एक ग्राफ को देखते हुए, तय करें कि इसकी बढ़त कनेक्टिविटी कम से कम n / 2 है या नहीं

Question

एलॉन और स्पेंसर द्वारा लिखित पुस्तक द प्रोबेबिलिस्टिक मेथड के अध्याय 1 में निम्नलिखित समस्या का उल्लेख किया गया है:

एक ग्राफ को देखते हुए , तय करें कि इसकी बढ़त कनेक्टिविटी कम से कम या नहीं।एन /$G$$n/2$

लेखक ने मातुला द्वारा एल्गोरिथ्म के अस्तित्व का उल्लेख किया है और इसे सुधारता है ।हे ( एन 8 / 3 लॉग n $O(n^3)$$O(n^{8/3}\log n)$

मेरा सवाल यह है कि इस समस्या के लिए सबसे अच्छा समय क्या है?

मुझे बेहतर एल्गोरिथ्म का वर्णन करने दें।

सबसे पहले, तय करें कि की न्यूनतम डिग्री कम से कम या नहीं। यदि नहीं, तो बढ़त कनेक्टिविटी स्पष्ट रूप से से कम है ।एन / 2 एन /$G$$n/2$$n/2$

इसके बाद, यदि ऐसा नहीं है, तो गणना का प्रभुत्व रहा है सेट के आकार के । यह पुस्तक के पिछले भाग में वर्णित एल्गोरिदम द्वारा, समय में किया जा सकता है ।जी ओ ( लॉग एन ) ओ ( एन 2$U$$G$$O(\log n)$$O(n^2)$

इसके बाद, यह तथ्य को साबित करने के लिए बहुत मुश्किल नहीं निम्नलिखित का उपयोग करता है:

कम से कम डिग्री है , तो ज्यादा से ज्यादा आकार के किसी भी किनारे कटौती के लिए विभाजित है कि में और , के किसी भी हावी सेट दोनों में अपनी कोने होना आवश्यक है और ।δ वी वी 1 वी 2 जी वी 1 वी $\delta$$\delta$$V$$V_1$$V_2$$G$$V_1$$V_2$

अब वर्चस्व सेट । के बाद से न्यूनतम डिग्री है , आकार के किसी भी किनारे कटौती कम से कम भी अलग होना चाहिए । इस प्रकार प्रत्येक , हम सबसे छोटे किनारे के आकार का पता जो और अलग । इनमें से प्रत्येक चीज़ों को अधिकतम प्रवाह एल्गोरिथ्म का उपयोग करते हुए समय में किया जा सकता है । इस प्रकार लिया गया कुल समय ।जी एन / 2 n / 2 यू मैं ∈ { 2 , कश्मीर } यू 1 यू मैं हे ( एन 8 / 3 ) हे ( $U = \{u_1, \ldots , u_k\}$$G$$n/2$$n/2$$U$$i\in \{2, k\}$$u_1$$u_i$$O(n^{8/3})$$O(n^{8/3}\log n)$

Comments

Btw, निश्चित रूप से अधिकतम प्रवाह एल्गोरिथ्म में एक सुधार के रूप में अच्छी तरह से यहाँ सुधार होगा। लेकिन मुझे लगता है कि वर्तमान में ज्ञात सबसे अधिक अधिकतम-प्रवाह एल्गोरिथ्म है? $O(n^{8/3})$

— विनायक पाठक

शायद मैं कुछ गलत समझ रहा हूं, लेकिन क्या कार्गर-स्टीन रैंडमाइज्ड मिनक एल्गोरिथ्म में टाइम _ टिल्डे ? $\tilde{O}(n^2)$

— साशो निकोलेव

क्या अपेक्षित समय चल रहा है? मैंने जो एल्गोरिथ्म का वर्णन किया है वह पूरी तरह से नियतात्मक है। $O(n^2)$

— विनायक पाठक

एल्गोरिथ्म मोंटे कार्लो है: यह हमेशा time और उच्च संभावना के साथ न्यूनतम कटौती को आउटपुट करता है। असफलता की संभावना रनिंग टाइम पर बिल्कुल निर्भर करती है। क्षमा करें, यह देखते हुए कि आपका उद्धरण एलोन-स्पेंसर है मैंने अभी ग्रहण किया है कि एल्गोरिथ्म यादृच्छिक है :)$\tilde{O}(n^2)$

— Sasho Nikolov

यदि आप एक निर्धारक एल्गोरिथ्म की तलाश कर रहे हैं, तो मुझे लगता है कि आपको प्रश्न में यह निर्दिष्ट करना चाहिए। मैं न्यूनतम कटौती के लिए से बेहतर नियतात्मक एल्गोरिथ्म से अवगत नहीं हूं (एक आसान एल्गोरिथ्म के लिए Stoer-Wagner देखें जो इस चल रहे समय को प्राप्त करता है)। यह दिलचस्प है कि हम आपके द्वारा निर्दिष्ट समस्या के लिए निर्धारक रूप से कितना बेहतर कर सकते हैं (घातांक में 8/3 एक सर्वोत्तम बाध्य के लिए अप्राकृतिक लगता है, लेकिन कौन जानता है)। $O(mn + n^2\log n)$

— साशो निकोलेव

Answer 1

आप इसे रेखीय समय में आसानी से देख सकते हैं, क्योंकि एक ग्राफ में एज कनेक्टिविटी कम से कम है और यदि केवल इसकी न्यूनतम डिग्री कम से कम । आप पहले से ही "केवल अगर" भाग के लिए तर्क दिया। अब एक ग्राफ पर विचार करें जहां हर शीर्ष पर कम से कम और एक कट होता है जो ग्राफ़ को दो शीर्ष सेटों में विभाजित करता है और with । में एक शिखर ज्यादा से ज्यादा हो सकता है में अन्य कोने के लिए कनेक्शन कम से कम योगदान करना चाहिए, और इस तरह कटौती करने के लिए किनारों। इस प्रकार, कट का आकार कम से कम । यह दिखाना बाकी हैn / 2 n / 2 एक्स ˉ एक्स एक्स : = | एक्स | ≤ एक्स - 1 ) ( एन / 2 - एक्स ) ≥ $n/2$$n/2$$n/2$$X$$\bar X$$x := |X| \leq n/2$$X$$x - 1$$X$$n/2 - (x - 1)$$x (n/2 - x + 1)$$x (n/2 - x + 1) \geq n/2$ , जो तब से सत्य है ।$(x - 1)(n/2 - x) \geq 0$

अजीब पर्याप्त, केवल मैं खोजने के लिए इस परिणाम है संदर्भ यह एक जैव सूचना विज्ञान सम्मेलन से। मैं वास्तव में यह देखने के लिए उत्सुक हूं कि क्या यह कहीं और साबित हुआ है।

संपादित करें: एक पूर्व संदर्भ है: गैरी चार्ट्रैंड: एक ग्राफ-थ्योरेटिक दृष्टिकोण एक संचार समस्या , सियाम जे। Appl। गणित। 14-4 (1966), पीपी। 778-781।