सैट से संबंधित एक टोपोलॉजिकल स्पेस: क्या यह कॉम्पैक्ट है?

Question

Satisfiability समस्या सैद्धांतिक सीएस में एक मौलिक समस्या निश्चित रूप से, है। मैं असीम रूप से कई चर के साथ समस्या के एक संस्करण के साथ खेल रहा था। $\newcommand{\sat}{\mathrm{sat}} \newcommand{\unsat}{\mathrm{unsat}}$

बुनियादी ढांचा। मान लें कि एक गैर-रिक्त और संभवतः चर का अनंत सेट है । एक शाब्दिक या तो एक चर या इसके ऋणात्मक \ नकारात्मक x है । एक खंड ग की एक अलगाव है परिमित शाब्दिक की संख्या । अंत में, हम एक सूत्र एफ को खंडों के एक समूह के रूप में परिभाषित करते हैं ।$X$¬ एक्स सी$x \in X$$\neg x$$c$$F$

$X$ का असाइनमेंट एक फ़ंक्शन $\sigma : X \to \{0,1\}$ । जब कोई असाइनमेंट $\sigma$ क्लॉज़ को संतुष्ट करता है, तो मैं स्पष्ट रूप से स्थिति को परिभाषित नहीं करूंगा ; यह थोड़ा बोझिल है, और मानक सैट जैसा ही है। अंत में, एक असाइनमेंट एक सूत्र को संतुष्ट करता है अगर यह हर घटक खंड को संतुष्ट करता है। चलो $\sat(F)$ के लिए कार्य को संतुष्ट करने का सेट हो $F$ , और $\unsat(F)$ के पूरक हो $\sat(F)$ ।

एक टोपोलॉजिकल स्पेस।

हमारा लक्ष्य X के सभी असाइनमेंट के स्थान को बंद करना है $X$, इस $\Sigma$ को एक सामयिक संरचना के साथ कॉल करें । हमारे बंद सेट फॉर्म $\sat(F)$ जहां $F$ एक सूत्र है। हम यह सत्यापित कर सकते हैं कि यह वास्तव में एक टोपोलॉजी है:

• रिक्त सूत्र $\emptyset$ जिसमें कोई खंड नहीं है, सभी असाइनमेंट से संतुष्ट है; so $\Sigma$ बंद है।
• X में किसी भी x \ _ के लिए सूत्र \ {x, \ negative x \} एक विरोधाभास है। इसलिए \ emptyset बंद है।$\{ x, \neg x \}$$x \in X$$\emptyset$
• मनमानी चौराहे के नीचे बंद। मान लीजिए F_ {i} I में$F_{i}$ प्रत्येक i \ के लिए एक सूत्र है $i \in I$। तब $\sat \left(\bigcup_{i \in I} F_i\right) = \bigcap_{i \in I} \sat(F_i)$ ।
• परिमित संघ के तहत बंद। मान लीजिए कि $F$ और $G$ दो फॉर्मूले हैं, और F \ vee G को परिभाषित करें : = \ {c \ vee d \,: \, c \ _ in F, d \ _ G \} में। $$F \vee G := \{ c \vee d \,:\, c \in F, d \in G \}.$$ तब $\sat(F \vee G) = \sat(F) \cup \sat(G)$ । इस तर्क की जरूरत है, लेकिन मैं इसे छोड़ दूंगा।

इस टोपोलॉजी $\mathcal T$ "मैथ्स टी " को "संतोषजनकता टोपोलॉजी" (!) $\Sigma$ । बेशक, इस टोपोलॉजी के ओपन सेट फॉर्म $\unsat(F)$ । इसके अलावा, मैंने देखा कि खुला सेट के संग्रह

$$\{ \unsat(c) \,:\, c \text{ is a clause} \}$$ के लिए एक आधार बनाता है $\mathcal T$ । (व्यायाम!)

कॉम्पैक्ट? मुझे लगता है कि यह एक दिलचस्प है, अगर बहुत उपयोगी नहीं है, तो चीजों को देखने का तरीका। मैं यह समझना चाहता हूं कि क्या इस टोपोलॉजिकल स्पेस में कॉम्पैक्टनेस, कनेक्टीविटी आदि जैसे पारंपरिक दिलचस्प गुण हैं या नहीं। इस पोस्ट में, हम खुद को कॉम्पैक्टनेस तक सीमित रखेंगे:

को चर का एक अनगिनत अनंत संग्रह होने दें । ¹ Is कॉम्पैक्ट के तहत ?$X$$\Sigma$$\mathcal T$

एक निम्नलिखित साबित कर सकता है

प्रस्ताव। कॉम्पैक्ट है यदि और केवल सभी असंतोषजनक , एक परिमित ।$\mathcal T$$F$$\{ c_1, c_2, \ldots, c_m \} \subseteq F$

(नॉट-सो-हार्ड एक्सरसाइज!) कई दिनों की सोच के बाद, मेरे पास इस सवाल का जवाब देने में ज्यादा प्रगति नहीं है। मेरे पास कॉम्पैक्टनेस के लिए या उसके खिलाफ मजबूत सबूत नहीं हैं। क्या आप कुछ दृष्टिकोण सुझा सकते हैं?

अंत में, बोनस प्रश्न के रूप में:

क्या पहले ऐसी संरचना का अध्ययन किया गया है?

¹ गणना करने योग्य लिए प्रतिबंध सिर्फ सादगी के लिए है; यह परिमाण की परिमित संख्या से अगला प्राकृतिक चरण भी लगता है।$X$

Comments

(१.) टोपोलॉजी टैग के विकी सारांश के आधार पर , यह टैग यहां प्रासंगिक नहीं है। फिर भी मैंने इसे शामिल किया क्योंकि प्रश्न स्पष्ट रूप से बिंदु-सेट टोपोलॉजी से जुड़ता है। (२.) मुझे यकीन नहीं था कि यह प्रश्न गणित के लिए अधिक अनुकूल है। यहाँ या यहाँ; मैंने इसे यहां पोस्ट करने का फैसला किया। (3.) प्रश्न की लंबाई के बारे में क्षमा करें। चूंकि मुझे लगता है कि हर कोई एक सामयिक स्थान से परिचित नहीं होगा, इसलिए मैंने समझाया कि सामान थोड़ा और विस्तृत रूप से।

— श्रीवत्स नारायणन

मैंने टोपोलॉजी टैग की परिभाषा को व्यापक बनाने के लिए एक टैग सुधार अनुरोध प्रस्तुत किया।

— जोशुआ हरमन

छोटी टिप्पणी: एक सूत्र F (जो CNF फॉर्म में है) दिया गया है, कोई इसे DNF फॉर्म में परिवर्तित कर सकता है, इसे नकारात्मक कर सकता है और CNF फॉर्म में 'F' बनाने के लिए डी मॉर्गन का उपयोग कर सकता है, जैसे कि (F) = unsat (F ') और असंगत (F) = सत् (F ')। जिससे कोई भी सेट बंद हो जाता है अगर वह आपके टोपोलॉजी में खुला है।

— एलेक्स दस ब्रिंक

क्या आपका प्रस्ताव केवल प्रस्तावक तर्क के लिए कॉम्पैक्टनेस प्रमेय ( en.wikipedia.org/wiki/Compactness_theorem ) का एक विशेष मामला नहीं है ?

— ट्रैविस सर्विस

@ ट्राविस यह हो सकता है, मुझे यकीन नहीं है। तर्क में मेरी पृष्ठभूमि काफी कमजोर है, इसलिए मैं इन चीजों को बहुत स्पष्ट रूप से नहीं देख सकता। :)

— श्रीवत्स नारायणन

Answer 1

आप जो कर रहे हैं वह एक बूलियन बीजगणित के एक सामयिक प्रतिनिधित्व को प्राप्त कर रहा है। बूलियन बीजगणित के अभ्यावेदन का अध्ययन कम से कम लिंडेनबाम और टार्स्की के पास वापस चला जाता है जिन्होंने साबित किया (1925 में, मुझे लगता है) कि पूर्ण, परमाणु बूलियन बीजगणित, समसामयिक अक्षांशों के लिए आइसोमोर्फिक हैं।

हालांकि, बूलियन बीजगणित हैं जो पूर्ण और परमाणु नहीं हैं। उदाहरण के लिए, अनुक्रम , एक अवरोही श्रृंखला है जिसकी सूत्रों पर परिभाषित बूलियन बीजगणित में कोई सीमा नहीं है। इस सवाल का कि क्या मनमाने ढंग से बूलियन अल्जेब्रा, जैसे कि आप जिसका उल्लेख करते हैं, का भी सेट-आधारित प्रतिनिधित्व था , जो मार्शल स्टोन द्वारा हल किया गया था , जिसने मैक्सिम को "हमेशा टॉपोलोगाइज" (मार्शल एच। स्टोन। बूलियन अलजेब्रा का प्रतिनिधित्व , 1938) के रूप में सामने रखा। ।$x_1, x_1 \land x_2, \ldots$

बूलियन बीजगणित के लिए पत्थर का प्रतिनिधित्व प्रमेय हर बुलियन बीजगणित एक टोपोलॉजिकल स्पेस के क्लोपेन सबसेट की जाली के लिए आइसोमोर्फिक है।

मुख्य विचार इस बात पर विचार करना है कि आपके मामले में क्या सूत्र के लिए संतोषजनक कार्य हैं। सामान्य स्थिति में, आप एक बूलियन बीजगणित से दो तत्व बूलियन बीजगणित (सत्य मूल्यों) में समरूपता पर विचार करते हैं। का विलोम आपको संतोषजनक कार्य के सेट देता है, या जिसे बूलियन बीजगणित का अल्ट्राफिल्टर कहा जाता है। इनमें से, एक टोपोलॉजी प्राप्त कर सकता है जिसे बूलियन बीजगणित के स्पेक्ट्रम या स्टोन स्पेस कहा जाता है। पत्थर आपके प्रश्न का उत्तर भी प्रदान करते हैं।$\mathit{true}$

बूलियन बीजगणित का स्टोन स्पेस एक कॉम्पैक्ट, पूरी तरह से डिस्कनेक्ट होसडॉर्फ स्पेस है।

ऐसे कई परिणाम सामने आए हैं जो विभिन्न दिशाओं में स्टोन के प्रतिनिधित्व को बढ़ाते और सामान्य करते हैं। एक प्राकृतिक प्रश्न यह पूछना है कि क्या अक्षांशों के अन्य परिवारों में इस तरह के प्रतिनिधित्व हैं। पत्थर के परिणाम भी बांटने वाली जाली पर लागू होते हैं। 1978 में अलसादेयर उर्कहार्ट द्वारा मनमाने ढंग से लैटिस के लिए सामयिक प्रतिनिधित्व दिए गए थे। वितरण संबंधी लैट्यूल संरचना में अधिक विविधता का आनंद लेते हैं, बूलियन बीजगणित की तुलना में और बहुत रुचि रखते हैं। डिस्ट्रिब्यूटिव केस के लिए एक अलग प्रतिनिधित्व हिलेरी प्रीस्टले द्वारा 1970 में एक ऑर्डर किए गए टोपोलॉजिकल स्पेस के विचार का उपयोग करके दिया गया था । सेट-आधारित अभ्यावेदन के बजाय, हम पॉसेट-आधारित अभ्यावेदन और टोपोलॉजी पा सकते हैं।

इन कागजात के निर्माण में एक उल्लेखनीय संपत्ति है। पत्थर के निर्माण के नक्शे न केवल बूलियन बीजगणित से टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान तक पहुंचते हैं: बूलियन बीजगणित से संबंधित संरचनात्मक संबंध परिणामी टोपोलॉजी के बीच संरचनात्मक गुणों में अनुवाद करते हैं। यह श्रेणियों के बीच एक द्वंद्व है। ऐसे परिणामों के पूरे सरगम ​​को स्टोन ड्यूलिटी कहा जाता है । अनौपचारिक रूप से, द्वैत हमें गणितीय ब्रह्मांडों के बीच सटीक अनुवाद देते हैं: समुच्चय की जुझारू दुनिया, अक्षांशों का बीजगणितीय संसार, टोपोलॉजी का स्थानिक संसार और तर्कशास्त्र की करणीय दुनिया। यहां कुछ शुरुआती बिंदु हैं जो मदद कर सकते हैं।

1. डेवी और प्रीस्टले द्वारा लैटिसेस एंड ऑर्डर के परिचय का अध्याय 11 , स्टोन प्रमेय को शामिल करता है।
2. मैथ्यू ग्वेने की स्लाइड प्रमेय को कवर करती है और कॉम्पैक्टनेस का प्रमाण देती है। मैथ्यू (टिप्पणियों में) पॉल हेल्मोस द्वारा बूलियन अल्जेब्रा का परिचय भी सुझाता है ।
3. प्रपोजल लॉजिक से मोडल लॉजिक की ओर बढ़ने में, बूलियन बीजगणित को एक इंटीरियर के साथ जॉइन-प्रोटेक्टिंग ऑपरेटर और टोपोलॉजी के साथ बढ़ाया जाता है। जॉन्सन और टार्स्की का 1952 का पेपर, ऑपरेटर्स के साथ बूलियन अल्जेब्रा आधुनिक पढ़ने के साथ बेहद पठनीय और सुसंगत है।
4. ब्लैकबर्न, डी रिज्के और वेनेमा द्वारा मोडल लॉजिक के अध्याय 5 में स्टोन के प्रमेय और ऑपरेटरों के साथ बुलियन बीजगणित तक इसके विस्तार को शामिल किया गया है।
5. पीटर जॉनस्टोन द्वारा स्टोन स्पेस विभिन्न अन्य प्रकार के बीजगणितों के लिए ऐसे परिणामों की समीक्षा करता है।

Comments

पत्थर द्वैत अधिक सामान्य है। जॉनस्टोन और विकर की किताबें (विकिपीडिया लेख का संदर्भ भाग देखें) दोनों ही काफी अच्छी हैं, हालांकि पहले वाला काफी उन्नत है।

— कावे

हां, लेकिन मुझे यकीन नहीं है कि अगर ओपी अपनी पूरी महिमा में स्टोन ड्यूलिटी के बारे में जानना चाहता है। आपकी टिप्पणी के अनुसार कुछ लिंक जोड़े हैं। यदि कोई केवल प्रतिनिधित्व प्रमेय चाहता है, तो डेवी और प्रीस्टले की प्रस्तुति पर्याप्त है।

— विजय डी।

@Kaveh: सराहना की। अभी भी एक उत्तर के वांछित विस्तार-स्तर की पहचान करने और टिप्पणियों के लहजे को पढ़ने की आदत हो रही है। ऐसा नहीं है कि एक क्रोधी बूढ़े आदमी की तरह मेरी आवाज़ में मदद करता है। (स्माइली-फेस)

— विजय डी।

यह स्टोन ड्यूलिटी पर एक ब्लॉग पोस्ट और सीएस के कनेक्शन के लिए एक शानदार कदम होगा।

— सुरेश वेंकट

पॉल हेल्मोस का "बूलियन बीजगणित का परिचय" प्रतिनिधित्व प्रमेय, साथ ही अन्य द्वंद्व प्रमेय को भी कवर करता है।

— MGwynne