जोड़ीदार दृश्यता के साथ आर्ट गैलरी संस्करण?

Question

पारंपरिक आर्ट गैलरी समस्या दृश्यता की कुछ धारणा के साथ एक क्षेत्र और गार्ड स्थापित करती है, और गार्डों की न्यूनतम संख्या के लिए पूछती है जिसे पूरे क्षेत्र को देखने के लिए रखा जाना चाहिए।

क्या किसी ने कभी आर्ट गैलरी वेरिएंट को देखा है जहां दृश्यता क्षेत्र को बजाय गार्ड की एक जोड़ी द्वारा परिभाषित किया गया है । उदाहरण के लिए, एक सूत्रीकरण यह हो सकता है कि एक बिंदु आच्छादित हो अगर वहाँ एक गार्ड है जिसकी न्यूनतम बाउंडिंग डिस्क इसे कवर करती है?

Comments

क्विस कस्टोडिएट ipsos कस्टोड?

— Artem Kaznatcheev

खैर, @ आर्टेम के सवाल का जवाब देने के लिए, कनेक्टेड गार्ड की एक धारणा है , जिसके दो संस्करण हैं। चलो दृश्यता ग्राफ प्रत्येक गार्ड के लिए एक शीर्ष, और दो कोने के बीच एक बढ़त के साथ परिभाषित किया जा गार्ड एक दूसरे को देख सकते हैं। यदि दृश्यता ग्राफ जुड़ा हुआ है, तो सभी गार्डों को संरक्षित किया जाता है (कभी-कभी "गार्ड गार्ड का एक सेट" कहा जाता है)। एक मजबूत स्थिति यह है कि दृश्यता ग्राफ में एक जुड़ा हुआ घटक होता है। फिर आपके पास कनेक्टेड गार्ड का एक सेट है। और हां, यहां काम की उचित मात्रा है। मैंने एक पेपर के बारे में भी ब्लॉग किया है।

— एरॉन स्टर्लिंग

वूप्स, ऊपर पढ़ा जाना चाहिए "यदि दृश्यता ग्राफ में कोई अलग-थलग कोने नहीं हैं, तो सभी पहरेदार पहरेदार हैं ..."

— हारून स्टर्लिंग

"कौन गार्ड की सुरक्षा करता है"? मेरा लैटिन केवल सुअर है :)

— सुरेश वेंकट

ध्यान दें कि मेरे सूत्रीकरण में, मुझे आवश्यकता नहीं है कि प्रेरित दृश्यता ग्राफ जुड़ा हो। हालांकि यह अक्ष-समानांतर आयतों के साथ एक मुद्दा नहीं हो सकता है, यह वास्तव में उन क्षेत्रों के साथ एक मुद्दा हो सकता है जो इतने अच्छे नहीं हैं (जैसे अण्डाकार क्षेत्र)। लेकिन जुड़ा गार्ड पॉइंटर एक अच्छा है: मुझे लगता है कि शायद मेरी समस्या के कुछ वेरिएंट को इस तरह से संबोधित किया जा सकता है।

— सुरेश वेंकट

Answer 1

मुझे ऐसे किसी काम की जानकारी नहीं है। हालांकि, मैं उम्मीद करूंगा कि इस तरह की समस्या एनपी-पूर्ण होगी और छेद वाले पॉलीगोन के लिए, सेट कवर के रूप में लगभग कठिन होगा। अपेक्षाकृत सीधी वर्टेक्स / वर्टेक्स गार्डिंग की समस्या, जिसमें गार्ड केवल लेयर्स पर लेट सकते हैं और केवल वर्टिस को ही गार्ड करने की आवश्यकता होती है, क्या यह हार्ड ( Eidenbenz, Stamm और Widmayer (2001) ) है।

साधारण बहुभुजों के लिए, मुझे उम्मीद है कि ऐसी समस्या होगी:

• एन पी-सम्पूर्ण
• APX मुश्किल
• $O(\log(\rm{opt}))$

सरल बहुभुज ( Eidenbenz (1998) ) के लिए वर्टेक्स / वर्टेक्स गार्डिंग समस्या APX-hard है ।

$\varepsilon$$O(\log(\rm{opt}))$

मैंने अपनी थीसिस के लिए इस समस्या के बारे में थोड़ा सोचा, लेकिन इस राय पर आया कि कोई विशेष रूप से दिलचस्प वेरिएंट नहीं थे जो सिंगल-गार्डिंग से जुड़ी एक ज्ञात समस्या को काफी करीब से कम नहीं करते थे।

Answer 2

इस प्रश्न के लिए देर से (खेद!)। कम से कम थोड़ा सा काम है।

(1) यह एक अंडरग्राउंड (स्वार्थमोर) शोध पत्र प्रतीत होता है: "आर्ट गैलरी में इष्टतम डबल कवरेज," स्कॉट डेलाने, एंड्रयू फ्रैंप्टन, 2008, पीडीएफ लिंक । उनके निष्कर्ष से:

$\lfloor 2n/3 \rfloor$$n^2$

$\lfloor 2n/3 \rfloor$

Comments

इसलिए मैं इस बारे में सोच रहा हूं। मुझे लगता है कि दोहरे कवरेज और मेरी समस्या के बीच मुख्य अंतर यह है कि यह "कनेक्टिविटी" मुद्दा है। दूसरे शब्दों में, जब तक वे एक दूसरे के लिए "दृश्यमान" नहीं हो जाते, तब तक दोनों गार्डों में से कोई भी दृश्यता क्षेत्र सक्रिय नहीं होता है। ऐसे उदाहरणों का निर्माण करना आसान है, जहां आप गार्ड के साथ एक क्षेत्र को दोहरा सकते हैं जो एक दूसरे को नहीं देखते हैं। अब कनेक्ट किए गए गार्ड की समस्या को ALSO में देखा गया है, लेकिन एक अलग संदर्भ में जो फिर से यहां लागू नहीं होता है - विशेष रूप से वहां आपको आवश्यकता है कि गार्ड दृश्यता ग्राफ जुड़ा हुआ है, और मुझे इसकी आवश्यकता नहीं है।

— सुरेश वेंकट

$p$$p$

$p$

काफी नहीं। यह शुद्ध दृश्यता नहीं है। गार्ड की एक जोड़ी "दृश्यता के क्षेत्र" को परिभाषित करती है और एक बिंदु को कवर किया जाता है यदि यह गार्ड की दृश्यता के क्षेत्र में स्थित है। यह वास्तव में गार्डों के लिए संभव है जो एक दूसरे को या बिंदु को "कवर" करने के लिए "दृष्टि" की पारंपरिक "दृष्टि" लाइन में नहीं देख सकते हैं।

— सुरेश वेंकट

स्पष्टीकरण देने के लिए धन्यवाद। यह मॉडल मेरे द्वारा ज्ञात किसी भी चीज़ से भिन्न प्रतीत होता है।

— जोसेफ ओ'रोरके