अंक को ऐसे क्रमबद्ध करना कि लगातार बिंदुओं के बीच न्यूनतम यूक्लिडियन दूरी अधिकतम हो

Question

एक 3 डी कार्टेशियन स्पेस में बिंदुओं के एक सेट को देखते हुए, मैं एक एल्गोरिथ्म की तलाश कर रहा हूं जो इन बिंदुओं को सॉर्ट करेगा, जैसे कि लगातार दो बिंदुओं के बीच न्यूनतम यूक्लिडियन दूरी को अधिकतम किया जाएगा।

यह भी फायदेमंद होगा अगर एल्गोरिथ्म में लगातार बिंदुओं के बीच एक उच्च औसत यूक्लिडियन दूरी की ओर झुकाव होगा।

Comments

क्रॉसपोस्टेड , प्रेरणा ।

— जुका सुओमेला

अड़चन TSP के अधिकतमकरण संस्करण की तरह लगता है । या सबसे लंबे पथ की समस्या का टोंटी संस्करण । इसका कोई नाम है?

— जुका सुओमेला

मैं gonzalez k- क्लस्टरिंग heuristic (लालची रणनीति) का उपयोग करने की सलाह दूंगा। यह पूरी तरह से सोचने के बिना, ऐसा लगता है कि यह एक 2-सन्निकटन उपज चाहिए?

— सुरेश वेंकट

दुर्भाग्य से, जैसा कि कहा गया है, गोंजालेज एक अच्छा जवाब नहीं देगा (अंकों पर -100,0), (99,0) और (100,0) पर विचार करें। यदि हम उदाहरण के लिए गलत बिंदु (-100,0) पर शुरू करते हैं, तो हमें एक भयानक उत्तर मिलता है। यह अभी भी संभव है कि हर बिंदु से गोंजालेज चल रहा है और सबसे अच्छा जवाब लेना काम करेगा।

— सुरेश वेंकट

Answer 1

ईटीए: नीचे सब कुछ कागज पर है " अधिकतम तितर बितर टीएसपी पर ", आर्किन एट अल, सोडा 1997।

मुझे सटीक उत्तरों के बारे में नहीं पता है, लेकिन यहां एक और दृष्टिकोण है जो गोंजालेज क्लस्टरिंग के सुरेश के सुझाव से थोड़ा अलग है:

सादगी के लिए मान लें कि सम है। प्रत्येक शीर्ष , दूरी का माध्यिका । एक अप्रत्यक्ष ग्राफ को तैयार करें जिसमें हर वर्टीकल अन्य कोने से जुड़ा हो जो कम से कम मध्य दूरी पर हों। इस ग्राफ में न्यूनतम डिग्री कम से कम , इसलिए डीरेक के प्रमेय द्वारा इस ग्राफ में हैमिल्टन चक्र की खोज संभव है।p n - 1 d ( p , q ) p n /$n$$p$$n-1$$d(p,q)$$p$$n/2$

दूसरी ओर, त्रिज्या साथ पर केन्द्रित डिस्क में कोने हैं, चक्र में एक स्वतंत्र सेट बनाने के लिए बहुत सारे हैं, इसलिए किसी भी हैमिल्टन चक्र को एक किनारे से जोड़ना होगा इनमें से कुछ दो छोरों की लंबाई । इसलिए, इस एल्गोरिथ्म द्वारा पाया गया हैमिल्टन चक्र अड़चन अधिकतम चक्र के लिए सबसे खराब 2-सन्निकटन है।p d ( p , q ) 2 d ( p , q $n/2 + 1$$p$$d(p,q)$$2d(p,q)$

यह किसी भी मीट्रिक स्थान में काम करेगा, और एल्गोरिदम के बीच इष्टतम सन्निकटन अनुपात देता है जो किसी भी मीट्रिक स्थान में काम करता है। के लिए, यदि आप दो के एक कारक के भीतर की तुलना में बेहतर अनुमान लगा सकते हैं तो आप हैमिल्टनियन चक्र की समस्याओं को हल कर सकते हैं, हेमिल्टनियन चक्र की समस्या के इनपुट ग्राफ को कम करके, प्रत्येक ग्राफ के लिए दूरी 2 के साथ दूरी 2 में और हर गैर के लिए दूरी 1 के साथ। -edge।

संभवतः कुछ देखभाल के साथ आप इसे चक्र के बजाय पथों के लिए एक सन्निकटन एल्गोरिथ्म में मालिश कर सकते हैं।

Comments

क्या यह मानने का कोई कारण है कि यूक्लिडियन मामले में कोई पीटीएएस नहीं है?

— जुका सुओमेला

कोई कारण नहीं जो मुझे पता हो। लेकिन यूक्लिडियन नेटवर्क डिजाइन समस्याओं के लिए सामान्य पीटीएएस विधियां केवल न्यूनतमकरण के लिए काम करती हैं, अधिकतमकरण के लिए नहीं।

— डेविड एप्पस्टीन

एक अपवाद है कि मुझे पता है कि विमान में ओरिएंटियरिंग के लिए एक पीटीएएस पर चेन और हर-पेलेड का पेपर है। यह एक अधिकतम समस्या है।

— चंद्रा चकुरी

हमने एक प्रीप्रिंट अपलोड किया है जो इस प्रश्न को संबोधित करता है, यानी यूक्लिडियन मामले में अधिकतम तितर बितर TSP के लिए PTAS देता है। arxiv.org/abs/1512.02963 (László Kozma, Tobias Mömke: एक PTAS यूक्लिडियन अधिकतम स्कैटर TSP के लिए)

— László Kozma

Answer 2

हमने एक प्रीप्रिंट अपलोड किया है जो इस प्रश्न को संबोधित करता है, यानी यूक्लिडियन मामले में अधिकतम तितर बितर TSP के लिए PTAS देता है। http://arxiv.org/abs/1512.02963 (László Kozma, Tobias Mömke: A PTAS फॉर यूक्लिडियन अधिकतम स्कैटर TSP)