प्लानर ग्राफ़ पर एक आम स्रोत के साथ न्यूनतम-अधिकतम वर्टेक्स-डिस्गेट पथ ढूँढना

Question

एक समतल अनिर्धारित ग्राफ, और शिखर जोड़े का एक संग्रह को देखते हुए ( कश्मीर ≥ 2 एक निरंतर है), लगता है कश्मीर शिखर-संबंध तोड़ना (स्रोत को छोड़कर) से रास्तों रों को टी मैं ऐसा हूं कि सबसे लंबे रास्ते की लंबाई कम से कम हो।$(s,t_1),\dots,(s,t_k)$$k\ge2$$k$$s$$t_i$

प्रश्न: क्या समस्या के लिए एक बहुपद-कालिक एल्गोरिथ्म है?

कुछ संबंधित परिणाम:

• अगर को ठीक नहीं किया जाता है तो समस्या NP-कठिन है भले ही t 1 = the = t k ;$k$$t_1=\dots=t_k$
• यदि इनपुट ग्राफ भारित है और रास्तों के स्रोतों मेल नहीं खाती है, यानी रास्ते हैं समस्या है एनपी कठिन भी के लिए कश्मीर = 2 ;$(s_1,t_1),\dots,(s_k,t_k)$$k=2$

• अलग उद्देश्य के साथ एक समस्या है, अर्थात् पथ की लंबाई का योग कम से कम है

  • संयोग स्रोतों के लिए न्यूनतम लागत प्रवाह एल्गोरिथ्म के साथ सॉल्व करने योग्य;
  • गैर-संयोग स्रोतों और सामान्य लिए एनपी-हार्ड ;$k$
  • गैर-संयोग स्रोतों और निरंतर लिए खुला ।$k$

Comments

ऐसा लगता है कि कई संबंधित परिणाम हैं। क्या आप प्रश्न में महत्वपूर्ण संबंधित परिणामों को संक्षेप में प्रस्तुत कर सकते हैं?

— त्सुओशी इतो

क्या इनपुट ग्राफ G भारित है (अर्थात, प्रत्येक किनारे पर धनात्मक-पूर्णांक लंबाई है)? मैं यह मान रहा था कि जी भारित नहीं है, लेकिन मैंने महसूस किया है कि आप शायद दो सेटिंग्स को मिला रहे हैं: (1) यदि जी को भारित किया जाता है, तो के = 2 का मामला एनपी-पूर्ण रूप से प्रमेय 14 द्वारा कागज में अनिवार्य रूप से है कोबायाशी और सोमर जिसे आपने लिंक किया था, जो अनिवार्य रूप से मेरे उत्तर में उद्धृत [HP02] की धारा 2 में अंतिम पैराग्राफ के समान है। (2) यदि G को भारित नहीं किया जाता है, तो मैं यह नहीं देख सकता कि कोबायाशी और सोमर द्वारा कागज़ का अर्थ k = 2 और विभिन्न स्रोतों के मामले में NP-कठोरता से है।

— १२:५२ पर त्सुयोशी इतो

मेरी सेटिंग में, एक ग्राफ़ को भारित नहीं किया जाता है, इसलिए आप सही हैं: के = 2 के मामले में एनपी-कठोरता पर मेरा दावा है और विभिन्न स्रोत गलत हैं (शायद)।

— सर्गेई पुप्येरेव

मैंने Tsuyoshi Ito की टिप्पणी को ध्यान में रखते हुए समस्या कथन को अद्यतन किया है।

— सेर्गेई पुप्येरेव

Answer 1

यह वही नहीं है जो आपने पूछा था, लेकिन समस्या एनपी-पूर्ण है यदि कश्मीर एक निरंतर नहीं है, लेकिन इनपुट का हिस्सा है।

यह होल्स्ट der और डी पिना [HP02] वैन में प्रमेय 1 का सबूत है, जो कहते हैं से इस प्रकार है: एक समतल ग्राफ को देखते हुए जी , अलग कोने रों और टी में जी , और धनात्मक पूर्णांक कश्मीर और ख है, यह तय करने के लिए एनपी पूरा हो गया है चाहे देखते हैं कश्मीर के बीच जोड़ो में आंतरिक रूप से शिखर-संबंध तोड़ना रास्तों रों और टी अधिक से अधिक लंबाई के प्रत्येक ख ।

ध्यान दें कि प्रमेय 1 के कथन में समस्या दो तरह से आपकी है। एक अंतर यह है, जैसा कि मैंने उल्लेख किया है, कि k को इनपुट के भाग के रूप में दिया गया है। दूसरा यह है कि [HP02] में समस्या एक सामान्य स्रोत और विभिन्न डूब के साथ पथों के बजाय सामान्य समापन बिंदु वाले पथ के बारे में है। मुझे नहीं पता कि पहले अंतर को कैसे ठीक किया जाए; अंतर इतना बड़ा है कि यह संभावना है कि हमें कश्मीर को ठीक करने के लिए पूरी तरह से अलग प्रमाण की आवश्यकता होगी । लेकिन मुझे पता है कि कम से कम दूसरे अंतर को कैसे ठीक किया जाए।

[HP02] में प्रमेय 1 का प्रमाण 3SAT से कमी देता है। इस कमी में निम्नलिखित गुण हैं: कमी द्वारा निर्मित उदाहरण ( G , s , t , k , b ) में, शीर्ष t की डिग्री हमेशा k के बराबर होती है । चलो टी ₁ , ..., टी _{कश्मीर} होना कश्मीर के पड़ोसियों टी । तो बजाय पूछा था कि क्या वहाँ रहे हैं की कश्मीर जोड़ो में आंतरिक रूप से के बीच शिखर-संबंध तोड़ना रास्तों रों और टी लंबाई में से प्रत्येक के अधिक से अधिक ख, हम समान रूप से पूछ सकते हैं कि क्या जोड़ीदार शीर्ष-अव्यवस्था-अपवाद-स्रोत पथ P ₁ ,…, P _{k हैं} जैसे कि प्रत्येक P _i , s और t _i के बीच का पथ है जो अधिकांश b .1 पर है।

[HP02] एच। वैन डेर होल्स्ट और जेसी डी पिना। प्लेनर रेखांकन में लंबाई-बंधे हुए जर्जर पथ। असतत अनुप्रयुक्त गणित , १२० (१-३): २५१-२६१, अगस्त २००२। http://dx.doi.org/10.1016/S0166-218X%2801%2900294-3

Comments

$k$$k$

@SergeyPupyrev: आपने लिखा है कि k एक स्थिर है। (आपने इसे लिखा क्योंकि आप जानते थे कि इसका क्या मतलब है, क्या आपने नहीं?) प्रासंगिक कागजात पर एक सरसरी नज़र से जो मैंने सीखा, क्या कश्मीर एक निरंतर है या संबंधित समस्याओं में नहीं है, वर्तमान स्थिति में एक बड़ा अंतर लगता है समस्या की जटिलता।

— त्सुयोशी इतो

$k$$k$

@SergeyPupyrev: मुझे एक पेपर नहीं मिल रहा है जो उस स्थिति में जटिलता बताता है जहां k एक स्थिर है, लेकिन इसका मतलब केवल यह है कि यह मेरे लिए अज्ञात है ।

— त्सुयोशी इतो