एक परिमित ग्रिड में लाइन और स्तंभ क्रमपरिवर्तन द्वारा कोशिकाओं को जोड़ना

Question

मैं यह जानना चाहता हूं कि क्या किसी समस्या के समाधान के पहले निम्न सरल समस्या का अध्ययन किया गया है या नहीं।

बता दें कि G एक परिमित (MxN) ग्रिड है, S, G की कोशिकाओं का एक सबसेट है ("crumbs")। दो टुकड़ों को (स्थानीय रूप से) कहा जाता है यदि उनके निर्देशांक एक से भिन्न होते हैं (यानी, यदि वर्ग के रूप में खींचा जाता है, तो वे कम से कम एक कोने बिंदु साझा करते हैं)।

अब, कोई भी ग्रिड की रेखाओं और स्तंभों को क्रमबद्ध करके टुकड़ों (उनके पूरे सेट के रूप में) को जोड़ने का प्रयास कर सकता है। दूसरे शब्दों में, लक्ष्य लाइनों के एक क्रमांकन और स्तंभों के एक क्रमांकन के साथ आना है ताकि परिणामस्वरूप ग्रिड में किसी भी दो crumbs (स्थानीय रूप से) जुड़े हुए टुकड़ों की एक श्रृंखला से जुड़े हों।

प्रश्न: क्या हमेशा कोई हल होता है?

मुझे नहीं पता कि इस पर हमला कैसे किया जाए। एक बेहतर विचार की कमी के लिए, मैंने एक कच्चा कार्यक्रम लिखा है जो जानवर के बल द्वारा समाधान की तलाश करता है (यह यादृच्छिक पर क्रमपरिवर्तन उत्पन्न करता है और जांचता है कि क्या परिणामस्वरूप ग्रिड इसके टुकड़ों से जुड़ा है)। कार्यक्रम में अब तक हमेशा स्मालिश (10x10 या 7x14) ग्रिड पर समाधान पाया गया है, और बड़ी ग्रिड स्पष्ट रूप से अपनी सरलीकृत रणनीति की पहुंच से बाहर हैं (यह एक समाधान में यादृच्छिक पर ठोकर खाने के लिए बहुत लंबा समय लगेगा)।

यहाँ कार्यक्रम द्वारा हल ग्रिड का एक उदाहरण है:

प्रारंभिक ग्रिड (टुकड़ों द्वारा एक्स द्वारा निरूपित किया जाता है, डॉट्स द्वारा रिक्त कोशिकाएं):

   0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
 0 X . X X . X . X X .
 1 X . . . . X . . . .
 2 . . X . . . . X . X
 3 . X . . X . X . . X
 4 . . . X . . . . . .
 5 X X . . . X X . X .
 6 . . . X . . . . X .
 7 X . X . . X . . . .
 8 X . . . X . . X X .

समाधान:

   6 1 4 7 8 2 9 3 5 0
 1 . . . . . . . . X X
 4 . . . . . . . X . .
 5 X X . . X . . . X X
 8 . . X X X . . . . X
 7 . . . . . X . . X X
 0 . . . X X X . X X X
 3 X X X . . . X . . .
 6 . . . . X . . X . .
 2 . . . X . X X . . .

स्वाभाविक रूप से, समस्या आसानी से किसी भी आयाम के लिए सामान्यीकृत हो सकती है d> 2. मुझे लगता है कि अन्य सामान्यीकरणों पर विचार किया जा सकता है।

अग्रिम में धन्यवाद,

यान डेविड

Comments

दिलचस्प समस्या। क्या कुछ आवेदन है?

— सुरेश वेंकट

@Tsuyoshi: आप सही हैं कि मैंने जो आंकड़ा पोस्ट किया है उसका एक समाधान (आपके द्वारा प्रदान किया गया) है। मैंने इसे मिटा दिया।

— मार्जियो डी बियासी

एक साथ क्रॉसपोस्ट हतोत्साहित किया जाता है। math.stackexchange.com/questions/83231/…

— त्सुयोशी इतो

Answer 1

आइए मेरे उत्तर के पहले संस्करण में एक और अधिक ध्यान से तर्क देने की कोशिश करें।

Q नॉनज़रोज़ के साथ 0-1 मैट्रिक्स के इनपुट को देखते हुए, पंक्तियों के एक क्रमांकन, स्तंभों के क्रमांकन और एक जुड़े हुए 0-1 मैट्रिक्स से एक "समाधान" को परिभाषित किया जाता है, जो क्रमपरिवर्तन करने के बाद आउटपुट के रूप में प्राप्त होता है। यहां महत्वपूर्ण अवलोकन यह है कि अधिकांश अलग-अलग आउटपुट मैट्रिसेस संभव हैं: एक बार जब हम से एक को नॉनज़रोज़ की स्थिति के लिए बनाते हैं, तो हम बाकी आउटपुट मैट्रिक्स को एन्कोड कर सकते हैं बिट्स में फैले हुए पेड़ का एक प्रीऑर्डर ट्रैवर्सल करके और पेड़ में प्रत्येक किनारे के लिए रिकॉर्डिंग करना कि क्या वह एक पत्ते पर जाता है, चाहे वह अपने माता-पिता से आखिरी छोर हो, और उसकी दिशा क्या है। तो समाधानों की संख्या कुल मिलाकर ।$n^2 2^{5q}$$n^2$$5q$$n^2 2^{5q} (n!)^2$

अब प्रत्येक समाधान केवल एकल इनपुट के लिए काम करता है, क्योंकि हम आउटपुट मैट्रिक्स से इनपुट वापस पाने के लिए क्रमपरिवर्तन को उलट सकते हैं। आदानों है कि वास्तव में की संख्या प्रति पंक्ति nonzeros है , और के लिए लगातार इस किया जा सकता पुनः। लेकिन लिए समाधानों की संख्या । के लिए , आदानों समाधान संख्या से बढ़ना, इसलिए वहाँ एक न सुलझा हुआ इनपुट है।$c$$\binom{n}{c}^n$$c$$\exp(cn\log n-O(n))$$q=cn$$\exp(2n\log n+O(cn))$$c>2$

Comments

सेट करना और शब्दों की अवहेलना करना, मैंने "असमान" बिंदु को खोजने के लिए आपकी असमानता का पीछा किया, । बाद का मूल्य उल्लेखनीय रूप से 26608 के करीब है।$c=3$$o(n)$$n > 6*2^{15}/e^2$

— हार्डमैथ

यह एक उत्सुक संख्यात्मक संयोग है। मैंने इसके बारे में mathoverflow.net/questions/81368/…

— David Eppstein

यह वास्तव में एक सुंदर और ठोस सबूत है। (मुझे अपने फायदे के लिए अनुमान लगाने के लिए थोड़ा समय लगा।) यह देखा जाना बाकी है कि क्या कोई ठोस प्रति-उदाहरण के साथ आने का प्रबंधन करेगा। @ हार्डमैथ की टिप्पणी से यह पता चलता है कि यह मुश्किल हो सकता है (सीई एक बदसूरत जानवर होगा); अब किसी को सीई की सभी पंक्तियों में समान संख्या में टुकड़ों की आवश्यकता नहीं है।

— यान डेविड