XORification का उपयोग

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XORification हर चर की जगह एक बूलियन फ़ंक्शन या फ़ॉर्मूला कठिन बनाने के लिए तकनीक है के XOR द्वारा अलग चर । $x$ $k\geq 2$ $x_1 \oplus \ldots \oplus x_k$

मैं मुख्य रूप से रिज़ॉल्यूशन-आधारित प्रूफ सिस्टम के लिए स्पेस लोअर सीमाएँ प्राप्त करने के लिए प्रूफ जटिलता में इस तकनीक के उपयोग से अवगत हूँ, जैसे कागजात में:

एली बेन-सासन। आकार अंतरिक्ष समाधान के लिए व्यापार। एसटीओसी 2002, 457-464।
एली बेन-सासन और जैकब नॉर्डस्ट्रॉम। प्रूफ जटिलता में अंतरिक्ष को समझना: पृथक्करण के माध्यम से पृथक्करण और व्यापार-अप। आईसीएस 2011, 401-416।

क्या अन्य क्षेत्रों में इस तकनीक के अन्य उपयोग हैं?

— जान जोहानसन
स्रोत

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यहाँ एक प्रासंगिक उदाहरण है जिसे हम वर्तमान में अपनी कक्षा में शामिल कर रहे हैं।

"स्टोरेज एक्सेस फंक्शन" को बिट्स पर परिभाषित किया गया है : $2^k+k$

$SA(x_1,...,x_{2^k}, a_1,...,a_k) = x_{bin(a_1 \cdots a_k)}$

जहां में अद्वितीय पूर्णांक है स्ट्रिंग के लिए इसी । $bin(a_1 \cdots a_k)$ $\{1,\ldots,2^k\}$ $a_1 \cdots a_k$

के बारे में आकार के सूत्रों है $SA$ $O(k \cdot 2^k)$ से अधिक और / या / नहीं: है के लिए सभी संभव के समूहों से अधिक -ANDs , चर ताकि ठीक एक समूह आउटपुट हर इनपुट पर। तब और प्रत्येक बिट इसी समूह के आउटपुट के साथ, या फिर इन सभी आउटपुट के साथ। $2^k$ $k$ $a_i$ $1$ $x_i$

हालांकि, निम्नलिखित "एसए XOR की" समारोह, पर आदानों, के बारे में की आवश्यकता है आकार के फार्मूले से अधिक और / या / नहीं: $2^{k+1}$ $2^{3k}$

। $SA(x_1,...,x_{2^k}, \bigoplus_{j=1}^{2^k/k} a_{1,j},..., \bigoplus_{j=1}^{2^k/k} a_{k,j}) = x_{bin(a_1 \cdots a_k)}$

इसे अक्सर साहित्य में "एंड्रीव का कार्य" कहा जाता है। हस्तेद ने साबित किया (एंड्रीव के तर्क के एक घटक में सुधार) कि क्यूबिक-आकार के सूत्र अनिवार्य रूप से आवश्यक हैं। (इसके लिए लगभग घन-आकार के फ़ार्मुलों को खोजना कठिन नहीं है।)

— रेयान विलियम्स
स्रोत

धन्यवाद रयान, ठीक उसी तरह की चीज जिसकी मुझे तलाश थी।

— जान जोहान्सन

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यह एक मामूली पहुंच हो सकती है, लेकिन कार्य को "कठिन" बनाने के लिए चीजों का एक समूह XOR'ing का विचार क्रिप्टोग्राफी में दिखाई देता है। यह पहली बार याओ की XOR लेम्मा की आड़ में दिखाई दिया । अगर एक से थोड़ा अप्रत्याशित यादृच्छिक चर, तो है है अगर बेहद अप्रत्याशित बड़ा पर्याप्त है, जहां है की स्वतंत्र हैं के ड्रॉ । $X$ $Y = X_1 \oplus X_2 \oplus \cdots \oplus X_k$ $k$ $X_i$ $X$

आजकल, यह तकनीक क्रिप्टो में काफी मानक है, आमतौर पर कमजोर निर्माण (प्रतिबद्धता योजना, अनजान हस्तांतरण प्रोटोकॉल, आदि) को मजबूत बनाने के लिए।

— mikero
स्रोत

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इस पोस्ट के पूरक के लिए: XOR नींबू हर जगह हैं। उदाहरण के लिए, इस पत्र और इसके संदर्भों को देखें: theoryofcomputing.org/articles/v004a007

— MCH

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k

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k

$k$

k

$k$

k

$k$