आदेश दिया चर के साथ एक पास में रैखिक प्रोग्रामिंग समाधान

Question

मेरे पास लीनियर प्रोग्रामिंग समस्याओं का एक परिवार है: अधिकतम विषय के लिए , x \ ge0 । ए , बी , और सी के तत्व गैर- सकारात्मक पूर्णांक हैं, सी सख्ती से सकारात्मक हैं। ( एक्स को भी अभिन्न होना चाहिए लेकिन मुझे बाद में इस बारे में चिंता होगी।)$c' x$$A x\le b$$x\ge0$$A$$b$$c$$c$$x$

यह अक्सर मेरे आवेदन में होता है कि गुणांक और ऐसे होते हैं कि एक सरलीकृत एक-पास एल्गोरिथ्म हर विकल्प के लिए इष्टतम समाधान देता है : एक-पास एल्गोरिथ्म तत्वों को निर्धारित करता है क्रम में, प्रत्येक को चुनना पहले से निर्धारित मानों साथ संगत सबसे बड़ा संभव मान है । सरल भाषा में, चर में प्रवेश करने का क्रम सिर्फ से , और यह चरणों के बाद समाप्त हो जाता है । फुल-ऑन सिंप्लेक्स की तुलना में यह बहुत समय बचाता है।$A$$c$$b$$x_1,\dots,x_n$$x_j$$x_1,\dots,x_{j-1}$$x_1$$x_n$$n$

यह एल्गोरिथ्म तब काम करता है जब और के तत्वों को "सस्ते" से "महंगी" में सॉर्ट किया गया है। एक "सस्ते" चर का एक स्तंभ है आम तौर पर छोटे मूल्यों, जिसके लिए की इसी तत्व के साथ ग के उस तत्व के लिए: बड़ी है एक्स आप बाधा पर बहुत ज्यादा नहीं मांग के साथ उत्पादन का एक बहुत मिलता है ख । तो एल्गोरिथ्म बस कहता है "आसान सामान पहले करो।"$A$$c$$A$$c$$x$$b$

मेरा सवाल है: और की संपत्ति हमें क्या आश्वस्त करेगी कि यह सरलीकृत एल्गोरिदम सभी लिए काम करता है ? मेरा प्रारंभिक अनुमान था कि प्रत्येक पंक्ति में के गैर-अक्षीय तत्वों को बढ़ाना चाहिए, लेकिन यह सही नहीं है।$A$$c$$b$$A$

यहाँ कुछ उदाहरण दिए गए हैं, सभी : A_1 = \ start {pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & \\ 3 & 2 & 0 \ end {pmatrix} , A_2 = \ start {pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 3 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 2 \ end {pmatrix} , A_3 = \ start {pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \ end {pmatrix} , A_4 = \ start {pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \ end {pmatrix} । इन सभी के लिए, अनुक्रमिक एल्गोरिदम बी के सभी मूल्यों के लिए इष्टतम समाधान देता है (संख्यात्मक प्रयोग द्वारा)। A_3 एकमात्र ऐसा है जिसके लिए कॉलम के सभी क्रमपरिवर्तन भी काम करते हैं।$c=(1,1,1)$$A_1=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 0\end{pmatrix}$$A_2=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 3 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 2 \end{pmatrix}$$A_3=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$A_4=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$b$$A_3$$A_1$$A_3$$(1,1,3)$ तुलना में अधिक महंगा लगता है और से अधिक महंगा है ।$(1,3,0)$$(1,1,1)$$(1,0,0)$

मैं साहित्य के लिए किसी भी संकेत, इस तरह की किसी भी समस्या, या किसी भी सुझाव के लिए बहुत आभारी हूँ। ऐसे अन्य मामले भी रहे होंगे जहां कुछ चर दूसरों की तुलना में "सस्ते" होने के लिए निर्धारित किए जा सकते हैं और सुरक्षित रूप से पहले किए जा सकते हैं। वर्षों से रैखिक प्रोग्रामिंग पर किए गए सभी कार्यों के साथ, ऐसा लगता है कि ऐसा ही कुछ हुआ होगा, लेकिन मैं इसे खोजने में सक्षम नहीं हूं।

Answer 1

संभवतः सबसे प्रसिद्ध उदाहरण जिसमें एलपी को हल करने के लिए एक लालची एल्गोरिथ्म को जाना जाता है जो परिवहन समस्या के विशेष मामले के लिए है। हॉफमैन ("सरल रैखिक कार्यक्रमों पर", उत्तलता में , शुद्ध गणित में संगोष्ठी की कार्यवाही के खंड 7 में , पृष्ठ 317-327, 1963) ने साबित किया कि यदि एक (अधिकतम) परिवहन समस्या के लिए लागत मैट्रिक्स, स्पंज संपत्ति को संतुष्ट करता है ($c_{ij} + c_{kl} \geq c_{il} + c_{kj}$ कब $1 \leq i < k \leq n$, $1 \leq j < l \leq n$) तब एक इष्टतम समाधान एक लालची तरीके से पाया जा सकता है जैसे आप वर्णन करते हैं।

हॉफमैन के पास 1985 से एक सर्वेक्षण पत्र (" लालची एल्गोरिदम पर जो सफल होता है ") भी है जिसमें वह ज्ञात मामलों पर चर्चा करते हैं जिसमें एक लालची एल्गोरिदम एक एलपी को एक इष्टतम समाधान देता है। अपने स्वयं के काम के अलावा ऊपर उद्धृत किया गया (जिसके बारे में वे कहते हैं, "अधिकांश रेखीय प्रोग्रामिंग समस्याओं को [1963 से जाना जाता है] लालची एल्गोरिथ्म के लिए अतिसंवेदनशील होना Monge के विचार के विशेष मामले थे"), उन्होंने कहा कि एडमंड्स की रेखीय प्रोग्रामिंग व्याख्या है। Matroids का सामान्यीकरण और केस की चर्चा जब$A$ अन्य बातों के अलावा, अपवित्र है।

मैं कल्पना करता हूं कि हाल ही में परिणाम आए हैं, लेकिन उम्मीद है कि यह कम से कम आंशिक रूप से आपके प्रश्न का उत्तर देता है और आपको कुछ और विचार देता है कि कहां और क्या देखना है।

Comments

मैं अपने सुझाव के लिए प्रो स्पाइवे को धन्यवाद देना चाहता हूं। संदर्भों का पीछा करने में मुझे थोड़ा समय लगा, लेकिन मैं एक उत्तर के रूप में पूर्ण विवरण प्रदान करूंगा।

— रॉबर्ट अल्मग्रेन

Answer 2

प्रो स्पिवी के सुझाव के लिए, मैं अंत में स्थित हूं जो मुझे लगता है कि कला की स्थिति है: उलरिक फैगल, एलन जे हॉफमैन, और वाल्टर कर्न, "अ कैरेनाइजेशन ऑफ नॉनजेनिटिव बॉक्स-ग्रैडी मैटिक्स", एसआईएएम जे डिस्क। गणित। 9 (1996) पीपी 1-6। एक मैट्रिक्स "लालची" है अगर ऊपर वर्णित एल्गोरिथ्म सभी के लिए इष्टतम समाधान देता है$b$। एक मैट्रिक्स "बॉक्स-लालची" है यदि लालची एल्गोरिथ्म अतिरिक्त स्थिति के साथ इष्टतम समाधान देता है$x\le d$ सबके लिए $b$ और सभी $d\ge0$। जाहिर है, बॉक्स-लालची लालची से ज्यादा मजबूत स्थिति है।

हमेशा ऐसा मान लें $c_1\ge\dots\ge c_n>0$। फैगल, हॉफमैन और केर्न यह साबित करते हैं$A$ बॉक्स लालची है अगर और केवल अगर यह नहीं है $k\times(k+1)$ (किसी के लिए $k$) फॉर्म का सबमेट्रिक्स $\begin{pmatrix} r_1 & s_1 & & & \\ r_2 & & s_2 & & \\ \vdots & & & \ddots \\ r_k & & & & s_k \end{pmatrix}$ प्रत्येक के साथ $r_j>0$ तथा $\sum_{i:s_i>0} \frac{r_i}{s_i} > 1$। उपमात्राओं को निकालने में, पंक्तियों की मनमानी अनुमति दी जाती है, लेकिन स्तंभों की नहीं, और पंक्तियों और स्तंभों की मनमानी को अनुमति दी जाती है। इस प्रकार विशेष रूप से, के साथ$k=1$की प्रत्येक पंक्ति में नॉनज़रो तत्व $A$ निंदनीय होना चाहिए।

यह दुर्भाग्यपूर्ण है कि मेरी समस्या में मैट्रीज़ कोई बॉक्स-लालची नहीं हैं, हालांकि मुझे अभी भी विश्वास है कि वे लालची हैं। उदाहरण के लिए, मेरी में$A_1$ऊपर की स्थिति का उल्लंघन किया गया है और यह मैट्रिक्स लालची नहीं है, हालांकि यह लालची है। जहां तक ​​मुझे पता है, लालची मैट्रिस की पहचान करने पर कोई परिणाम नहीं हैं।

Comments

मुझे खुशी है कि मेरे जवाब से आपको यह पता लगाने में मदद मिली!

— माइक स्पाइवे

Answer 3

इस तरह की चीज़ के लिए सबसे आसान उदाहरण हो सकता है फ्रैक्शनल नैकपैक समस्या जहाँ आइटम को फ्रैक्नीज़ करने की अनुमति हो। इस समस्या (और इसके एलपी दोहरे) को वजन के प्रति लाभ के लिए वस्तुओं को छांटकर हल किया जा सकता है, इस क्रम में सबसे लंबे अनुक्रम का चयन किया जा सकता है जो अंतिम आइटम के लिए संभव और भिन्न होता है।