एक सबमॉड्यूलर फ़ंक्शन का विघटन

दिए गए एक फ़ंक्शन पर जहां और असंतुष्ट हैं और । यहाँ और पर submodular हैं और क्रमशः। $f$ $\Omega=X_1\cup X_2$ $X_1$ $X_2$ $f(S)=f_1(S\cap X_1)+f_2(S\cap X_2)$ $f_1$ $f_2$ $X_1$ $X_2$

यहां अज्ञात हैं और केवल लिए मान क्वेरी एक्सेस दी गई है। फिर एक पॉलीटाइम एल्गोरिथ्म है जो पाता है । यदि लिए कई विकल्प हैं, तो कोई भी ठीक होना चाहिए। $X_1,X_2,f_1,f_2$ $f$ $X_1$ $X_1$

कुछ विचार। हम किसी भी दो तत्व मिलते हैं, तो इस तरह दोनों है कि या तो से संबंधित या से संबंधित तो हम उन्हें मर्ज और रिकर्सिवली आगे बढ़ सकते हैं। लेकिन यह स्पष्ट नहीं है कि इस तरह के कदम को कैसे लागू किया जाए। $t_1,t_2$ $X_1$ $X_2$

ds.algorithms submodularity

— अश्विनकुमार बी.वी.
स्रोत

आप कहने के लिए क्या मतलब है कि जहां और पर submodular हैं और क्रमशः?

f (S) = f_{1} (S \cap X_{1}) + f_{2} (S \cap X_{2})

$f(S) = f_1(S \cap X_1) + f_2(S \cap X_2)$

f_{1}

$f_1$

f_{2}

$f_2$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

— चंद्रा चकुरी

हां, मेरा वास्तव में यही मतलब था। टाइपो को इंगित करने के लिए धन्यवाद, मैं इसे सही करूंगा।

— अश्विनकुमार बीवी

मुझे यकीन नहीं है कि मैं जो कहता हूं वह सही है लेकिन यहां विचार है। एक मनमाना तत्व । यदि तो बाकी तत्वों से प्रभावित नहीं है इसलिए हम और । अन्यथा एक समावेशी वार न्यूनतम उपसमुच्चय जैसे कि । तब ऐसा लगता है कि एक ही पार्टीशन में होना चाहिए और इसलिए हम सेट को एक एलिमेंट में सिकोड़ सकते हैं और अगर यह तुलना में बहुत छोटा है, तो इसे फिर से लगाएँ , अन्यथा हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि कोई वांछित विभाजन मौजूद नहीं है।

e \in Ω

$e \in \Omega$

f (e) = f_{Ω - e} (e)

$f(e) = f_{\Omega-e}(e)$

e

$e$

X_{1} = {e}

$X_1 = \{e\}$

X_{2} = Ω - {e}

$X_2 = \Omega-\{e\}$

X

$X$

Ω - e

$\Omega-e$

f (e) > f_{X} (e)

$f(e) > f_X(e)$

X \cup {e}

$X \cup \{e\}$

Ω

$\Omega$

— चंद्रा चकुरी

टिप्पणी को एक उत्तर देने का निर्णय लिया।

— चन्द्र चकुरी

एक मनमाना तत्व । यदि तो बाकी तत्वों से प्रभावित नहीं है इसलिए हम और । अन्यथा एक समावेशी वार न्यूनतम उपसमुच्चय जैसे कि । फिर एक ही पार्टीशन में होना चाहिए। यदि हम निष्कर्ष निकालते हैं कि कोई वांछित विभाजन नहीं है, अन्यथा हम इस सेट को एक ही तत्व में सिकोड़ते हैं और पुनः प्राप्त करते हैं। $e \in \Omega$ $f(e) = f_{\Omega-e}(e)$ $e$ $X_1 = \{e\}$ $X_2 = \Omega-\{e\}$ $X$ $\Omega-e$ $f(e) > f_X(e)$ $X \cup \{e\}$ $X \cup \{e\} = \Omega$

— चन्द्र चकुरी
स्रोत