क्या प्रेरण के बिना एक तर्क है जो पी के बहुत सारे को कैप्चर करता है?

Question

Immerman-वर्दी प्रमेय कहा गया है कि PTIME (या पी) ठीक भाषाओं के वर्ग प्रथम क्रम तर्क की सजा द्वारा वर्णित है कि किया जा सकता है एक साथ एक निश्चित बिंदु ऑपरेटर के साथ, आदेश दिया संरचनाओं के वर्ग खत्म हो गया है। फिक्स्ड-पॉइंट ऑपरेटर या तो कम से कम फिक्स्ड-पॉइंट हो सकता है (जैसा कि इमर्मन और वर्डी द्वारा माना जाता है), या मुद्रास्फीति-निर्धारित फिक्स्ड-पॉइंट। (स्टीफ़न Kreutzer, कम से कम का अभिव्यंजक तुल्यता और मुद्रास्फीति निश्चित बिंदु तर्क , शुद्ध के इतिहास और एप्लाइड तर्क 130 61-78, 2004)।

यूरी गुरेविच ने अनुमान लगाया कि थ्योरिटिकल कंप्यूटर साइंस में करंट ट्रेंड्स में PTIME ( लॉजिक एंड चैलेंज ऑफ कंप्यूटर साइंस) को कैप्चर करने का कोई तर्क नहीं है , एडऑन बोएगर, 1-57, कंप्यूटर साइंस प्रेस, 1988), जबकि मार्टिन ग्रोह ने कहा है। कम यकीन ( एक तर्क कैप्चरिंग पीटीटाइम , एफओसीएस 2008 के लिए क्वेस्ट )।

फिक्स्ड-पॉइंट ऑपरेटर रिकर्सन की शक्ति को पकड़ने के लिए है। फिक्स्ड-पॉइंट शक्तिशाली हैं, लेकिन यह मेरे लिए स्पष्ट नहीं है कि वे आवश्यक हैं।

क्या कोई ऑपरेटर X है जो फिक्स्ड-पॉइंट्स पर आधारित नहीं है, जैसे कि FOL + X PTIME के ​​बड़े (बड़े) टुकड़े को पकड़ लेता है?

संपादित करें: जहां तक ​​मैं समझता हूं, रैखिक तर्क केवल उन संरचनाओं के बारे में बयान दे सकते हैं जिनके पास काफी प्रतिबंधक रूप हैं। मैं आदर्श रूप से एक संदर्भ, या एक स्केच देखना चाहता हूं, एक तर्क जो संबंधपरक संरचनाओं के मनमाने सेट के गुणों को व्यक्त कर सकता है, जबकि अभी भी निश्चित बिंदुओं से बच रहा है। अगर मैं रेखीय तर्क की अभिव्यंजक शक्ति के बारे में गलत हूं तो एक सूचक या संकेत का स्वागत किया जाएगा।

Comments

"तर्क" से मेरा मतलब है कि ग्रोह का अर्थ है: शब्दावली पर वाक्यों का एक निर्णायक सेट, और एक संबंध "परिमित संरचनाओं और वाक्यों के बीच" का एक मॉडल है, इस संपत्ति के साथ कि एक वाक्य के मॉडल का सेट हमेशा समरूपता के तहत बंद होता है ।

— आंद्र सलामन

Cstheory.stackexchange.com/questions/174/… को इस सवाल के लिए भी देखें कि क्या कोई तर्क है जो PTIME को पकड़ता है।

— आंद्र सलाम

लीनियर लॉजिक एक प्रोपोजल लॉजिक है जिसमें क्लासिकल प्रपोजल लॉजिक होता है। इसे क्वांटिफायर की अनुमति देने के लिए बढ़ाया जा सकता है। लेकिन अगर मुझे सही ढंग से याद है कि रैखिक तर्क (प्रपोजल) और जटिलता वर्गों के बीच का संबंध ग्रोह के दिमाग में क्या है, तो कम से कम मैं यह नहीं देखता कि परिमित संरचनाओं पर प्रश्नों के रैखिक तर्क को कैसे जोड़ा जाए।

— केवह

रेखीय तर्क पर निर्मित सिद्धांत हैं, जैसे कि टेरुई के लाइट अफाइन सेट थ्योरी, जिनके पास संपत्ति है कि एक फ़ंक्शन को इसमें कुल साबित किया जा सकता है, यदि और केवल यदि फ़ंक्शन बहुपद समय में गणना योग्य हो। Citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.99.730

— नील कृष्णास्वामी

Kaveh, यही कारण है कि मैंने स्लिमन को इनाम दिया। एक अधिक विस्तृत जवाब अभी भी अच्छा होगा।

— आंद्र सलाम

Answer 1

आप चाहते हैं कि कुछ लोग ग्रैडल के प्रमेय को देखें। आप इसे पापादिमित्रिउ की पुस्तक "कम्प्यूटेशनल कॉम्प्लेक्सिटी" (यह पृष्ठ 176 में प्रमेय 8.4) या ग्रैडल के मूल पेपर में पा सकते हैं ।

संक्षेप में, ग्रैडल का प्रमेय पी के लिए है जो फागिन का प्रमेय एनपी को है। यह बताता है कि एक उत्तराधिकारी संबंध के साथ परिमित संरचनाओं के वर्ग पर, बहुपद-समय के निर्णायक गुणों का संग्रह मौजूद-क्रम तर्क के हॉर्न-टुकड़े में उन अभिव्यक्तियों के साथ मेल खाता है। ये फॉर्म के दूसरे-क्रम तर्क के वाक्य हैं जहां दूसरे क्रम के संबंध चर का अनुक्रम है , प्रथम-क्रम चर का एक अनुक्रम है, और एक क्वांटिफायर-मुक्त सूत्र है, जो CNF रूप में लिखे जाने पर, -HHH क्लॉज का संयोजन होता है (यानी क्लॉज जो में वैरिएबल को शामिल करने वाले अधिकांश गैर-नकारात्मक परमाणु है )।

$$(\exists R)(\forall x)(\phi)$$ $R$$x$$\phi$$R$$R$

Comments

उफ़, अब जब मैंने आपके प्रश्न को दोबारा पढ़ा तो मुझे महसूस हुआ कि यह पिछले संस्करण से थोड़ा अलग है। अब आप एक ऑपरेटर X की मांग करते हैं ताकि FOL + X P का एक बड़ा टुकड़ा पकड़ ले। उस स्थिति में आपको Dawar के <a href=" logcom.oxfordjournals.org/content/5/2/…> पर एक नज़र डालनी चाहिए । " दिखाता है कि अगर पी के लिए कोई तर्क है, तो सामान्यीकृत क्वांटिफायर के साथ

— एफओएल का

मुझे यह जोड़ना चाहिए कि नग्न संरचनाओं पर अस्तित्वगत दूसरे क्रम के तर्क का हॉर्न-टुकड़ा कमजोर है: नग्न संरचनाओं के साथ एलएफपी का एक उचित उपसमूह। हमें ग्रैडल की प्रमेय प्राप्त करने के लिए उत्तराधिकारी की आवश्यकता है। डावर का परिणाम नग्न संरचनाओं के लिए है।

— 18

Answer 2

जहां तक ​​मैं समझता हूं, रैखिक तर्क केवल उन संरचनाओं के बारे में बयान दे सकते हैं जिनके पास काफी प्रतिबंधक रूप हैं। मैं आदर्श रूप से एक संदर्भ, या एक स्केच देखना चाहता हूं, एक तर्क जो संबंधपरक संरचनाओं के मनमाने सेट के गुणों को व्यक्त कर सकता है, जबकि अभी भी निश्चित बिंदुओं से बच रहा है। अगर मैं रेखीय तर्क की अभिव्यंजक शक्ति के बारे में गलत हूं तो एक सूचक या संकेत का स्वागत किया जाएगा।

यह सही नहीं है: सभी अवशिष्ट कम्यूटेटेड मोनोएडल लैटिस रैखिक तर्क के मॉडल हैं। यहाँ परिमित रेखांकन से इस तरह की जाली बनाने का एक आसान तरीका है। सेट से शुरू करें

$$M = \{(g, n) \;|\; g\mbox{ is a finite graph and }n \subseteq \mathrm{nodes}(g)\}$$

तो हमारा मजबूर संबंध , और अंतर्ज्ञान यह है कि , सूत्र द्वारा "स्वामित्व" नोड्स का सेट है । एक आंशिक ऑपरेशन तक परिभाषित: $(g,n) \models \phi$$n$$\phi$$(\cdot) : M \times M \to M$

$$(g,n) \cdot (g',n') = \left\{\begin{array}{ll} (g, n \uplus n') & \mbox{when } g = g' \land n \cap n' = \emptyset \\ \mathrm{undefined} & \mbox{otherwise} \end{array}\right.$$

यह दो तत्वों को उनके स्वामित्व वाले सेटों को मर्ज करके जोड़ती है, यदि ग्राफ़ समान हैं और स्वामित्व सेट असम्बद्ध हैं।

अब, हम रैखिक तर्क का एक मॉडल निम्नानुसार दे सकते हैं:

$$\begin{array}{lcl} (g,n) \models I & \iff & n = \emptyset \\ (g,n) \models \phi \otimes \psi & \iff & \exists n_1,n_2.\; n = n_1 \uplus n_2 \mbox{ and } (g,n_1) \models \phi \mbox{ and } (g,n_2) \models \psi \\ (g,n) \models \phi \multimap \psi & \iff & \forall n'.\; \mbox{if } n \cap n' = \emptyset \mbox{ and } (g,n') \models \phi \mbox{ then } (g,n \uplus n') \models \psi \\ (g, n) \models \top & \iff & \mbox{always} \\ (g,n) \models \phi \land \psi & \iff & (g,n) \models \phi \mbox{ and } (g,n) \models \psi \end{array}$$

यह मॉडल वास्तव में जुदाई लॉजिक में इस्तेमाल किया जाने वाला एक प्रकार है, जो कि ढेर-हेरफेर कार्यक्रमों के सत्यापन में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। (यदि आप चाहें, तो ग्राफ को ढेर के सूचक संरचना के रूप में सोचें, और सादृश्य सटीक है!)

यह वास्तव में रैखिक तर्क के बारे में सोचने का सही तरीका नहीं है, हालांकि: इसके वास्तविक अंतर्ज्ञान प्रमाण-सिद्धांत हैं, और जटिलता का संबंध कट-उन्मूलन प्रमेय के कम्प्यूटेशनल जटिलता के माध्यम से आता है। लीनियर लॉजिक का मॉडल सिद्धांत इसके प्रूफ सिद्धांत द्वारा डाली गई छाया है।

Comments

उपरोक्त मॉडल में ग्राफ संरचना क्या भूमिका निभाती है? उपरोक्त परिभाषा ठीक काम करने लगती है अगर हम कहते हैं कि जी असतत रेखांकन से अधिक है।

— चार्ल्स स्टीवर्ट

चूंकि बीआई / रैखिक तर्क का एक मॉडल देने के लिए किसी भी (आंशिक) कम्यूटेटिव मोनॉयड का उपयोग किया जा सकता है, इसलिए ग्राफ संरचना का उपयोग और व्याख्या करने के लिए नहीं किया जाता है - यह केवल परमाणु प्रस्तावों के लिए मायने रखता है। उदाहरण के लिए, जुदाई तर्क में, एक "अंक-से" परमाणु प्रस्ताव , जिसे हम व्याख्या करने के लिए सूचक संरचना का उपयोग करते हैं। $\otimes$$\multimap$$n \mapsto n'$

— नील कृष्णस्वामी

Answer 3

PTIME को कैप्चर करने वाले तर्क की खोज से संबंधित हाल के रोमांचक परिणाम हैं। कै, फ़्यूरर और इमरमन द्वारा प्रसिद्ध उदाहरण जो दिखा रहा है कि एलएफपी + सी, पीटीआईईएम को कैप्चर नहीं करता है, हालांकि रेखांकन के एक कृत्रिम रूप से कृत्रिम वर्ग पर आधारित था। बेशक, इसका निर्माण एलएफपी + सी के प्रतिबंधों के प्रदर्शन के विशेष कार्य के लिए किया गया था। केवल हाल ही में डावर द्वारा यह दिखाया गया था कि वर्ग बिल्कुल भी कृत्रिम नहीं है। इसे इस तथ्य के लिए एक उदाहरण के रूप में देखा जा सकता है कि LFP + C रैखिक समीकरण प्रणालियों को हल नहीं कर सकता है!

इसलिए , डावर, ग्रोह, होल्म और लॉबनर ने रैखिक बीजगणित के ऑपरेटरों द्वारा लॉजिक्स का विस्तार किया, उदाहरण के लिए एक ऑपरेटर द्वारा एक निश्चित मैट्रिक्स की रैंक को परिभाषित करना। परिणामस्वरूप तर्क LFP + रैंक LFP + C से अधिक सख्ती से व्यक्त कर सकता है, वास्तव में, कोई ज्ञात PTIME संपत्ति नहीं है जिसे LFP + रैंक व्यक्त नहीं कर सकता है।

यहां तक ​​कि एफओ + आरके आश्चर्यजनक रूप से शक्तिशाली है, यह नियतात्मक और सममिति सकर्मक बंद को व्यक्त कर सकता है। यह अभी भी खुला है कि क्या यह एक ग्राफ के सामान्य सकर्मक समापन को व्यक्त कर सकता है।

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ध्यान दें कि हाल ही में एंडरसन / डावर / होल्म ने दिखाया कि FP + C रैखिक प्रोग्रामिंग ( arxiv.org/abs/1304.6870 ) को व्यक्त कर सकता है । यह "एफपी + सी की रेखीय समीकरण प्रणाली को हल नहीं कर सकता है" की तर्ज पर डावर के पहले के परिणाम की व्याख्या को कमजोर करता है; डावर ने केवल यह दावा किया कि कुछ "प्राकृतिक समस्याएँ जिनमें रेखीय समीकरणों की प्रणालियाँ शामिल हैं, इस तर्क में निश्चित नहीं हैं" जिसके साथ उन्हें लगता है कि रैंक की गणनाएँ हैं।

— आंद्र सलाम

Answer 4

यवेस लाफोंट द्वारा "कैप्चर," सॉफ्ट लीनियर लॉजिक और पॉलीनोमियल टाइम के हिसाब से आपका मतलब क्या हो सकता है, इस पर निर्भर करता है । इस तर्क और PTIME एल्गोरिदम में सबूत के लिए 1-1 पत्राचार है जो इनपुट और आउटपुट 0 या 1 के रूप में एक स्ट्रिंग लेते हैं।

रैखिक तर्क पर विकिपीडिया लेख यहाँ है । यह कोई फ़िक्स पॉइंट तर्क नहीं है। " बूलियन अल्जेब्रा के बजाय " अल्जेब्रा के ऊपर शास्त्रीय तर्क का अंतर्ज्ञान मेरे लिए सबसे आसान है।$C^*$

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मुझे लगता है कि एन्द्रेस वर्णनात्मक जटिलता के अर्थ में एक तर्क चाहता है।

— केवह

Answer 5

इस समस्या पर कुछ पुराने काम, फिर से लीनियर लॉजिक नस में है, जीन-यवेस गिरार्ड, आंद्रे स्काडरोव, और फिलिप स्कॉट। बाउंडेड लीनियर लॉजिक: बहुपद-समय संगणना के लिए एक मॉड्यूलर दृष्टिकोण। सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान, 97 (1): 1-66, 1992।

हाल ही के काम में बाउंडेड लीनियर लॉजिक, उवि दल लागो और मार्टिन हॉफमैन द्वारा पुनरीक्षित शामिल हैं ।