पीसीएफ में निरंतरता कार्यात्मक के मापांक की अपरिभ्यता का संदर्भ?

Question

क्या कोई मुझे पीसीएफ में निरंतरता कार्यात्मकता के मापांक की गैर-निश्चितता के संदर्भ में इंगित कर सकता है? \ newcommand {\ bool} {\ mathsf {bool}}$\newcommand{\N}{\mathbb{N}}$ $\newcommand{\bool}{\mathsf{bool}}$

कुछ विशिष्ट मुद्दों को अधिक विस्तार से बताते हुए, एक बहुत अच्छा ब्लॉग पोस्ट लिखा है , लेकिन मैं इस प्रश्न के संदर्भ में कुछ संदर्भ देने के लिए अपनी पोस्ट को संक्षेप में प्रस्तुत करूँगा। बेयर स्पेस $B$ प्राकृतिक संख्या अनुक्रमों का समुच्चय है, या समान रूप से भीलों से नलिकाएं \ N \ to \ N के कार्यों का सेट है $\N \to \N$। इस प्रश्न के लिए, हम अपना ध्यान केवल उन्हीं धाराओं तक सीमित रखेंगे, जो संगणक हैं।

अब, एक फ़ंक्शन निरंतर है यदि प्रत्येक लिए , का मान केवल के तत्वों की एक सीमित संख्या पर निर्भर करता है , और यह कम्प्यूटेशनल रूप से निरंतर है यदि हम वास्तव में एक ऊपरी गणना कर सकते हैं कितने तत्वों की आवश्यकता है पर बाध्य । अभिकलन के कुछ मॉडलों में, वास्तव में एक प्रोग्राम लिखना संभव है जो Baire स्थान और Baire स्थान के एक तत्व पर एक कम्प्यूटेशनल फ़ंक्शन लेता है, और धारा के तत्वों की संख्या पर ऊपरी सीमा को वापस देता है।$f : B \to \bool$$xs \in B$$f(xs)$$xs$$xs$$\mathsf{modulus} : (B \to \bool) \to B \to \N$

इसे लागू करने के लिए एक चाल स्थानीय भंडारण का उपयोग करने के लिए देखी गई धारा में अधिकतम सूचकांक दर्ज करने के लिए है:

let modulus f xs =
  let r = ref 0 in
  let ys = fun i -> (r := max i !r; xs i) in 
    f ys;
    !r

बेशक, ysतर्क अब विशुद्ध रूप से कार्यात्मक कार्यक्रम नहीं है। इस कार्यक्रम में मेरी दिलचस्पी इस तथ्य से है कि यह केवल स्थानीय स्टोर का उपयोग करता है, और इसलिए यह अत्यधिक शुद्ध है। मैं (अन्य बातों के अलावा) उच्च-क्रमिक प्रोग्रामिंग पर काम करता हूं, और मैं उन प्रकार के सिद्धांतों को डिजाइन कर रहा हूं जो इसे शुद्ध कार्य के रूप में वर्गीकृत कर सकते हैं।

और भी व्यावहारिक उदाहरण हैं, जिसमें संस्मरण और कनेक्शन पूलिंग जैसी चीजें शामिल हैं, लेकिन मुझे यह विशेष रूप से सुंदर उदाहरण लगता है।

Answer 1

इसका प्रमाण कहीं न कहीं ट्रॉल्स्ट्रा और वैन डेलेन, कंस्ट्रक्टिविज्म इन मैथमेटिक्स, वॉल्यूम 2, आई सपोस में कहीं छिपा हुआ है। अधिक संभावना है, यह ट्रोलेस्ट्रा की जांच में पाया जा सकता है , यदि आप इस पर अपना हाथ रख सकते हैं।

यह इस प्रकार चलता है। मान लीजिए कि हम फिक्सपॉइंट ऑपरेटरों के साथ टाइप किए गए -calculus में निरंतरता के मापांक को परिभाषित कर सकते हैं । तब हम इसकी व्याख्या एक डोमेन-थ्योरिटिकल रियलिज़ाइबिलिटी मॉडल में कर सकते हैं, उदाहरण के लिए जहां स्कॉट का ग्राफ मॉडल है। इस मॉडल में चुनाव सिद्धांत मान्य है। लेकिन यह ज्ञात है कि एक साथ ऑफ फंक्शन (जो हर वास्तविकता मॉडल में है) निरंतरता के मापांक के अस्तित्व के साथ असंगत है। अगर मुझे एक पल भी मिलता है, तो मैं बाद में विवरण भर दूंगा।पी ई आर ( पी ω ) पी ω एक सी 2 , 0 ए सी 2 , $\lambda$$\mathsf{PER}(\mathcal{P}\omega)$$\mathcal{P}\omega$$AC_{2,0}$$AC_{2,0}$

एम। एस्कोर्डो, टी। स्ट्रेचर भी देखें: डोमेन- रियलाइजबिलिटी में सभी कार्य निरंतर नहीं होते हैं , गणितीय लॉजिक त्रैमासिक में प्रकाशित होते हैं , वॉल्यूम 48, अंक पूरक 1, पृष्ठ 41-44, 2002 ।

Comments

मैंने इस के बारे में जानकारी ली। यह ट्रॉयलस्ट्रा और वैन डेलेन के "कंस्ट्रक्टिविज्म इन मैथमेटिक्स, वॉल्यूम 2", सेक्शन 6.10, पेज 500 में है। मुझे लगता है कि मैं इसे अपने ब्लॉग पर डालूंगा क्योंकि इसे खोजना बहुत मुश्किल है।

— एंड्रेज बॉयर

धन्यवाद! क्या है स्वयंसिद्ध? $AC_{2,0}$

— नील कृष्णस्वामी

( ∀ एक्स ∈ एक्स ∃ y ∈ वाई । आर ( एक्स , वाई ) ) ⇒ ∃ च ∈ वाई एक्स ∀ एक्स ∈ एक्स । R ( x , f ( x ) ) A C 2 , 0 A C ( N N N , N$AC(X,Y)$ है , और उसके बाद है । $(\forall x \in X \exists y \in Y . R(x,y)) \Rightarrow \exists f \in Y^X \forall x \in X . R(x, f(x))$$AC_{2,0}$$AC(\mathbb{N}^{\mathbb{N}^\mathbb{N}}, \mathbb{N})$

— बाउर

ठीक है, यहाँ सबूत का आधा हिस्सा है: math.andrej.com/2011/07/27/…

— Andrej Bauer