क्वांटम कंप्यूटर पर बाउंड एरर के साथ बहुपद समय में गणना कर सकते हैं) ।

— पीटर शोर

@ पेटर: टिप्पणी के लिए धन्यवाद। "फ़ंक्शन कक्षाओं की क्वांटम एनालॉग्स" इस जवाब में जो मैं बात कर रहा हूं उसे संक्षेप में बताने का एक बहुत अच्छा तरीका है, और मैंने उस विवरण का उपयोग करके उत्तर को अपडेट किया। आशा है आप बुरा नहीं मानेंगे।

— त्सुयोशी इतो

मुझे कोई आपत्ति नहीं है।

— पीटर शोर

Answer 2

आप जिस चीज में रुचि रखते हैं, वह है आरएक्सोन में आरोनसन और कुपरबर्ग द्वारा पेश की गई क्वांटम ओरेकल की धारणा : क्वांट-फ / 0604056 । उनके कागज से उद्धरण:

जैसे एक क्लासिकल ओरेकल मॉडल एक सबरूटीन होता है, जिसमें एक एल्गोरिथ्म में ब्लैक-बॉक्स का उपयोग होता है, इसलिए एक क्वांटम ऑरेकल एक क्वांटम सबरूटीन मॉडल करता है, जो क्वांटम इनपुट ले सकता है और क्वांटम आउटपुट का उत्पादन कर सकता है।

यह आपके द्वारा बताए गए मॉडल का प्रतिनिधित्व करने वाली एक जटिलता वर्ग की परिभाषा के बारे में आपके सवाल का सीधे जवाब नहीं देता है। फिर भी, क्वांटम ऑरेकल की धारणा की जटिलता सिद्धांत में प्रासंगिकता है: अपने पेपर में आरोनसन और कुपरबर्ग क्यूएमए और क्यूसीएमए के बीच एक अलगाव देने के लिए क्वांटम ऑरेकल का उपयोग करते हैं ।

Answer 3

मुझे लगता है कि निर्णय की समस्याओं के लिए एक जटिलता वर्ग , क्वांटम राज्यों को ले रहा है क्योंकि इनपुट की एक नाजुक परिभाषा है। वादा समस्याओं के लिए, या तो परिभाषा संख्यात्मक विकल्पों के प्रति संवेदनशील होगी, या यह अनिवार्य रूप से क्वांटम राज्यों के कुछ कुशलता से डिकोड किए गए आधार में शास्त्रीय निर्णय / वादा समस्याओं को हल करेगी।

$\Phi_n: \mathrm L(\mathcal H_2^{\otimes n}) \to \mathrm L(\mathcal H_2)$-क्वेट स्टेट्स टू सिंगल क्वबिट स्टेट्स। बेशक, एक क्वांटम सर्किट एक अच्छा चैनल है; यदि हम विशिष्ट चैनलों के प्रदर्शन की बात करने जा रहे हैं, जो कम्प्यूटेशनल रूप से बाध्य हैं, तो हम केवल एक समान क्वांटम सर्किट परिवारों (या उस मामले के लिए, सीपीटीपी मानचित्र को लागू करने के किसी भी समान तरीके) की बात कर सकते हैं। अच्छे उपाय के लिए, सर्किट को एक मानक आधार माप के साथ समाप्त होना चाहिए, अगर हम बाध्य संभावना के साथ कुछ तय करने के शब्दार्थ को बनाए रखना चाहते हैं ।

$\mathcal L$$\rho'$$\rho \in \mathcal L$$\rho$$\rho'$$\mathcal L$

$\mathcal L$$\mathcal L$(1), यह एक संभावना है जो इनपुट आकार बढ़ने के साथ निश्चितता के करीब है - और इसी तरह, किसी भी राज्य की अस्वीकृति की संभावना जो निर्णय की दिनचर्या को अस्वीकार करने में सक्षम है, उसे भी शून्य में बदलना चाहिए।

क्वांटम-वादा समस्याओं कि एक QBQP सर्किट (आकार n के इनपुट के लिए ) तब भेद करने में सक्षम होगा

• $\mathcal H_2^{\otimes n}$
• किसी भी उदाहरण के लिए, शुद्ध राज्यों का मिश्रण जो उस उप-क्षेत्र के लिए ओर्थोगोनल हैं (या कम से कम, सभी ऑर्थोकोम्प्लरी राज्यों द्वारा वादा किया गया है)।

$\mathcal L$$\mathcal L^\bot$ निर्णय या वादा समस्या, क्वांटम राज्यों में एन्कोडेड, त्रुटि को शून्य में बदलने के साथ।

Comments

मैं इस समस्या का हल करने के लिए वादा समस्याओं के वर्ग के क्वांटम एनालॉग्स को परिभाषित करने के लिए वादा समस्या सूत्रीकरण का उपयोग करूंगा क्योंकि आपने इस उत्तर में बताया था।

— त्सुयोशी इतो

@TsuyoshiIto: अच्छी बात है, अवधारणा अनिवार्य रूप से एक वादा समस्या प्रतिबंध है। मैंने इस अवधारणा को प्रस्तुत करने के लिए उत्तर संपादित किया है।

— नील डी ब्यूड्रैप

यदि यह स्पष्ट नहीं था, तो मैं आपके उत्तर में पहले पैराग्राफ से सहमत नहीं हूँ यदि हम वादा समस्याओं पर विचार करते हैं।

— १२:२५

@TsuyoshiIto: आपको यह इंगित करना सही है कि मैंने पहले पैराग्राफ में वादा समस्याओं का उल्लेख नहीं किया था; जैसा कि मूल अभी भी वादा समस्याओं के लिए सटीक था, मुझे लगता है कि यह इस बात पर निर्भर करता है कि क्या आप संख्यात्मक विकल्पों के प्रति संवेदनशील होने के लिए 'नाजुक' की व्याख्या करते हैं। किसी भी मामले में, मैंने उत्तर को प्रतिबिंबित करने के लिए उस पैराग्राफ को संशोधित किया है (संवेदनशीलता का वर्णन सहित जो वादा समस्याओं के लिए बनी हुई है)।

— निएल डी ब्यूड्रैप

Answer 4

अगर मैं गलत हूं तो मुझे सुधारें, लेकिन मुझे लगता है कि आप वर्ग बीक्यूपी / क्यूपॉलि में रुचि रखते हैं । जटिलता चिड़ियाघर से परिभाषा: "एक BQP मशीन द्वारा हल की जाने वाली समस्याओं का वर्ग जो सलाह के रूप में एक क्वांटम स्थिति प्राप्त करता है, जो केवल इनपुट लंबाई n पर निर्भर करता है।"

यदि यह है कि एक, वेबसाइट में आप इस वर्ग के संबंधों को अन्य जटिलता वर्गों में पा सकते हैं। यदि ऐसा नहीं है, तो इस वेबसाइट में विभिन्न प्रकार की सलाह का उपयोग करने पर BQP के साथ क्या होता है, इसके बारे में जानकारी शामिल है।

" क्वांटम सलाह के लक्षण वर्णन " के बारे में एक अपेक्षाकृत हालिया काम भी है जहाँ आप निम्नलिखित पदानुक्रम पा सकते हैं:

मुझे नहीं पता कि यह जानकारी कॉम्प्लेक्सिटी ज़ू में पहले से कितनी है। यदि आप कागज में रुचि रखते हैं, तो लेखकों ने भी इसके बारे में बात की है।

संपादित करें मुझे आश्चर्य है कि अगर "मनमाने ढंग से" का मतलब है कि एक अधिक सामान्य क्वांटम प्रक्रिया द्वारा उत्पन्न राज्य है जो 'एकात्मक विकास पर कम्प्यूटेशनल आधार पर कार्य करता है' जैसे कि विघटनकारी विकास। इस विशिष्ट उत्तरार्द्ध में आपके पास BQP की तुलना में अधिक कम्प्यूटेशनल शक्ति नहीं है जैसा कि इस लेख में दिखाया गया है ।

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मुझे लगता है कि प्रश्नकर्ता ने इस प्रश्न में स्पष्टीकरण के लिए क्वांटम सलाह का उल्लेख किया है कि वह जिस बारे में जानना चाहता है वह क्वांटम सलाह से अलग है।

— त्सुयोशी इतो

हां, इसीलिए मुझे संदेह था। यह मेरे लिए स्पष्ट नहीं है कि राज्य कितनी "मनमानी" कर सकता है। > इनपुट के रूप में मनमाना क्वांटम राज्यों में ले जाने वाले बहुपद समय क्वांटम सबरूटीन के लिए जटिलता वर्ग क्या है। मैं यहां समझता हूं कि "मनमाना" प्रारंभिक राज्य आपको किसी के द्वारा दिया जाना है, लेकिन शायद पूछने वाले को अधिक यथार्थवादी सेटअप में रुचि है।

— जुआन बरमेजो वेगा

Answer 5

यहां क्वांटम भाषाओं पर कुछ संदर्भ दिए गए हैं, अर्थात, क्वांटम इनपुट के साथ निर्णय की समस्याएं। शायद कई और भी हैं।

1. क्वांटम एनपी और एक क्वांटम पदानुक्रम -टोमोयुकी यामाकामी
2. क्वांटम लैंग्वेजेस -एल्हाम काशीफी की कॉम्प्लेक्सिटी पर , कैरोलिना मौरा एल्वेस
3. क्वांटम मर्लिन-आर्थर गेम्स -आराम हैरो, एशले मोंट्रो, डीओआई: 10.1109 / FOCS.2010.66, सार: arxiv.org/abs/1001.0017v3 के लिए अनुप्रयोगों के साथ उत्पाद राज्यों के लिए एक कुशल परीक्षण