के परिणाम

Question

हम जानते हैं कि यदि तो पूरे पीएच का पतन हो जाता है। यदि बहुपद पदानुक्रम आंशिक रूप से ढह जाए तो क्या होगा? (या कैसे समझें कि PH एक निश्चित बिंदु से ऊपर गिर सकता है और नीचे नहीं?)$P=NP$

कम शब्दों में, और के परिणाम क्या होंगे ?$NP=coNP$$P\ne NP$

Comments

उस स्थिति में PH अभी भी ढह जाता है (0 वें स्तर के बजाय 1 पर)।

— बेनेट

ते पहला वाक्य यह व्यक्त करने के लिए लगता है कि "हम मुसीबत में हैं अगर पी = एनपी नहीं है क्योंकि पदानुक्रम ढह जाता है" जो सही नहीं है (पी = एनपी एक विवादास्पद स्थिति या नहीं के संभावित विवादास्पद मुद्दे को एक तरफ रखकर)।

— केव

@ मुझे लगता है कि ओपी यह पूछने की कोशिश कर सकता है कि पीएच स्तर 1 स्तर तक गिरने के क्या परिणाम हैं। तब हम किन शांत समस्याओं को हल कर पाएंगे?

— Artem Kaznatcheev

@Xavier: आप क्यों कहते हैं "... और हम मुसीबत में हैं" । पी = एनपी, और परिणामी पीएच पतन, बस शानदार होगा ;-)

— जियोर्जियो कैमरानी

@ArtemKaznatcheev: अपनी समझ टिप्पणी के लिए tks

— जेवियर Labouze

Answer 1

मेरे लिए, के सबसे बुनियादी और आश्चर्यजनक परिणामों में से एक समस्या के पूरे मेजबान के लिए लघु प्रमाणों का अस्तित्व है, जहां यह देखना बहुत मुश्किल है कि उनके पास लघु प्रमाण क्यों होने चाहिए। (यह "इस पतन के अन्य जटिलता के निहितार्थ क्या हैं?" से एक कदम पीछे ले जाने का एक प्रकार है, "इस पतन के बहुत मूल, नीचे-से-पृथ्वी के कारण क्या होंगे?"$\mathsf{NP}=\mathsf{coNP}$

उदाहरण के लिए, यदि , तो हर ग्राफ़ के लिए जो हैमिल्टनियन नहीं है, उस तथ्य का एक छोटा सा प्रमाण है। इसी तरह ग्राफ़ के लिए जो 3-रंगीन नहीं हैं। इसी तरह उन युग्मों के युग्मों के लिए जो आइसोमोर्फिक नहीं हैं। इसी तरह किसी भी प्रस्तावना के लिए ।$\mathsf{NP}=\mathsf{coNP}$

ऐसी दुनिया में जहां में क्योंकि इस तरह के एक दुनिया में -, प्रोपोज़िशनल tautologies साबित करने में कठिनाई यह है कि कुछ कम tautologies लंबे सबूत नहीं है कि हर अनुलाप एक polynomially कम सबूत है - लेकिन कुछ है बल्कि यह है कि अन्य कारण जो हम उन प्रमाणों को कुशलता से नहीं खोज पा रहे हैं।$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP} = \mathsf{coNP}$

Comments

मुझे यह उत्तर पसंद है! +1

— तय्युन पे

आपके उत्तर के लिए Tks, रेखांकित परिणाम काफी आश्चर्यजनक है। मुझे आश्चर्य है कि किस तरह के अन्य कारण उन सबूतों को कुशलता से खोजने में असमर्थ हैं। कोई उपाय ?

— जेवियर लाबॉज

Answer 2

यदि हम भी मानते हैं , तो परिकल्पना भी यादृच्छिक वर्गों के पतन का कारण होगी:$\mathsf{NP}=\mathsf{RP}$ । हालांकि ये सभी P में बिना शर्त के ढहने के अनुमान हैं, वैसे भी, यह अभी भी खुला है कि क्या वास्तव में ऐसा होता है। किसी भी मामले में, एन पी = सी ओ एन एन पी अपने आप में इसका मतलब नहीं है कि ये यादृच्छिक कक्षाएं ध्वस्त हो जाती हैं।$\,\,\mathsf{ZPP}=\mathsf{RP}=\mathsf{CoRP}=\mathsf{BPP}$$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}=co\mathsf{NP}$

यदि वे नहीं करते हैं, अर्थात् , हमारे पास कम से कम then पी है , तो, केवल एन पी = सी ओ एन पी परिकल्पना के साथ, यह एक और महत्वपूर्ण परिणाम होगा:$\mathsf{BPP}\neq \mathsf{P}$$\mathsf{NP}=co\mathsf{NP}$ । यह जो कहते हैं बाबई, Fortnow, निसान और Wigderson, का एक परिणाम से इस प्रकार है कि अगर में सभी एकल (मिलान) भाषाओं पी एच में गिर पी , फिर बी पी पी = पी । इस प्रकार, यदि बी पी पी ≠ पी , तो वे सभी पी में नहीं गिर सकते हैं, क्योंकि एन पी = सी ओ एन पी धारणा का अर्थ पी एच = एन पी है । इसलिए, N P - P में एक टैली भाषा होनी चाहिए$\,\,\mathsf{E}\neq \mathsf{NE}$$\mathsf{PH}$$\mathsf{P}$$\mathsf{BPP}=\mathsf{P}$$\mathsf{BPP}\neq \mathsf{P}$$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}=co\mathsf{NP}$$\mathsf{PH}=\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}-\mathsf{P}$। अंत में, में एक मिलान भाषा की उपस्थिति अच्छी तरह से मतलब है जाना जाता है ई ≠ एन ई ।$\mathsf{NP}-\mathsf{P}$$\mathsf{E}\neq \mathsf{NE}$

ऊपर के तर्क से पता चलता है रोचक प्रभाव है कि परिकल्पना, एक पतन होने के बावजूद, वास्तव में बढ़ाता है अलग करने की शक्ति बी पी पी ≠ पी , बाद अकेले के रूप में यह सूचित करते हैं ज्ञात नहीं है ई ≠ एन ई । यह "विसंगति" अनुमान का समर्थन करने लगता है बी पी पी = पी ।$\mathsf{NP}=co\mathsf{NP}$$\mathsf{BPP}\neq \mathsf{P}$$\mathsf{E}\neq \mathsf{NE}$$\mathsf{BPP}= \mathsf{P}$

Comments

शायद मैं यहाँ धीमा हो रहा हूँ, लेकिन NP = coNP का मतलब ZPP = RP = coRP = BPP कैसे है?

— जोशुआ ग्रूचो

@ जोशुआग्रोचो मैं उस पर भी अड़ा हुआ हूं।

— तैफून पे

धन्यवाद, मैं वास्तव में एक शर्त चूक गया। मैंने जवाब सही दिया।

— एंड्रास फरगाओ

@AndrasFarago ठीक है! +1 :)

— तैफून

@AndrasFarago आपके जवाब के लिए धन्यवाद!

— जेवियर लाबॉज

Answer 3

से परे कक्षाओं की गिनती के लिए दो परिभाषाएं हैं । एक को Valiant द्वारा परिभाषित किया गया था और दूसरे को Toda द्वारा परिभाषित किया गया था।${\bf \#P}$

किसी भी वर्ग के लिएसी, को परिभाषित#सी=∪ एक ∈ सी (#पी) एक है, जहां( # पी ए)कार्यों का मतलब Nondeterministic बहुपद-काल ट्यूरिंग मशीनों की स्वीकृति पथों की गिनती करने के लिएAका दैवज्ञ है।${ \rm \underline {Valiant's-Definition:}}$$C$$\#C =\cup_{A\in C}(\#P)^{A}$$({\#P}^A)$$A$

Valiant की परिभाषा के अनुसार हमारे पास पहले से ही ${\bf \#NP} = {\bf \#CoNP}$

किसी भी वर्ग के लिएसी, को परिभाषित#। सीकार्यों के वर्ग होने के लिएचऐसी है कि कुछ के लिएसी-गणनीय दो तर्क विधेयआरऔर कुछ बहुपदपी, के लिए हर स्ट्रिंगxयह मानती है कि:च(एक्स)=| | {य| पी(${ \rm \underline {Toda's-Definition:}}$$C$$\# .C$$f$$C-$$R$$p$$x$और आर ( एक्स , वाई ) } | | ।$f(x)=||\{y|p(|x|)=|y|$$R(x,y)\}||$

टोडा की परिभाषा से हमारे पास यदि और केवल N P = C o N P है तो ।${\bf \#.NP} = {\bf \#.CoNP}$${\bf NP} = {\bf CoNP}$

तो अगर हम भी मानते हैं कि तो हम होता एफ पी ≠ # पी ।${\bf P}\not = {\bf NP}$${\bf FP} \not = {\bf \# P}$

Comments

यह एनपी का काउंटिंग वर्जन है।

— तैफून पे

"# .NP" में किस अवधि का उल्लेख है?

— टिमोथी सूर्य

दो प्रकार की गणना की जाती है, यदि हाइराइज को परिभाषित किया जाता है। Valiant in1979 द्वारा एक और वह संकेतन का उपयोग करता है #P, # NP, # Co-NP ... जहाँ # NP = Co-NP। दूसरी ओर टोडा ने एक अलग पदानुक्रम को परिभाषित किया। और इसके लिए नोटेशन डॉट्स का उपयोग करता है। और # .एनपी! = #। सह-एनपी जब तक एनपी = सह-एनपी

— तैयफुन पे

Answer 4

केआर-आई को दिखाया गया कि एक ओरेकल है जो k-th स्तर पर PH को बनाता है। "केआर-आई को देखें: सापेक्ष रूप से बहुस्तरीय समय पदानुक्रमों का सटीक रूप से K स्तर पर होना। सियाम जे। कंप्यू। 18 (2): 392-408 (1989)"।

Comments

क्या आप हमें कागज से जोड़ सकते हैं?

— तैफून पे

@ BinFu Tks - मैंने सोचा था कि PH पहले स्तर तक गिर जाता है ...

— Xavier Labouze

केस k = 1 के लिए, यह इस समस्या का मामला है। बहुपद समय एनपी = एनपीएन की स्थिति के तहत एनपी में ढह जाता है। को के पेपर में k-th स्तर के लिए ओरेकल के अस्तित्व का मतलब है पीएच पतन की समस्या से निपटने के लिए किसी भी संबंधित विधि का अवरोध।

— बिन फू

@BinFu: अपनी टिप्पणियों के किसी भी परिणाम के वर्णन नहीं करते पी ≠ एनपी = coNP । सवाल यह नहीं था कि पहले स्तर पर एक पतन कैसे दिखाया जाए , या ऐसे परिणामों के बारे में भी जो पहले स्तर तक पतन का वर्णन करते हैं, लेकिन पहले स्तर पर पतन का एक सहसंबंध के रूप में क्या जाना जाएगा। मैं यह नहीं देखता कि आपका जवाब किस तरह से है।

— नील डी ब्यूड्रैप

प्रत्येक संतोषजनक बूलियन सूत्र में एक बहुपद समय और लंबाई प्रमाण होता है, जो सूत्र को सत्य बनाने के लिए सत्य असाइनमेंट है। स्थिति एनपी = सीओएनपी बनाता है हर असंतोषजनक बूलियन सूत्र में एक बहुपद समय और लंबाई प्रमाण होता है। यदि P, NP और NP = coNP के बराबर नहीं है, तो इसकी संतुष्टि या असंतोषजनकता के लिए बूलियन फॉर्मूला के लिए बहुपद लंबाई प्रमाण खोजने के लिए बहुपद समय एल्गोरिथ्म नहीं है। इसी तरह, एनपी में सभी समस्याओं के लिए हमारे पास समान निष्कर्ष होंगे।

— बिन फू