छोटे परिमित क्षेत्रों पर तेजी से दृढ़ संकल्प

Question

एक छोटे से क्षेत्र में लंबाई चक्रीय दृढ़ीकरण के लिए सबसे अच्छी ज्ञात विधियाँ क्या हैं , कब ? मुझे विशेष रूप से निरंतर-आकार वाले क्षेत्रों, या यहां तक ​​कि में दिलचस्पी है । सामान्य स्पर्शोन्मुख-दक्षता वाले कथन और संदर्भ काफी सराहे जाते हैं।| एफ | ≪ एन एफ = एफ$n$$|\mathbb{F}| \ll n$$\mathbb{F} = \mathbb{F}_2$

पृष्ठभूमि: Let एक फ़ील्ड हो, और । हमें लगता है कि वैक्टर रूप में निर्देशांक अनुक्रमित होने से । एन > 0 यू ∈ एफ एन जेड$\mathbb{F}$$n > 0$$u \in \mathbb{F}^n$$\mathbb{Z}_n$

(चक्रीय) घुमाव लंबाई की से अधिक परिवर्तन ले जा रहा है और outputting , द्वारा परिभाषित सूचकांक अंकगणित के साथ ।एफ यू , वी ∈ एफ एन यू * वी ∈ एफ एन ( यू * v ) मैं : = Σ जे ∈ जेड एन वी जे यू मैं - जे , जेड$n$$\mathbb{F}$$u, v \in \mathbb{F}^n$$u * v \in \mathbb{F}^n$

$$(u * v)_i := \sum_{j \in \mathbb{Z}_n} v_j u_{i - j},$$ $\mathbb{Z}_n$

बड़े क्षेत्रों में चक्रीय संकेतन करने के लिए, डिस्क्रीट फूरियर ट्रांसफॉर्म (DFT) प्रदर्शन करने के लिए हमारी समस्या को कम करने के लिए, और एक FFT एल्गोरिथ्म का उपयोग करने के लिए एक लोकप्रिय तरीका है कन्वेंशन प्रमेय का उपयोग करना।

छोटे परिमित क्षेत्रों के लिए, DFT अपरिभाषित है क्योंकि एकता की कोई आदिम जड़ नहीं है। यह एक बड़े परिमित क्षेत्र में समस्या को हल करके ^ * के आसपास हो सकता है , लेकिन यह स्पष्ट नहीं है कि यह आगे बढ़ने का सबसे अच्छा तरीका है। यहां तक ​​कि अगर हम इस मार्ग को लेते हैं, तो यह जानना अच्छा होगा कि क्या किसी ने पहले से ही विवरण का काम किया है (उदाहरण के लिए, किस बड़े क्षेत्र का उपयोग करना है और कौन सा एफएफटी एल्गोरिदम लागू करना है)।$n$$^*$

जोड़ा गया:

$^*$ हमारे कन्वेंशन को 'एम्बेड' करके, मेरा मतलब दो चीजों में से एक है। पहला विकल्प: एक विस्तार क्षेत्र में पास हो सकता है जिसमें एकता की वांछित आदिम जड़ों को स्थगित किया जाता है, और वहां दृढ़ संकल्प करते हैं।

दूसरा विकल्प: यदि हमारा शुरुआती क्षेत्र चक्रीय है, तो एक चक्रीय क्षेत्र $\mathbb{F}_{p'}$ को बड़ी विशेषता के पास भेज सकता है - इतना बड़ा कि यदि हम अपने वैक्टर को $\mathbb{F}_{p'}$ , कोई "रैपपाउंड" नहीं होता है।
(मैं अनौपचारिक हो रहा हूं, लेकिन केवल इस बारे में सोचता हूं कि कैसे, \ mathbb {F} _2 पर एक कनवल्लुशन की गणना करने के लिए $\mathbb{F}_2$, हम स्पष्ट रूप से सिर्फ \ mathbb {Z} पर एक ही कनविक्शन कर सकते हैं $\mathbb{Z}$, और फिर उत्तर 2 ले सकते हैं।)

यह भी जोड़ा गया:

FFT और संबंधित समस्याओं के लिए कई एल्गोरिदम विशेष रूप से n के 'अच्छे' मूल्यों के लिए काम करते हैं $n$(और मैं इस बेहतर स्थिति के साथ स्थिति को समझना चाहूंगा)।

लेकिन यदि कोई के विशेष मूल्यों का लाभ उठाने का प्रयास नहीं करता है , तो चक्रीय कनवल्शन समस्या मूल रूप से समतुल्य है ( साधारण कटौती द्वारा में रैखिक ब्लो-अप को शामिल करते हुए) साधारण अभिसरण के लिए; यह बदले में पर गुणांक वाले बहुपद के गुणन के बराबर है । एन एफ$n$$n$$\mathbb{F}_p$

इस तुल्यता से, कोई भी परिणाम का उपयोग कर सकता है, उदाहरण के लिए, वॉन ज़ुर गैथेन और गेरहार्ड (कैंटर के काम पर निर्माण) का यह पेपर , जो एक विस्तार-क्षेत्र दृष्टिकोण का उपयोग करके एक सर्किट जटिलता को प्राप्त करने के लिए । वे विशेष रूप से स्पष्ट IMO में अपनी सीमा नहीं बताते हैं, लेकिन भी बदतर है, यहां तक ​​कि । क्या कोई बेहतर कर सकता है?एन⋅लोग इन2nएफ$\tilde{O}_p(n)$$n \cdot \log^2 n$$\mathbb{F}_2$

Comments

शायद आपको टॉड मेटेर की थीसिस में कुछ उपयोगी लगता है ।

— jp

मैंने मनमाने ढंग से परिमित क्षेत्रों पर DFT की गणना के लिए MathOverflow पर एक समान प्रश्न पूछा ; आपको उत्तर प्रासंगिक लग सकते हैं।

— बिल ब्रैडली

Answer 1

एलेक्सी पर्पसोव द्वारा हाल ही में एक पेपर कला की स्थिति को प्रकट करता है। (यह मेरे द्वारा बोली जाने वाली सीमा को प्राप्त करने वाला पहला नहीं है, लेकिन यह उन्हें मनमाने ढंग से खेतों के लिए एकीकृत तरीके से प्राप्त करता है, और उतना ही महत्वपूर्ण रूप से, यह सीमा को स्पष्ट रूप से बताता है, पी। 3. देखें)

हम कर सकते हैं गुणा दो डिग्री n एक मनमाना क्षेत्र पर बहुआयामी पद एफ का उपयोग कर हे ( एन लॉग इन करें n ) में गुणा एफ और हे ( एन लॉग इन करें n लॉग इन करें लॉग एन ) में अतिरिक्त एफ । यह मूल रूप से Schonhage-Strassen की वजह से है (चार के लिए। ≠ 2 ) और चार के लिए Schonhage। 2. जैसा कि मैंने उल्लेख किया है, इसका मतलब चक्रीय दृढ़ संकल्प के लिए समान सीमा है। Pospelov यह भी बताता है, "हम वर्तमान में [ऊपर] के ऊपरी बाउंड के साथ किसी भी एल्गोरिदम से अवगत नहीं हैं जो कि लगातार डीएफटी अनुप्रयोगों पर आधारित नहीं हैं ..."$\bullet$$n$$\mathbb{F}$$O(n \log n)$$\mathbb{F}$$O(n \log n \log \log n)$$\mathbb{F}$$\neq 2$

कैंटर और कल्टोफेन ने इन परिणामों को सामान्यीकृत किया, जो कि मनमाने ढंग से बीजगणित (केवल खेतों के लिए) की सीमा को दर्शाता है।$\bullet$

यदि F उचित क्रम के असतत फूरियर ट्रांसफॉर्म का समर्थन करता है, अर्थात, यदि F मेंएकताकी एक मूल N -थ जड़ है, जहाँ N काफी बड़ा है (मेरा मानना ​​है कि N = O ( n ) पर्याप्त है) और N 2 की शक्ति है / 3 , तब हम O ( n ) गुणन और O ( n log n ) परिवर्धन केसाथ बहुपद गुणन कर सकते हैं। अन्य विशेष गुणों वाले क्षेत्रों के लिए कई अन्य सुधार संभव हैं।$\bullet$$\mathbb{F}$$\mathbb{F}$$N$$N$$N = O(n)$$N$$O(n)$$O(n \log n)$

ऐसा लगता है कि यह प्रशंसनीय है, लेकिन अज्ञात है, क्यापूर्णांक गुणक मेंहाल ही मेंसुधार(डी एट अल द्वारा एक अलग तरीके सेreproved)फिनीलक्षेत्रों से अधिक बहुपद गुणन एल्गोरिदम को जन्म दे सकता है। क्या कोई टिप्पणी कर सकता है?$\bullet$

टॉड मेटेर की थीसिस भी एफएफटी साहित्य और बहुपद गुणन के लिए अनुप्रयोगों को समझने के लिए एक उत्कृष्ट संसाधन की तरह लगता है (धन्यवाद जुग!) लेकिन आपको वह ढूंढना होगा जो आप ढूंढ रहे हैं।

Comments

मुझे लगता है कि आप फारेर और डे पर सही हैं। डी एफएफटी के जटिल संस्करण का उपयोग नहीं करता है और तकनीकी रूप से आसान प्रतीत होता है, हालांकि दोनों एल्गोरिदम समान रूप से समान हैं।

— बनाम

यदि आप लॉग कारकों के बारे में चिंतित हैं तो आपको मशीन मॉडल के बारे में सावधान रहने की आवश्यकता है। फ्यूरर का हालिया सुधार विशेष रूप से ट्यूरिंग मशीनों के लिए है। एक यूनिट कॉस्ट रैम मॉडल के लिए (भले ही गुणन के बिना, लेकिन निरंतर समय की खोज के साथ) आपको बिट पैकिंग और क्लासिक तकनीकों का उपयोग करके F_2 पर गुणा करने के लिए दो n बिट संख्या और इसी प्रकार कम समय जटिलताओं के लिए O (n) समय मिलता है।

— राफेल