सामान्य रेखांकन में 2 से कम सन्निकटन के साथ कम्प्यूटिंग दूरी?

$m = o(n^2)$ किनारों के साथ एक भारित अप्रत्यक्ष ग्राफ को देखते हुए , मैं किसी भी दिए गए जोड़े के बीच 2 से कम सन्निकटन की दूरी की गणना करना चाहूंगा। बेशक, मैं subquadratic स्पेस और sublinear क्वेरी समय का उपयोग करना चाहूंगा।

मुझे Zwick के परिणाम के बारे में पता है जो मैट्रिक्स गुणन का उपयोग करता है, लेकिन मैं उत्सुक हूं कि क्या कोई कॉम्बिनेटरियल एल्गोरिदम इस समस्या के लिए जाना जाता है?

ds.algorithms graph-algorithms

— सिद्धार्थ
स्रोत

हाय @ सिद्धार्थ, मुझे खेद है अगर यह एक गूंगा सवाल है: Zwick का परिणाम द्विघात स्थान का उपयोग करता है, क्या यह सही है?

— हिसियन-चीह चांग।

इसके अलावा, योगात्मक त्रुटि की अनुमति है?

— Hsien-Chih चांग।

@ Hsien-ChihChang 張顯 Chi - मैं केवल गुणात्मक सन्निकटन पर परिणामों में रुचि रखता था। मुझे लगता है कि सघन रेखांकन के लिए योजक सन्निकटन का मामला अपने आप में दिलचस्प हो सकता है। एक स्पैनर का उपयोग कर सकते हैं और घने पर्याप्त ग्राफ़ के लिए additive सन्निकटन प्राप्त कर सकते हैं। विरल रेखांकन के लिए, जहाँ तक मुझे पता है, स्पैनर्स मदद नहीं करेगा।

— सिद्धार्थ

G

$G$

n

$n$

m

$m$

1

$1$

2

$2$

Ω (m)

$\Omega(m)$

\log_{2} (\binom{N}{m})

$\log_2 \binom{N}{m}$

N = (\binom{n}{2})

$N=\binom{n}{2}$

\geq m \log_{2} (N / m)

$\geq m \log_2 (N/m)$

धन्यवाद सरिएल - यह संभव है कि एक कम कम बाउंड प्राप्त किया जाए लेकिन मैं इसके साथ ठीक हूं। मेरे पास सबकुछ है जो सबक्वैड्रिक स्पेस और सबलाइनर क्वेरी समय है। किनारों, साथ ग्राफ के लिए निचले बाउंड समस्या के लिए कुछ भी नहीं कहते हैं - क्या यह सही है?

Ω (m)

$\Omega(m)$

m = o (n^{2})

$m = o(n^2)$

Ω (m)

$\Omega(m)$

— सिद्धार्थ

जवाबों:

जहां तक मुझे पता है, सबक्ड्रैटिक स्पेस और सबलाइन क्वेरी समय में 2 से कम के अनुमानों की कंप्यूटिंग दूरी पर कोई प्रकाशित परिणाम नहीं है। अनुमानित दूरी को शीघ्रता से प्राप्त करने के लिए, आप बसवाना और कविता द्वारा "ऑल-पेयर अप्रोचिमेंट शॉर्टेस्ट पाथ्स के लिए तेज़ एल्गोरिदम" के परिणामों और संदर्भों को देखना चाह सकते हैं (उनके एफओसीएस पेपर के जर्नल संस्करण में संबंधित कार्यों की अच्छी समीक्षा है); इनमें से कोई भी उप-अंतरिक्षीय स्थान प्राप्त नहीं करता है।

अनुमानित दूरी को कॉम्पैक्ट रूप से प्राप्त करने के लिए, आप उपरोक्त दो पेपरों में परिणाम और संदर्भ देखना चाह सकते हैं। [गैबोर के उत्तर के अतिरिक्त, सावधानी का एक शब्द: उपरोक्त कागजात में विरलता की धारणा के बारे में सावधान रहें - सन्निकटन , एक ग्राफ विरल माना जाता है यदि , जैसा कि आप शायद पहले से ही जानते हैं]। $2$ $m = o(n^2)$

के रूप में Sariel ऊपर टिप्पणियों में से एक, में बताया एक प्राकृतिक कंप्यूटिंग सन्निकटन की दूरी से भी कम समय के लिए अंतरिक्ष पर बाध्य कम है , कि है, ग्राफ के आकार में रैखिक। यदि क्वेरी समयबद्ध नहीं है, तो इस निचली सीमा में सुधार नहीं किया जा सकता है (तुच्छ रूप से, कोई भी ग्राफ़ को संग्रहीत करके कम से कम पथ एल्गोरिथम का उपयोग कर सकता है)। लगातार क्वेरी समय के लिए, मुझे दो निचले सीमा का पता है। सबसे पहले, Patrascu और Roddity के पास उनके FOCS 2010 के पेपर में कुछ सशर्त कम सीमाएं थीं जो से कम के लिए लागू होती हैं । दूसरा, सोमेर एट। अल। अत्यंत विरल रेखांकन के लिए कुछ निचली सीमाएँ थीं। मैं किसी अन्य (गैर-तुच्छ) निचले सीमा से अवगत नहीं हूं। $2$ $\Omega(m)$ $2$

ऊपरी सीमा के संदर्भ में, उपरोक्त कागजात के परिणाम से कम सन्निकटन के लिए सामान्यीकृत नहीं लगते हैं । हमने हाल ही में इस समस्या पर कुछ प्रगति की है। पेपर जल्द ही ArXiv पर होना चाहिए, लेकिन यदि आप चाहें, तो मुझे एक ई-मेल भेजें और मुझे पेपर साझा करने में खुशी होगी। $2$

उम्मीद है की यह मदद करेगा।

~ रचित अग्रवाल

— Rachit
स्रोत

आपको रचित अग्रवाल के 2011 के इन्फोकॉम पेपर में दिलचस्पी हो सकती है:

रचित अग्रवाल, पी। ब्राइटन गॉडफ्रे, सरीएल हर-पेलेड अनुमानित दूरी प्रश्न और विरल रेखांकन में कॉम्पैक्ट रूटिंग, आईईईई इन्फोकॉम 2011

अमूर्त से:

[] औसत डिग्री साथ ग्राफ के लिए , हमारी डेटा संरचनाओं के विशेष मामलों में स्पेस के साथ 2 रास्तों को पुनः प्राप्त किया जाता है [...] की कीमत पर क्वेरी समय। $\Theta(\log n)$ $O(n^{3/2})$ $O(\sqrt{n})$

ध्यान दें कि उनकी दूरी का तात्पर्य केवल विरल रेखांकन के लिए है, लेकिन लॉगरिदमिक डिग्री बाध्य है। जोड़ा गया बोनस, एल्गोरिथ्म भारित रेखांकन के लिए भी काम करता है।

— गाबोर रिटवारी
स्रोत

तुम भी एक नज़र रखना चाहते हो सकता है

Pătraşcu, Roditty, Thorup से परे दूरी Oracles - Zwick बाउंड , FOCS 2010

उनके पास खिंचाव के साथ आकार की दूरी का एक ओरेकल है । यह निरंतर समय में प्रश्नों का समर्थन करता है। $O(n^{5/3})$

— zotachidil
स्रोत

धन्यवाद! अग्रवाल और मिहाई का पेपर सन्निकटन के बारे में "2" से कम कुछ भी नहीं कहता है, जब तक कि मैं कुछ याद नहीं करता।

— सिद्धार्थ

यह नहीं है, लेकिन यह आपको एक विचार दे सकता है कि खिंचाव को सुधारने के लिए ट्रेड-ऑफ कैसे प्राप्त किया जाए।

— zotachidil