किसी संरचना के न्यूनतम आयाम को निर्धारित करने का सबसे अच्छा तरीका केवल अंकों के बीच की दूरी है

मुझे यह समस्या कंप्यूटर विज्ञान से काफी दूर भौतिकी के एक क्षेत्र में आई थी, लेकिन ऐसा लगता है कि सीएस में किस तरह के प्रश्न का अध्ययन किया गया है, इसलिए मैंने सोचा कि मैं अपनी किस्मत आजमाऊंगा।

कल्पना कीजिए कि आपको बिंदुओं का एक सेट दिया गया है और बिंदु बीच कुछ दूरियों की सूची । उस स्थान की न्यूनतम आयामीता निर्धारित करने के लिए सबसे प्रभावी तरीका क्या है जिसमें आपको इन बिंदुओं को एम्बेड करने की आवश्यकता है? दूसरे शब्दों में, सबसे छोटी ऐसी क्या होती है जिसमें के बिंदुओं का एक समूह मौजूद होता है, जो दूरी बाधित । मैं उत्तर के साथ उतना ही खुश , लेकिन यह कठिन लगता है। $\{v_i\}_{i=1}^n$ $d_{ij}$ $k$ $\mathbb{R}^k$ $d_{ij}$ $\mathbb{C}^k$

मुझे यह कहते हुए प्रसन्नता हो रही है कि दूरियों को से मेल खाने की आवश्यकता है, केवल कुछ निरंतर सटीकता भीतर और वास्तविक स्पेस के साथ कंप्यूटिंग के मुद्दों से बचने के लिए, निरंतर रिक्ति के कुछ जाली पर बिंदुओं तक सीमित अंक। $d_{ij}$ $\epsilon$

वास्तव में, मैं इस समस्या के निर्णय संस्करण के समाधान से काफी खुश हूँ, जहाँ और दिए गए हैं और आपसे पूछा जाता है कि क्या इस तरह के सेट मौजूद हैं या नहीं । त्रैमासिक रूप से समस्या एनपी में है, क्योंकि में अंकों का एक सेट दिया गया है, यह जांचना आसान है कि वे दूरी की आवश्यकताओं को पूरा करते हैं, लेकिन ऐसा लगता है कि इस विशेष समस्या के लिए उप-घातांक समय एल्गोरिदम होना चाहिए। $d_{ij}$ $k$ $\{v_i\}$ $\mathbb{R}^k$

सबसे स्पष्ट दृष्टिकोण यह है कि एक-एक करके अतिरिक्त बिंदुओं को जोड़कर और प्रत्येक पुनरावृत्ति में एक नए स्थानिक आयाम को जोड़ने की आवश्यकता है या नहीं, यह निर्धारित करते हुए, क्रमिक रूप से -dimensional संरचनाओं का निर्माण करने का प्रयास किया जा रहा है। इसके साथ समस्या यह है कि ऐसा लगता है कि आप अस्पष्टताओं में भाग सकते हैं जहां मौजूदा संरचना में एक बिंदु को जोड़ने के लिए एक से अधिक तरीके हैं, और यह स्पष्ट नहीं है कि कौन सा आपको कम आयामों तक ले जाएगा क्योंकि आप अधिक अंक जोड़ना जारी रखते हैं। $k$

अंत में, मुझे कहना है कि मुझे पता है कि दूरियों की सूची बनाना आसान है जो किसी भी संख्या में आयामों (यानी जो त्रिकोण असमानता का उल्लंघन करते हैं) में संतुष्ट नहीं हो सकते हैं। हालाँकि, जिन उदाहरणों की मुझे परवाह है, उनके लिए हमेशा कुछ न्यूनतम परिमित संख्याएँ होंगी जिनमें बिंदुओं का एक संतोषजनक सेट पाया जा सकता है।

ds.algorithms cg.comp-geom

— जो फिट्जिमोंस
स्रोत

मुझे लगता है कि आप में एक एम्बेडिंग चाहते हैं ?

ℓ_{2}

$\ell_2$

— सुरेश वेंकट

@ सुरेश: हाँ, क्षमा करें, मेरा मतलब है कि जोड़ने के लिए।

— जो फिट्जसिमों

भौतिकी का क्षेत्र क्या है जहाँ से यह आता है, btw?

— विनायक पाठक

@ विनायक: जब क्वांटम यांत्रिकी में कुछ गणना करने की कोशिश की गई तो मैं बस इसके पार आ गया।

— जो फिजसिमन्स

जवाबों:

इस समस्या को कभी-कभी कम आयामी यूक्लिडियन दूरी मैट्रिक्स पूर्णता या भारित ग्राफ़ के कम आयामी यूक्लिडियन एम्बेडिंग कहा जाता है।

Saxe [Sax79] और यमिनी [Yem79] ने स्वतंत्र रूप से विभाजन की समस्या से एक सरल कमी करके दिखाया कि यह समस्या एक आयाम के मामले में भी NP-complete है; अर्थात, निम्न समस्या k = 1 के लिए NP-complete है :

k -dimensional Euclidean दूरी मैट्रिक्स पूरा / k -dimentional Euclidean भारित ग्राफ का एम्बेडिंग
उदाहरण : एक सममित मैट्रिक्स M जिसकी प्रविष्टियाँ बाइनरी या "अज्ञात" में धनात्मक पूर्णांक हैं।
प्रश्न : में अज्ञात प्रविष्टियों सकते हैं एम ताकि वास्तविक संख्या द्वारा भरा जाना एम में अंक की दूरी मैट्रिक्स हो जाता है कश्मीर आयामी इयूक्लिडियन स्थान ℝ^{कश्मीर} ?
समान रूप से,
उदाहरण : एक ग्राफ जी जहां प्रत्येक किनारे पर बाइनरी में लिखा गया एक पूर्णांक वजन होता है।
प्रश्न : क्या जी के कोने को अंदररखाजा सकताहैk -dimensional Euclidean space that ^k ताकि G के प्रत्येक किनारे के लिए , दो अंत बिंदुओं के बीच की दूरी किनारे के भार के बराबर हो?

इसके अलावा, Saxe [Sax79] (3SAT से अधिक शामिल कमी के द्वारा) दिखाया गया है कि k -dimensional Euclidean दूरी मैट्रिक्स पूरा होने के दौरान भी एनपी-हार्ड रहता है कि प्रतिबंध के तहत एम में सभी ज्ञात प्रविष्टियां हर सकारात्मक पूर्णांक स्थिरांक के लिए 1 या 2 हैं। के । विशेष रूप से, समस्या एनपी-पूर्ण तब भी होती है जब एम में ज्ञात प्रविष्टियां एकात्मक में दी जाती हैं। [Sax79] में अनुमानित एम्बेडिंग के बारे में कुछ कठोरता परिणाम भी हैं।

वैसे, मुझे नहीं लगता कि यह तुच्छ है कि समस्या एनपी में है; ध्यान दें कि आपको कुछ मामलों में तर्कहीन निर्देशांक की जरूरत है जब k > 1। मुझे नहीं पता कि यह एनपी में होना ज्ञात है या नहीं।

संदर्भ

[सक्स 79 ९] जेम्स बी सक्से। K- क्षेत्र में भारित ग्राफ़ की एंबेडैबिलिटी दृढ़ता से एनपी-हार्ड है। में 17 वीं एलर्टन संचार, नियंत्रण, और कम्प्यूटिंग पर सम्मेलन की कार्यवाही ।:, पीपी 480-489 इसके अलावा जेम्स बी Saxe में, 1979 दो पत्रों ग्राफ़ एम्बेडिंग समस्याओं पर , कंप्यूटर विज्ञान विभाग, कार्नेगी मेलॉन विश्वविद्यालय-, 1980।

[यम 79 ९] येचियम यमिनी। स्थिति-स्थान की समस्याओं के कुछ सैद्धांतिक पहलू। में कंप्यूटर विज्ञान की नींव पर 20 वीं वार्षिक संगोष्ठी (FOCS) ।:, पीपी 1-8, अक्टूबर 1979 DOI 10.1109 / SFCS.1979.39

— त्सुयोशी इतो
स्रोत

धन्यवाद। निश्चित रूप से सामान्य मामले में यह स्पष्ट रूप से एनपी में नहीं है, लेकिन अगर आप इसे एक जाली में झूठ बोलने के लिए अंक को सीमित करके एक वादा समस्या में बदल देते हैं, और इसके बजाय दूरी के वर्ग को दिया जाता है, न कि खुद दूरी से, फिर सभी वर्ग दूरी पूर्णांक हैं, और इसलिए एक समाधान को बहुपद समय में बिल्कुल जांचा जा सकता है।

— जो फिजसिमन्स

निश्चित को देखते हुए , दूरी के आयामों का एक सटीक लक्षण वर्णन है जो आयामों में बिंदुओं के बीच की दूरी का प्रतिनिधित्व करता है । यह स्कोनबर्ग के एक प्रमेय से आता है और एमएल और नकारात्मक-प्रकार की दूरी में गुठली से संबंधित है । इस लक्षण वर्णन को बहुपद समय में परीक्षण किया जा सकता है (इसमें कंप्यूटिंग रैंक और नकारात्मक निश्चितता के लिए परीक्षण शामिल है)। मेरा मानना है कि यह इस प्रकार भी है कि अगर यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक एम्बेडिंग मौजूद है, तो यह एम्बेडिंग आयामों से अधिक नहीं होगी । $d$ $n$ $d$ $n$

— सुरेश वेंकट
स्रोत

महान, यह सिर्फ सूचक मैं जरूरत हो सकती है। यदि यह कुछ तुच्छ प्रश्न है, तो अपना समय बर्बाद करने के लिए क्षमा करें।

— जो फिट्ज़सिमों

यह तुच्छ नहीं है अगर आप दूरी ज्यामिति में चारों ओर नहीं घूमते हैं :)

— सुरेश वेंकट

मैंने आपकी पोस्ट पढ़ ली है, और यह निश्चित रूप से मुझे सही दिशा में इंगित करता है। हालांकि, मैं पूरी तरह से स्पष्ट नहीं हूं कि यह केवल आंशिक सेट के साथ कैसे लागू होगा। क्या आप मुझे बता सकते हैं?

— जो फिट्जिमंस

अहं मुझे इस समस्या का एहसास है कि यह आंशिक मामले को संभालती नहीं है। :(

— सुरेश वेंकट

@ जो: एक दूरी मैट्रिक्स सभी नकारात्मक प्रकार की असमानताओं को संतुष्ट करता है अगर और केवल अगर "ग्राम मैट्रिक्स" सकारात्मक अर्धविराम है। (मैं "ग्राम मैट्रिक्स" को डराने वाले उद्धरणों में रखता हूं क्योंकि यह वास्तव में एक ग्राम मैट्रिक्स नहीं है जब तक कि दूरी एक ईडीडियन स्पेस में वसूली योग्य नहीं है।) हालांकि, मुझे नहीं पता कि इस दृष्टिकोण का उपयोग करके आयाम पर प्रतिबंध को कैसे संभालना है।

— १२:२४ पर त्सुयोशी इतो