क्या हम ट्रांसफ़ेक्ट ऑर्डिनल पर इंडक्शन द्वारा सिस्टम एफ के लिए कमजोर सामान्यीकरण साबित कर सकते हैं

Question

सरल टाइप लैम्ब्डा पथरी साबित किया जा सकता (ट्यूरिंग) पर प्रेरण द्वारा लिए कमजोर सामान्य $\omega^2$ । प्राकृतिक संख्या (Gentzen) पर साथ विस्तारित लैम्ब्डा कैलकुलस में पर प्रेरण द्वारा एक कमजोर सामान्यीकरण रणनीति है ।$\epsilon_0$

सिस्टम एफ (या कमजोर) के बारे में क्या? क्या इस शैली में कमजोर सामान्यीकरण प्रमाण है? यदि नहीं, तो क्या यह बिल्कुल किया जा सकता है?

Comments

यह शायद पर्याप्त अभिव्यक्ति के साथ हर संगत (गणनीय) सिद्धांत है कि टिप्पणी करने के लिए उपयोगी है "एक" प्रमाण-सैद्धांतिक की तुलना में कम क्रमसूचक छोटी से छोटी गणनीय क्रमसूचक जो provably दिया सिद्धांत रूप में अच्छी तरह से स्थापित नहीं है के रूप में परिभाषित। ट्रिक उस ऑर्डिनल का वर्णन "प्राकृतिक" तरीके से कर रही है। $\omega_{\mathrm{CK}}$

— कोड़ी

Answer 1

रचनात्मक प्रूफ थ्योरी (जो कि रचनात्मक ऑर्डिनल्स के सिद्धांत के करीब से जुड़ा हुआ है) और दूसरे क्रम के अप्रत्यक्ष अंकगणितीय (जो उलरिक बताते हैं कि सिस्टम एफ के लिए ताकत के बराबर है) के बीच संबंधों का सबसे व्यापक सर्वेक्षण गिरार्ड (1989) है। वहाँ उन्होंने अपने सिद्धांत (१ ९ his१) के सिद्धांत पर निर्माण किया, जिसका मैं वास्तव में पालन नहीं करता, लेकिन मुझे लगता है कि अनिवार्य रूप से उच्च-क्रम वाले स्कोलेमीसेशन का एक गैर-अवरोधक सिद्धांत प्रदान करता है।

मेरी समझ है कि आप व्यक्त नहीं कर सकते है सूत्रों रचनात्मक बिशप-Martin-LOF अर्थ में, क्योंकि वे एक तरह से आप पहले क्रम प्रेरण योजना के किसी भी प्रकार जोड़कर को खत्म नहीं कर सकते में impredicative हैं।$\Sigma^1_2$

मुझे याद है कि एक ऑर्डिनल सिद्धांतकार का सुझाव है कि कोई बस यह कह सकता है कि आप पॉलिमोर्फिक लैम्ब्डा कैलकुलस के आधार पर एक प्रकार के सिद्धांत में एक impredicative constructivism को ग्राउंड कर सकते हैं, और सिस्टम एफ के लिए गिरार्ड एसएन प्रूफ से कमी उम्मीदवार तकनीक का उपयोग करके एक उचित कुल ऑर्डर लगा सकते हैं। निर्माण के ब्रह्मांड, इस अध्यादेश से आपको मिलने वाली समतुल्य कक्षाओं को बुलाते हैं; उसने कुछ बुद्धिमान कहा, जो मैंने कहा कि आप काम करने के लिए मिल सकते हैं, लेकिन यह ईमानदार शौचालय पर चोरी के सभी फायदे होंगे। इसे काम पर लाने के लिए, यह पर्याप्त नहीं है कि आप इस तरह के अध्यादेशों के अस्तित्व को निर्धारित सिद्धांत में साबित कर सकते हैं, आपको आदेश के लिए ट्रायकोटॉमी के रचनात्मक प्रमाण की आवश्यकता होगी।

संक्षेप में, बिशप-मार्टिन-लोफ के कारण अंतर्ज्ञान निर्माण की नियमित धारणा के साथ, जिस साहित्य को मैं दृढ़ता से जानता हूं वह नहीं है। यदि आप ईमानदार शौचालयों से प्रभावित हैं और एक अनुकरणीय निर्माणवाद को गले लगाएंगे, तो मेरा अनुमान है कि यह शायद किया जा सकता है। आपको स्वाभाविक रूप से, एक मजबूत सिद्धांत की आवश्यकता होगी जो सिस्टम एफ रचनात्मक ट्राइकोटॉमी को रचनात्मक रूप से साबित करने के लिए हो, लेकिन पथरी का प्रेरक निर्माण एक स्पष्ट उम्मीदवार प्रदान करता है।

संदर्भ

1. गिरार्ड, ज्यां यवेस (1981), -logic। I. Dilators, गणितीय की वार्षिक तर्क 21 (2): 75-219।$\Pi^1_2$
2. गिरार्ड (1989) सबूत सिद्धांत और तार्किक जटिलता, वॉल्यूम। मैं , नापोली: बिब्लियोपोलिस। कोई आयतन II नहीं है।

Answer 2

$\Pi^0_2$$\omega^2$

$\varepsilon_0$$\Gamma_0$

उम्मीद है कि एक दिन कोई व्यक्ति दूसरे क्रम के अंकगणित के लिए क्रमिक संकेतन के साथ आएगा जिसे सभी सहमत होंगे कि यह स्वाभाविक है, और फिर सिस्टम एफ के लिए कमजोर सामान्यीकरण को साबित करने के लिए एक ईमानदार तरीके से इस्तेमाल किया जा सकता है।

Answer 3

$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$

इसके अलावा, मुझे लगता है कि दूसरा क्रम अंकगणित काफी मजबूत है और यह कि कोई भी रचनात्मक ऊपरी सीमा अभी तक अपने "प्रूफ थियेट्रिक ऑर्डिनल" ( क्रमिक विश्लेषण की कला, खंड 3 ) के लिए नहीं जानी जाती है ।

मुझे लगता है कि यह रचनात्मक नियम बाध्य है जो आपके द्वारा अनुरोध किए जाने वाले प्रेरण को करने के लिए आवश्यक है।