ग्रिड

Question

अपडेट : सभी मोनोक्रोमैटिक-आयत-मुक्त 4-रंगों के लिए बाधा सेट (यानी एनएक्सएम "बेरिएबल और अनचाहे ग्रिड आकार के बीच") अब ज्ञात है ।

किसी को भी 5-colorings कोशिश कर रहा है? ;)

---

रामसे थ्योरी से निम्न प्रश्न उठता है ।

एक पर विचार करें की -coloring -by- ग्रिड ग्राफ। एक से मौजूद है जब भी एक ही रंग के साथ चार कोशिकाओं कुछ आयत के कोनों के रूप में व्यवस्थित कर रहे हैं। उदाहरण के लिए, और एक मोनोक्रोमैटिक आयत बनाते हैं यदि उनके समान रंग हो। इसी तरह, और एक मोनोक्रोमैटिक आयत बनाते हैं, यदि एक ही रंग के साथ रंगा हुआ हो।एन $k$$n$$m$monochromatic rectangle( 1 , 0 ) ( 2 , 2 ) , ( 2 , 6 ) , ( 3 , 6 ) , ( 3 , 2 $(0,0), (0,1), (1,1),$$(1,0)$$(2,2), (2,6), (3,6),$$(3,2)$

प्रश्न : क्या एक वहाँ मौजूद की -coloring -by- ग्रिड ग्राफ कि एक एक रंग आयत शामिल नहीं है? यदि हां, तो स्पष्ट रंग प्रदान करें।१ 17 १ $4$$17$$17$

कुछ ज्ञात तथ्य:

• $16$ -by- है एक एक रंग आयत बिना -colorable, लेकिन ज्ञात रंग योजना के विस्तार करने के लिए प्रकट नहीं होता है -by- मामले। (मैं ज्ञात -by- रंग को छोड़ रहा हूं क्योंकि यह -by - निर्णय लेने के लिए एक लाल हेरिंग होगा ।) $17$ 17 17 16 17 17 $4$$17$$17$$16$$17$$17$$17$
• $18$ -by- है नहीं एक एक रंग आयत बिना -colorable। $19$ $4$
• $17$ -by- और -by- भी अज्ञात मामले हैं; इनका उत्तर दिलचस्प होगा। 18 १ 18 १ $18$$18$$18$

---

डिस्क्लेमर: इस सवाल के सकारात्मक जवाब पर बिल गैसर्च के पास $ 289 (यूएसडी) इनाम है ; आप अपने ब्लॉग के माध्यम से उस तक पहुँच सकते हैं। शिष्टाचार पर एक नोट: मुझे यकीन है कि वह किसी भी सही उत्तर का स्रोत जानता है (एक उठना चाहिए)।

उन्होंने बैरियर II में एक दुम सत्र के दौरान इसे फिर से लाया, और मुझे यह दिलचस्प लगता है, इसलिए मैं यहां सवाल (अपने ज्ञान के बिना, हालांकि मुझे बहुत संदेह है कि वह मन करेगा) को अग्रेषित कर रहा हूं।

Comments

बस कुछ संदर्भों / बिंदुओं को जोड़ना चाहते हैं: ब्लॉग पोस्ट [1,2] के अलावा, बिट-प्लेयर ब्लॉग [3,4] पर अपडेट विस्तृत और व्यावहारिक हैं। इन सभी पदों पर पर्याप्त चर्चा हुई है। [1]: blog.computationalcomplexity.org/2009/11/... [2]: blog.computationalcomplexity.org/2009/12/... [3]: bit-player.org/2009/the-17x17-challenge [4] : bit-player.org/2009/17-x-17-a-nonprogress-report नोट: टिप्पणियों में कोई मार्कडाउन प्रारूपण नहीं है? मैं सुंदर लिंक कैसे बना सकता हूं?

— नीलाधरा

वे कुछ बेहतरीन लिंक हैं। धन्यवाद नीलाधारा! :)

— डैनियल एपॉन

इसी तरह, इसे यहां पोस्ट करने के लिए धन्यवाद - मैंने कुछ समय के लिए इस घटनाक्रम का पालन किया, और इस समस्या में रुचि को फिर से जागृत करना चाहिए!

— नीलाधारा

@ मॉरन: हाँ, आपको केवल उन आयतों पर विचार करने की आवश्यकता है जिनके किनारे कुल्हाड़ियों के समानांतर हैं। BTW, इसमें एक जटिलता-सिद्धांत कोण भी है: बिल ने अनुमान लगाया है कि n ग्रिड द्वारा मी का आंशिक k- रंग दिया जाता है, यह निर्धारित करता है कि क्या रंग आयताकार-मुक्त तरीके से पूरा किया जा सकता है।

— कर्ट

समस्या का स्वतःप्रकार समूह बड़ा है: समाधान-संरक्षण समरूपता, पंक्ति-स्तंभ स्वैप, रंगों के क्रमपरिवर्तन, पंक्तियों के क्रमपरिवर्तन, और स्तंभों के क्रमपरिवर्तन की गणना। क्या यह ज्ञात है कि आकार के कितने अलग-अलग आयत-मुक्त सबसेट हैं ? 71 , 72 , 73 , । । $2\times 4! \times(17!)^2=6.1\times 10^{30}$$71,72,73,...$

— mjqxxxx

Answer 1

आप में से कुछ लोग शायद इसके बारे में जानते हैं, लेकिन 17 x 17 रंग की समस्या को बर्न स्टाइनबैक और क्रिश्चियन पोस्टहॉफ द्वारा हल किया गया है । Gasarch के ब्लॉग पोस्ट देखें यहाँ ।

Comments

इसके अलावा 18x18 ग्रिड मोनोक्रोमैटिक आयतों के बिना 4-रंगीन है ... अब, एकमात्र "लापता टाइल" 21x12 ग्रिड है

— Marzio De

Answer 2

यह वास्तव में सवाल का जवाब नहीं है, लेकिन मैंने 17x17 4-रंग समस्या को 4-CNF (SAT-solvers के लिए मानक DIMACS प्रारूप में) के रूप में एन्कोड किया है और इसे यहां अपलोड किया है । यदि किसी के पास एक अच्छे SAT सॉल्वर (और एक सुपर कंप्यूटर) की पहुँच है, तो शायद हम कुछ प्रगति कर सकते हैं।

नोट: मेरी एन्कोडिंग में, अगर gridpoint असाइन किया गया है रंग ग ∈ { 0 , 1 , 2 , 3 } , तो चर ( 17 मैं + j + 289 ग + 1 ) मूल्य लेता है 1 , और 0 अन्यथा ।$(i,j)$$c \in \{0,1,2,3\}$$(17i+j+289c+1)$$1$$0$

Comments

बहुत बढ़िया। (मेरे पास वास्तव में एक सुपर कंप्यूटर तक पहुंच है।) विशिष्ट मशीन पर इस चीज के रनटाइम का अनुमान लगाने के लिए अगले चरण के रनिंग नंबर। कौन जानता है कि यह उचित के बॉलपार्क में है, लेकिन यह एक अलग दृष्टिकोण है जिसे मैं देख रहा हूं। अब, जाने का समय, सैट-सॉल्वर्स पर हाल का प्रश्न, ताकि मैं पढ़

— सकूं

जिस समस्या के बारे में मैं सोच रहा था, वह #SAT पर थी, इसलिए मैंने एक नया सवाल शुरू किया है SAT पर cstheory.stackexchange.com/questions/1719/… पर

— डैनियल

महान - मुझे पता है कि यह कैसे जाता है!

— लेव Reyzin

@ लीव, ​​बस एक यादृच्छिक अद्यतन: यह 17x17 का रनटाइम प्रतीत होता है, यहां तक ​​कि सबसे अच्छा संभव सुपर कंप्यूटर और वास्तव में तेजी से सैट सॉल्वर का उपयोग करके, अभी भी खगोलीय है। प्लस साइड: यह एक सुपरकंप्यूटर के साथ लक्षित तरीके से हमला करने के कारण के दायरे में प्रकट होता है, अर्थात सटीक आंशिक 1-रंग खोजें जो काम करेगा (पहले से ही रथर्स पर बेथ कुपकिन द्वारा हाथ से किया गया है), फिर सटीक आंशिक 2 खोजें -कलरिंग जो उस से काम करेगा, आदि नीचे की ओर: कोई "त्वरित समाधान" नहीं है; यह सुपरकंप्यूटर निष्पादन के कई चरणों के साथ एक लंबी अवधि की परियोजना होगी

— डैनियल अपॉन

@ जो, हालांकि! यहाँ वर्तमान सर्वश्रेष्ठ अनुमानित रंगों का एक "लीडरबोर्ड" है: लीडरबोर्ड - यह अनुमानित रंगांकन खोजने के लिए काफी अच्छी तरह से नकली काम करता है।

— डेनियल अपॉन

Answer 3

यह कोई वास्तविक उत्तर नहीं है। निश्चित रूप से यहां समस्या सममितों की एक खगोलीय संख्या की उपस्थिति है, जो सर्वश्रेष्ठ सुपर कंप्यूटरों पर सर्वश्रेष्ठ सैट सॉल्वरों को भी मूर्ख बनाती है। ऐसे समरूपता समाधानों के समाधानों और गैर-समाधानों के लिए गैर-समाधानों का मानचित्र बनाते हैं: इस मामले में संभवतः लगभग समाधानों की एक बड़ी संख्या है (यानी असाइनमेंट सभी को संतुष्ट करता है लेकिन थोड़ी मात्रा में खंड), जिनमें से प्रत्येक किसी अन्य द्वारा प्राप्त किया जा सकता है एक उचित समरूपता लागू करना। इसलिए, सॉल्वर समय की एक बड़ी राशि बर्बाद करता है, जो इन लगभग सभी समाधानों की कोशिश करता है, जबकि एक निश्चित अर्थ में वे सभी समान हैं।

समरूपता को उजागर करना ( इस कागज को देखें ) इस कठिन 17x17 उदाहरण पर हमला करने और उस पर कुछ प्रगति करने के लिए खोज करने के लिए एवेन्यू होना चाहिए। मुझे आश्चर्य है कि अगर किसी ने पहले से ही ऐसा करने की कोशिश की।

Comments

अरे, यह बहुत प्यारी है! :) इसे पहले नहीं देखा था।

— डेनियल अपॉन

@ डैनियल: आपका स्वागत है! ;-) आशा करता हूँ की ये काम करेगा।

— जियोर्जियो कैमरानी

मैंने 17x17 समस्या के कई एन्कोडिंग पर अल्उल के "शैटर" प्रोग्राम का उपयोग किया और कुछ सीपीयू सप्ताह को कुछ अलग सैट सॉल्वरों में रखा और कोई भाग्य नहीं था। वॉल्टर संदर्भित कागज वास्तव में शायद एक दर्जन या इस विषय पर लिखी गई कुछ चीज़ों में से पहला है, इसलिए इसमें कुछ ऐसा हो सकता है जो काम करेगा, लेकिन यह कोई कम लटका हुआ फल नहीं है।

— जे कोमिनेक

Answer 4

फिर, एक वास्तविक जवाब नहीं है, लेकिन वैसे भी, यहाँ इस समस्या के लिए ग्राफ रंग एल्गोरिदम को अपनाने पर कुछ विचार हैं।

हमें का कहना है कि एक सेट करते हैं ग्रिड स्थितियों की है एक स्वतंत्र सेट करता है, तो सेट मैं कुछ आयत के चारों कोनों शामिल नहीं है। स्पष्ट तरीके से एक अधिकतम स्वतंत्र सेट को परिभाषित करें । अब निम्नलिखित दावे समान हैं:$I$$I$

1. -by- m ग्रिड को k रंगों सेरंगा जा सकता है।$n$$m$$k$
2. -by- m ग्रिड को k स्वतंत्र सेट केसाथ कवर किया जा सकता है।$n$$m$$k$
3. -by- m ग्रिड को k मैक्सिमम स्वतंत्र सेट केसाथ कवर किया जा सकता है।$n$$m$$k$

अब, दिलचस्प बात यह है कि स्वतंत्र सेट के साथ कवर किया जा सकता है समय तेजी से कवर उत्पाद एल्गोरिथ्म ( Björklund एट अल। 2007 ) का उपयोग कर। यह निश्चित रूप से तुच्छ k m n एल्गोरिथ्म पर एक सुधार है, हालांकि 2 289 अभी भी अस्थिर लगता है।$\log k\ \text{poly}(nm)2^{nm}$$k^{mn}$$2^{289}$

यदि सभी (अधिकतम) स्वतंत्र सेट के परिवार में पर्याप्त रूप से अच्छी संरचना है, तो कवरिंग उत्पाद एल्गोरिदम को ठीक करने के लिए भी संभव हो सकता है।

Comments

दावा 3 कैसे दावा 2 के बराबर है? 17x17 के लिए अधिकतम स्वतंत्र सेट आकार 74 का है, जिस तरह से एलिजाबेथ कुपिन के पेपर (पीडीएफ) में दिखाया गया है । केवल एक ऐसा सेट है, जो पंक्तियों और स्तंभों के क्रमपरिवर्तन की गणना नहीं करता है।

— अशक्त सेट

मेरा मतलब इस अर्थ में है कि कोई भी सुपरसेट स्वतंत्र नहीं है, क्योंकि यह कंप्यूटर विज्ञान में प्रथागत है। अधिकतम शब्द आमतौर पर "सबसे बड़ा संभव आकार" का अर्थ होने पर उपयोग किया जाता है।

— जेन एच। कोरोहेन

उस स्थिति में, अधिकतम स्वतंत्र सेट के सेट में अद्वितीय आकार 74 सेट की सभी पंक्ति / स्तंभ क्रमपरिवर्तन होते हैं, और कोई आकार 73 स्वतंत्र सेट नहीं होते हैं, क्योंकि वे सभी आकार 74 सेट के सबसेट हैं। मुझे यकीन नहीं है कि इसका आकार 67 से 72 है।

— नल सेट

Answer 5

मोनोक्रोमैटिक आयतों के बिना 21x12 ग्रिड 4-रंगीन है, साथ ही !!!

गैसार्च के ब्लॉग पर अंतिम बर्न स्टीनबैक की पोस्ट देखें !

Answer 6

यह बिल बोरिस है। हाय, डैन। मैं एक ऐसे प्रोग्राम पर काम कर रहा हूं जो एक उपयुक्त 17x17 मैट्रिक्स की खोज करता है जो रैमसे की थ्योरी के अनुसार नंबर -4-रंग प्रदर्शित करता है। मैं बिंदुओं के बीच सभी कनेक्शनों को दर्शाने वाली एक स्थिति मैट्रिक्स का उपयोग करता हूं और मुख्य विकर्ण को ठीक करता हूं और मैट्रिक्स की शीर्ष पंक्ति को सभी संभव 16choose8 संयोजनों के माध्यम से चलाने की अनुमति देता हूं; मैं केवल उन मैट्रिसेस को पकड़ता हूं जो निम्नलिखित मानदंडों से गुजरते हैं ... नो-एक्सआरआरआर, नो-आरएक्सआरआर, नो-आरआरआरआरआर, नो-आरआरआरएक्स, नो-एक्सबीबीबी, नो-बीएक्सबीबी, आदि। फिर अगले मैट्रिक्स का उपयोग करके मैट्रिक्स के माध्यम से स्वीप करें सबसे कमजोर मानदंड ... नो-एक्सबीआरआर, नो बीएक्सआरआर, नो-बीबीएक्सआर, नो-बीबीआरएक्स, नो-एक्सआरबीबी, नो-आरएक्सबीबी आदि, कुल 32 स्वीप के लिए जब तक कि कंप्यूटर स्वचालित रूप से रंग भरने के लिए भरता है। मैंने देखा है कि कुल 12780 में से प्रत्येक 400 मैट्रिसेस पर एक संभावित उम्मीदवार है, और उम्मीदवार को खोजने के लिए .95 घंटे या प्रत्येक 8 में से 1 घंटे लगते हैं। 644 सेकंड। यह साथ आ रहा है, लेकिन मेरे पास इसे प्रोग्राम करने के लिए ज्यादा समय नहीं है ... क्योंकि मैं पूर्णकालिक काम करता हूं। हमें एक साथ काम करना चाहिए ... मैं $ 289.00 का उपयोग कर सकता हूं!

Comments

बिल गैसार्च केवल $ 128 का भुगतान करना चाहिए।

— विलियम बोरीस

इस बारे में खेद ... 272/2 या $ 136

— विलियम बोरिस

यह सवाल का जवाब नहीं है। एक टिप्पणी के रूप में सबसे अच्छा।

— सुरेश वेंकट