परिमित एबेलियन समूहों के लिए सदस्यता-परीक्षण की जटिलता

निम्नलिखित एबेलियन-सबग्रुप सदस्यता-परीक्षण समस्या पर विचार करें ।

इनपुट:

एक परिमित एबेलियन समूह साथ मनमाने-बड़े । $G=\mathbb{Z}_{d_1}\times\mathbb{Z}_{d_1}\ldots\times\mathbb{Z}_{d_m}$ $d_i$

एक उपसमूह एक जेनरेटिंग-सेट । $\lbrace h_1,\ldots,h_n\rbrace$ $H\subset G$

एक तत्व । $b\in G$

आउटपुट: 'हाँ' यदि और 'no' कहीं और है। $b\in H$

प्रश्न: क्या इस समस्या को शास्त्रीय कंप्यूटर में कुशलता से हल किया जा सकता है ? मैं एक एल्गोरिथ्म को कुशल मानता हूं यदि यह समय और मेमोरी संसाधनों का उपयोग शास्त्रीय अस्तर मशीनों के सामान्य अर्थों में करता है। ध्यान दें कि हम किसी भी उपसमूह लिए मान सकते हैं । इनपुट आकार इस समस्या से है । $O(\text{polylog}|G|)$ $n= O(\log|G|)$ $H$ $\lceil \log|G|\rceil$

थोडा मोटिवेशन । अंतःक्रियात्मक रूप से ऐसा लगता है कि समस्या को एल्गोरिदम के रैखिक या रैखिक डायोफैंटीन समीकरण (नीचे पढ़ें) के रैखिक सिस्टम को हल करने के लिए निपटाया जा सकता है। हालांकि, ऐसा लगता है कि पूर्णांक के साथ संगणना के संदर्भ में कम्प्यूटेशनल दक्षता की अलग-अलग धारणाएं हैं, जैसे: दृढ़ता से कमजोर बहुपद समय, बीजीय बनाम बिट जटिलता। मैं इन परिभाषाओं का विशेषज्ञ नहीं हूं और मुझे ऐसा संदर्भ नहीं मिल रहा है जो स्पष्ट रूप से इस प्रश्न को सुलझाता हो।

अपडेट: समस्या का उत्तर "हां" है।

एक देर से जवाब में, मैंने स्मिथ के सामान्य रूपों के आधार पर एक विधि प्रस्तावित की जो किसी भी समूह के लिए निर्धारित प्रपत्र के लिए कुशल है।

ब्लोंडिन के एक उत्तर से पता चलता है कि उस विशेष मामले में जहां सभी फॉर्म और "छोटे पूर्णांक" हैं, फिर समस्या " । छोटे पूर्णांक इनपुट आकार के साथ बहुत छोटे होते हैं: | $d_i$ $d_i= N_i^{e_i}$ $N_i, e_i$ $\text{NC}^3\subset \text{P}$ $O(\log\log|A|)$

इस समस्या को हल करने के लिए मैंने अपने जवाब में "ऑर्थोगोनल सबग्रुप्स" का इस्तेमाल किया, लेकिन मेरा मानना है कि यह आवश्यक नहीं है। मैं भविष्य में एक और अधिक सीधा जवाब देने की कोशिश करूंगा जो कि मैं पढ़ रहा हूं, एक पंक्ति इकोलोन फॉर्म विधि आधारित है।

कुछ संभव दृष्टिकोण

समस्या निकट संबंधियों और / या रैखिक डायोफैटिन समीकरणों के रैखिक प्रणाली को हल करने से संबंधित है। मैं संक्षेप में इन कनेक्शनों को पूरा करने के लिए कहता हूं।

लो मैट्रिक्स जिसका कॉलम पैदा सेट के तत्व हैं होने के लिए । समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली $A$ $\lbrace h_1, \ldots, h_n \rbrace$

A x^{T} = (\begin{matrix} h_{1} (1) & h_{2} (1) & \dots & h_{n} (1) \\ h_{1} (2) & h_{2} (2) & \dots & h_{n} (2) \\ ⋮ & ⋮ & \dots & ⋮ \\ h_{1} (m) & h_{2} (m) & \dots & h_{n} (m) \end{matrix}) (\begin{matrix} x (1) \\ x (2) \\ ⋮ \\ x (n) \end{matrix}) = (\begin{matrix} b (1) \\ b (2) \\ ⋮ \\ b (m) \end{matrix}) \begin{matrix} \mod d_{1} \\ \mod d_{2} \\ ⋮ \\ \mod d_{m} \end{matrix}

$Ax^{T}= \begin{pmatrix} h_1(1) & h_2(1) & \ldots & h_n(1)\\ h_1(2) & h_2(2) & \ldots & h_n(2)\\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots\\ h_1(m) & h_2(m) & \ldots & h_n(m) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x(1)\\ x(2)\\ \vdots\\ x(n) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b(1) \\ b(2) \\ \vdots\\ b(m) \end{pmatrix} \begin{matrix} \mod d_1\\ \mod d_2\\ \vdots\\ \mod d_m \end{matrix}$

एक समाधान यदि और केवल यदि है । $b\in H$

यदि सभी चक्रीय कारकों में समान आयाम तो स्मिथ सामान्य रूपों पर आधारित एक एल्गोरिथ्म है जो बहुपद समय में समस्या को हल करता है। इस मामले में, [1] से एक कुशल एल्गोरिथ्म स्मिथ के का सामान्य रूप पाता है : यह एक विकर्ण मैट्रिक्स और दो उल्टे मैट्रिक्स और जैसे लौटाता है । इसने समतुल्य प्रणाली प्रणाली को विकर्ण के साथ हल करने में समस्या को कम किया । हम कुशलता से तय कर सकते हैं कि सिस्टम में यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म का उपयोग करके समाधान है या नहीं। $d=d_i$ $A$ $D$ $U$ $V$ $D=UAV$ $DY=Ub \mod d$ $D$

उपरोक्त उदाहरण बताता है कि सामान्य मामले में समान तकनीकों का उपयोग करके समस्या को कुशलता से हल किया जा सकता है। हम मॉड्यूलर संचालन करने वाले सिस्टम को हल करने की कोशिश कर सकते हैं, या सिस्टम को रैखिक डायोफैंटाइन समीकरणों के एक बड़े सिस्टम में बदल सकते हैं। समस्या के बारे में सोचने के लिए कुछ संभावित तकनीकें जो मैं सोच सकता हूं:

स्मिथ को सामान्य रूपों की गणना करना । $A$
की पंक्ति Echelon फॉर्म का कम्प्यूटिंग । $A$
इंटीजर गॉसियन एलिमिनेशन।

— जुआन बर्मेज़ो वेगा का पता चलता है
स्रोत

एक साथ MO पर पार किया

— सुरेश वेंकट

ऐसा प्रतीत होता है कि आपने इस प्रश्न को एक साथ पार कर लिया है । हम एक सवाल कोई आपत्ति नहीं है जबकि किया जा रहा फिर से पोस्ट किया है, हमारी साइट नीति के बाद ही पर्याप्त समय बीत चुका है और आप इच्छित जवाब कहीं प्राप्त नहीं किया था, क्योंकि एक साथ crossposting डुप्लिकेट प्रयास और भंग चर्चा एक पोस्ट की अनुमति के लिए है। आप इस प्रश्न को अभी बंद करने के लिए ध्वजांकित कर सकते हैं, और फिर अन्य साइटों से प्रासंगिक चर्चाओं को संक्षेप में प्रस्तुत करने के बाद यदि आवश्यक हो तो इसे खोलने के लिए इसे पुनः प्रकाशित कर सकते हैं।

— सुरेश वेंकट

मूल पोस्टर के अनुरोध पर बंद (एमओ पर दोहराव के कारण)।

— डेव क्लार्क

पोस्ट बंद होने से पहले मैंने एक जवाब पोस्ट किया था। मेरी राय में, गणित के प्रवाह की तुलना में यह सवाल यहां बेहतर अनुकूल है क्योंकि यह जटिलता सिद्धांत साहित्य में बड़े पैमाने पर अध्ययन किया गया था।

— माइकल ब्लोंडिन

ओपी के अनुरोध पर फिर से खोला गया; जटिलता पर ध्यान देना यहां के लिए सही है।

— सुरेश वेंकट

जवाबों:

यह सत्यापित करना कि (जहाँ ओपी की टिप्पणियों के अनुसार वैक्टर हैं) सत्यापित करने के बराबर है कि क्या इस प्रणाली का कोई हल है: $b \in \langle h_1, \ldots, h_n\rangle$ $h_i$

(\begin{matrix} h_{1} (1) & \dots & h_{n} (1) & d_{1}^{e_{1}} & 0 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ h_{1} (m) & \dots & h_{n} (m) & 0 & 0 & \dots & d_{m}^{e_{N}} \end{matrix}) (\begin{matrix} x (1) \\ ⋮ \\ x (n) \\ y (1) \\ ⋮ \\ y (m) \end{matrix}) \equiv (\begin{matrix} b (1) \\ ⋮ \\ b (m) \end{matrix})

$\begin{pmatrix} h_{1}(1) & \cdots & h_{n}(1) & d_1^{e_1} & 0 & \cdots & 0 \\\\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\\\ h_{1}(m) & \cdots & h_{n}(m) & 0 & 0 & \cdots & d_m^{e_N} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x(1) \\\\ \vdots \\\\ x(n) \\\\ y(1) \\\\ \vdots \\\\ y(m) \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} b(1) \\\\ \vdots \\\\ b(m) \end{pmatrix}$

आपके मामले में छोटे नंबर हैं (अर्थात, उनका आकार इनपुट आकार में लॉगरिदमिक है)। दुर्भाग्य से, ऐसा नहीं लगता कि हम यह मान सकते हैं कि छोटे हैं। $e_1, \ldots, e_N$ $d_1, \ldots, d_n$

यदि वे हैं, तो आप McKenzie & Cook [1] के परिणाम से सिस्टम में समाधान पा सकते हैं । इस पत्र से पता चलता है कि छोटे-छोटे कारकों (LCON) के साथ रैखिक संयोजनों को हल करने वाला modulo । इसके अलावा, यह समस्या -एबिलियन परमीशन ग्रुप मेंबरशिप प्रॉब्लम (AGM) के अनुरूप है। मैकेंजी के डॉक्टरेट थीसिस पूरी तरह से उन समस्याओं के लिए समर्पित है [1] । हाल ही में, अरविंद और विजयराघवन [3] ने उन समस्याओं पर विचार किया । $\text{NC}^3$ $\text{NC}^3$ $\text{NC}^1$

[१] पियरे मैकेंजी और स्टीफन ए। कुक। एबेलियन क्रमचय समूह की समस्याओं की समानांतर जटिलता। 1987।

[२] पियरे मैकेंजी। समानांतर जटिलता और क्रमपरिवर्तन समूह। 1984।

[३] वी। अरविंद और टीसी विजयराघवन। रेखीय गणना और एबेलियन क्रमचय समूह पर समस्याओं को वर्गीकृत करना लॉगस्पेस काउंटिंग क्लासेस का उपयोग करना। 2010।

— माइकल ब्लोंडिन
स्रोत

धन्यवाद, दुर्भाग्य से मुझे सोमवार तक इस पत्र तक कोई पहुंच नहीं है। यह मुझे आश्चर्यचकित करता है कि यह किसी भी एबेलियन समूह के लिए काम करता है। के लिए , जो अबेलियन है, मौसम का निर्धारण करने के अंतर्गत आता है मौसम निर्णय लेने से शामिल के लिए एक समाधान है। मुझे यहां दो समस्याएं दिखाई देती हैं: 1) शास्त्रीय रूप से यूलर टोटिएंट फ़ंक्शन 2 की गणना करना कठिन है) इसका असतत लघुगणक का निर्णय संस्करण है। यदि चक्रीय अपघटन दिया जाता है तो समस्या मॉड्यूलर समीकरणों को हल करने में कम कर देती है। आप इस समस्या के आसपास कैसे जाते हैं? क्या मुझे यहाँ कुछ महत्वपूर्ण याद आ रहा है?

Z_{N}^{*}

$Z_N^*$

b

$b$

⟨ a ⟩

$\langle a \rangle$

b = a^{i} \mod φ (N)

$b=a^i\mod \varphi(N)$

— जुआन बरमेजो वेगा

वास्तव में, यह किसी भी एबेलियन क्रमचय समूह के लिए है।

— माइकल ब्लोंडिन

मैं इन पत्रों पर एक नज़र डालूंगा और सब कुछ थोड़ा व्यवस्थित करने की कोशिश करूंगा। धन्यवाद।

— जुआन बर्मेजो वेगा

क्या आप इनपुट के एन्कोडिंग पर अधिक जानकारी प्रदान कर सकते हैं? इस तरह, मैं अपने उत्तर को बेहतर बनाने में सक्षम हो सकता हूं।

— माइकल ब्लॉन्डिन

समूह अपघटन इनपुट के रूप में (ये कई संख्याओं के साथ एक स्ट्रिंग होगा और मुझे लगता है कि लंबाई)। फिर, समूह का प्रत्येक तत्व फॉर्म और संख्याओं के एक टपल द्वारा दर्शाया जा सकता है। इसे संग्रहीत करने के लिए आपको बिट्स की आवश्यकता होगी। क्या यह इसका जवाब देता है?

A = Z_{d_{1}} \times Z_{d_{1}} \dots \times Z_{d_{N}}

$A=\mathbb{Z}_{d_1}\times\mathbb{Z}_{d_1}\ldots\times\mathbb{Z}_{d_N}$

(g_{1}, \dots, g_{n})

$(g_1,\ldots,g_n)$

n := ⌈ l o g_{2} | A | ⌉

$n:= \lceil log_2 |A|\rceil$

— जुआन बरमेजो वेगा

कुछ समय बाद, मैं एक शायद नहीं-इष्टतम लेकिन सरल एल्गोरिथ्म खोजने में कामयाब रहा जो यह साबित करता है कि समस्या की जटिलता बहुपद है।

कलन विधि

(क) ओर्थोगोनल उपसमूह की कंप्यूट एक पैदा सेट के । $H^{\perp}$ $H$

(b) जाँचें कि तत्व , का orthogonal है या नहीं । $b$ $H^{\perp}$

समस्याओं (ए) और (बी) के लिए कुशल क्लैसिकल एल्गोरिदम हैं (नीचे विश्लेषण देखें)। यह एक कुशल सदस्यता-परीक्षण देता है क्योंकि एक तत्व , लिए orthogonal है और यदि केवल । $b$ $H^\perp$ $h\in H$

विश्लेषण

ऑर्थोगोनल उपसमूह को के वर्ण समूह के माध्यम से परिभाषित किया गया है: मुख्य गुण: $H^{\perp}$ $G$

H^{⊥} := {g \in G : χ_{g} (h) = 1 \forall h \in H}

$H^{\perp}:= \{g\in G : \chi_g(h)=1\quad \forall h\in H \}$

$H^{\perp}$ का एक उपसमूह है । $G$
$H^{\perp^\perp}=H$

(क) के लिए एल्गोरिथम :

मैं [से एक एल्गोरिथ्म का पालन करें 1 मामूली बदलाव के साथ]। के अंतर्गत आता है यदि और केवल यदि सभी के लिए , लेकिन, linearity द्वारा यह दिखाने के लिए पर्याप्त है के लिए प्रत्येक जनरेटर । घातांक के संदर्भ में चरित्र का विस्तार (यहां मैं स्पष्ट रूप से चक्रीय कारक अपघटन का उपयोग करता हूं) यह स्थिति इन समीकरणों को हल करने के लिए, गणना करें यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म और संख्याओं का उपयोग कर $g$ $H^{\perp}$ $\chi_{g}(h)=1$ $h\in H$ $\chi_{b}(h_i)=1$ $H$

\begin{array}{rcl} \exp {2 π i (\frac{g (1) h_{i} (1)}{d_{1}} + \dots + \frac{g (m) h_{i} (m)}{d_{m}})} = 1 \end{array}

$\begin{eqnarray} \exp \left\lbrace 2\pi i \left( \frac{g(1)h_{i}(1)}{d_1}+\ldots + \frac{g(m) h_{i}(m)}{d_m} \right) \right\rbrace=1 \end{eqnarray}$

M := lcm (N_{1}, \dots, N_{d})

$M:= \text{lcm}(N_1,\ldots,N_d)$

α_{i} := M / d_{i}

$\alpha_i:=M/d_i$ । हम रेखीय मॉड्यूलर समीकरणों की एक प्रणाली के रूप में प्रत्येक लिए उपरोक्त शर्तों को फिर से लिख सकते हैं ।

i

$i$

(\begin{matrix} α_{1} h_{1} (1) & α_{2} h_{1} (2) & \dots & α_{m} h_{1} (m) \\ α_{1} h_{2} (1) & α_{2} h_{2} (2) & \dots & α_{m} h_{2} (m) \\ ⋮ & ⋮ & \dots & ⋮ \\ α_{1} h_{n} (1) & α_{2} h_{n} (2) & \dots & α_{m} h_{n} (m) \end{matrix}) (\begin{matrix} g (1) \\ g (2) \\ ⋮ \\ g (n) \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \end{matrix}) \begin{matrix} \mod M \\ \mod M \\ ⋮ \\ \mod M \end{matrix}

$\begin{pmatrix} \alpha_1 h_1(1) & \alpha_2 h_1(2) & \ldots & \alpha_m h_1(m)\\ \alpha_1 h_2(1) & \alpha_2 h_2(2) & \ldots & \alpha_m h_2(m)\\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots\\ \alpha_1 h_n(1) & \alpha_2 h_n(2) & \ldots & \alpha_m h_n(m) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} g(1)\\ g(2)\\ \vdots\\ g(n) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix} \begin{matrix} \mod M\\ \mod M\\ \vdots\\ \mod M \end{matrix}$ जैसा कि 1 में सिद्ध होता है , यदि हम नमूना इस प्रणाली के यादृच्छिक समाधान समीकरणों के अनुसार, हम का एक जेनरेटिंग सेट प्राप्त करेंगे जिसमें प्रायिकता एक करीब होगी ।

t + ⌈ \log | G | ⌉

$t+\lceil\log|G|\rceil$

H^{⊥}

$H^{\perp}$

p \geq 1 - 1 / 2^{t}

$p\geq 1 -1/2^{t}$

A X = 0 (\mod M)

$AX=0 \pmod M$ । यहाँ पूर्णांक modulo पर एक आयताकार मैट्रिक्स है जिसके लिए 2 में दिया गया एक एल्गोरिथ्म इसके स्मिथ सामान्य अपघटन को कुशलता से गणना करने की अनुमति देता है। एल्गोरिथ्म एक विकर्ण मैट्रिक्स और दो उल्टे मैट्रिक्स , ऐसे देता है कि । इस सूत्र का उपयोग समीकरणों की प्रणाली को साथ रूप में लिखा जा सकता है । अब यूक्लिड के एल्गोरिथ्म का उपयोग करके बेतरतीब ढंग से गणना करना संभव है , क्योंकि यह फॉर्म के समीकरणों की एक प्रणाली है । अंत में, कंप्यूटिंग

A

$A$

M

$M$

D

$D$

U

$U$

V

$V$

D = U A V

$D=UAV$

D Y = 0 (\mod M)

$DY=0 \pmod M$

X = V Y

$X=VY$

D Y = 0 (\mod M)

$DY=0\pmod M$

d_{i} y_{i} = 0 (\mod M)

$d_i y_i =0 \pmod M$

X = V Y

$X=VY$ एक वांछित के रूप में ऑर्थोगोनल समूह एक यादृच्छिक तत्व प्राप्त करता है ।

H^{⊥}

$H^{\perp}$

(बी) के लिए एल्गोरिदम :

जब से हम पहले से ही गणना करने के लिए कैसे की एक पैदा सेट पता , यह एक दिया तत्व अगर देखना आसान है कि के अंतर्गत आता है । सबसे पहले एक जेनरेटिंग-सेट of गणना । फिर, परिभाषा के अनुसार, , संबंधित है और यदि केवल , तो सभी जनरेटर के लिए है । चूंकि उनमें से एक ओ (बहुवचन ( )) संख्या है और यह हमारे द्वारा किए गए मॉड्यूलर अंकगणित का उपयोग करके कुशलता से किया जा सकता है। $H^{\perp}$ $b$ $H$ $\langle g_1,\ldots, g_s \rangle$ $H^{\perp}$ $b$ $H$ $\chi_{b}(g_i)=1$ $H^{\perp}$ $|G|$

— जुआन बरमेजो वेगा
स्रोत

यदि आपने माध्य समय में खोज की है तो अपना उत्तर जोड़ना ठीक है। हालाँकि, ऐसा लगता है कि आपको निर्णय लेने से पहले कुछ और जांच (अपनी टिप्पणी के आधार पर) करने की आवश्यकता है।

— सुरेश वेंकट

धन्यवाद। मैं इस बात पर चर्चा जारी रखना चाहूंगा कि क्या हम सब कुछ एक तस्वीर में रखेंगे। इसके अलावा, मुझे लगता है कि अधिक व्यावहारिक एल्गोरिदम हो सकता है जो पॉप-अप कर सकता है।

— जुआन बरमेजो वेगा