शून्य प्रकारों के लिए समान कानून क्या हैं?

डिस्क्लेमर : जब मैं टाइप थ्योरी की परवाह करता हूं, तो मैं खुद को टाइप थ्योरी का विशेषज्ञ नहीं मानता।

बस टाइप किए गए लैम्ब्डा कैलकुलस में, शून्य प्रकार में कोई कंस्ट्रक्टर और एक अद्वितीय एलिमिनेटर नहीं है:

\frac{Γ ⊢ M : 0}{Γ ⊢ i n i t i a l (M) : A}

$\frac{\Gamma \vdash M \colon 0}{\Gamma \vdash initial (M) \colon A}$

एक संप्रदायिक दृष्टिकोण से, समीकरण स्पष्ट है (जब प्रकार समझ में आता है)। $initial (M_1) = initial(M_2)$

हालाँकि, उस दृष्टिकोण से, मैं यह भी घटा सकता हूँ, जब , फिर: । यह कटौती अधिक मजबूत लगती है, हालांकि एक विशेष मॉडल जो इसे दिखाता है वह मुझे हटा देता है। $M,M' \colon 0$ $M = M'$

(हालांकि मेरे पास कुछ सबूत-सिद्धांत संबंधी अंतर्ज्ञान है: इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप किसी निवासी को प्राप्त करने के लिए किस विरोधाभास का उपयोग करते हैं, लेकिन अलग-अलग विरोधाभासी प्रमाण हो सकते हैं।)

तो मेरे सवाल हैं:

शून्य प्रकार के मानक मानक कानून क्या हैं?
क्या उनमें से किसी को या कानूनों के रूप में वर्गीकृत किया गया है ? $\eta$ $\beta$

— ओहद काम्मर
स्रोत

जवाबों:

खाली प्रकार के लिए मानक समान नियम है, जैसा कि आप , । मानक सेट-सिद्धांतवादी मॉडल के बारे में सोचें, जहां सेट की व्याख्या प्रकारों से की जाती है: योग प्रकार असमान यूनियनों हैं, और खाली प्रकार खाली सेट है। इसलिए कोई भी दो कार्य को भी समान होना चाहिए, क्योंकि उनके पास एक सामान्य ग्राफ़ (जैसे, खाली ग्राफ़) होता है। । $\Gamma \vdash e = e' : 0$ $e,e' : \Gamma \to 0$
खाली प्रकार में no नियम हैं, क्योंकि इसके लिए कोई परिचय प्रपत्र नहीं हैं। इसका एकमात्र समान नियम एक -rule है। हालांकि, इस बात पर निर्भर करते हुए कि आप एटा-नियम की कितनी सख्ती से व्याख्या करना चाहते हैं, आप चाहें तो इसे और कमिंग रूपांतरण में बदल सकते हैं। सख्त -rule है: $\beta$ $\eta$ $\eta$ $\eta$

$e = i n i t i a l (e)$ $e = \mathrm{initial}(e)$
आने वाला सहवास है:

$C [i n i t i a l (e)] = i n i t i a l (e)$ $C[\mathrm{initial}(e)] = \mathrm{initial}(e)$

संपादित करें:

यहां बताया गया है कि शून्य प्रकार पर वितरण का अर्थ है कि सभी मानचित्र _ की समानता है । $A \to 0$

ठीक अंकन करने के लिए, के लिखने जाने से अद्वितीय मानचित्र होने के लिए करने के लिए , और के लिखने जाने से कुछ नक्शे होने के लिए करने के लिए । $!_A : 0 \to A$ $0$ $A$ $e : A \to 0$ $A$ $0$

अब, वितरण की स्थिति कहती है कि एक समरूपता । चूंकि प्रारंभिक वस्तुएं आइसोमोर्फिज्म तक अद्वितीय हैं, इसका मतलब यह है कि अपने आप में एक प्रारंभिक वस्तु है। अब हम इसका उपयोग यह दिखाने के लिए कर सकते हैं कि स्वयं एक प्रारंभिक वस्तु है। $i : 0 \simeq A \times 0$ $A \times 0$ $A$

चूँकि एक प्रारंभिक वस्तु है, हम नक्शे जानते हैं और बराबर हैं। $A \times 0$ $\pi_1 : A \times 0 \to A$ $!_A \circ \pi_2$

अब, यह दिखाने के लिए कि एक प्रारंभिक वस्तु है, हमें इसके और बीच एक समरूपता दिखाने की आवश्यकता है । आइए, और से आइसमोरफिज़्म के घटकों के रूप में चुनें। हम उस को दिखाना चाहते हैं और । $A$ $0$ $e : A \to 0$ $!_A : 0 \to A$ $e \circ !_A = id_0$ $!_A \circ e = id_A$

यह दिखा रहा है कि तत्काल है, क्योंकि टाइप से का केवल एक नक्शा है , और हम जानते हैं कि हमेशा एक पहचान मानचित्र होता है। $e \circ !_A = id_0$ $0 \to 0$

अन्य दिशा दिखाने के लिए, ध्यान दें

\begin{array}{lcll} i d_{A} & = & π_{1} \circ (i d_{A}, e) & Product equations \\ = & !_{A} \circ π_{2} \circ (i d_{A}, e) & Since A \times 0 is initial \\ = & !_{A} \circ e & Product equations \end{array}

$\begin{array}{lcll} id_A & = & \pi_1 \circ (id_A, e) & \mbox{Product equations} \\ & = & !_A \circ \pi_2 \circ (id_A, e) & \mbox{Since $A\times 0$ is initial} \\ & = & !_A \circ e & \mbox{Product equations} \end{array}$

इसलिए हमारे पास एक समरूपता , और इसलिए एक प्रारंभिक वस्तु है। इसलिए नक्शे से अद्वितीय हैं, और इसलिए यदि आपके पास , तो । $A \simeq 0$ $A$ $A \to 0$ $e,e' : A \to 0$ $e = e'$

EDIT 2: यह पता चला है कि स्थिति मैं पहले से सोचा था की तुलना में सुंदर है। मैंने उलरिच बुकोल्ज़ से सीखा कि यह स्पष्ट है ("पूर्वव्यापी स्पष्ट रूप से गणितीय अर्थ में") कि प्रत्येक biCCC वितरण योग्य है। यहाँ एक प्यारा सा प्रमाण है: $\newcommand{\Hom}{\mathrm{Hom}}$

\begin{array}{lcl} H o m ((A + B) \times C, (A + B) \times C) & ≃ & H o m ((A + B) \times C, (A + B) \times C) \\ ≃ & H o m ((A + B), C \to (A + B) \times C) \\ ≃ & H o m (A, C \to (A + B) \times C) \times H o m (B, C \to (A + B) \times C) \\ ≃ & H o m (A \times C, (A + B) \times C) \times H o m (B \times C, (A + B) \times C) \\ ≃ & H o m ((A \times C) + (B \times C), (A + B) \times C) \end{array}

$\begin{array}{lcl} \Hom((A + B) \times C, (A + B) \times C) & \simeq & \Hom((A + B) \times C, (A + B) \times C) \\ & \simeq & \Hom((A + B), C \to (A + B) \times C) \\ & \simeq & \Hom(A , C \to (A + B) \times C) \times \Hom(B, C \to (A + B) \times C) \\ & \simeq & \Hom(A \times C, (A + B) \times C) \times \Hom(B \times C, (A + B) \times C) \\ & \simeq & \Hom((A \times C) + (B \times C), (A + B) \times C) \end{array}$

— नील कृष्णस्वामी
स्रोत

1 के बारे में: मैं एक प्रारंभिक वस्तु के रूप में एक शून्य प्रकार के बारे में सोचता हूं। प्रारंभिक वस्तुओं कई तीर हो सकता है में उन्हें, लेकिन केवल एक तीर हो सकता है बाहर उनमें से। दूसरे शब्दों में, मुझे तुरंत कोई कारण नहीं दिखता है कि द्वि-सीसीसी होने का तात्पर्य है कि सबटर्मिनल होना। वहाँ एक है?

— ओहद कम्मर

हाँ: तथ्य यह है कि रकम के साथ STLC एक की जरूरत है वितरण द्वि-सीसीसी ( ) यह व्याख्या करने के लिए, और 0 के लिए विशिष्टता प्रकार उस के शून्य संस्करण के रूप में आता है। (रकम के लिए उन्मूलन नियम की व्याख्या लिखने की कोशिश करें, और आप इसे देखेंगे।)

(X \times A) + (X \times B) ≃ X \times (A + B)

$(X \times A) + (X \times B) \simeq X \times (A+B)$

— नील कृष्णास्वामी

मैं अनुसरण नहीं करता। वितरण की मात्रा _ विपरीत होती है। ऐसा क्यों होता है कि सबटर्मिनल है?

i n i t i a l : 0 \to A \times 0

$initial : 0 \to A\times 0$

0

$0$

— ओहद कम्मर

अहा! उस प्रमाण के लिए धन्यवाद! और धैर्य के लिए भी!

— ओहद कम्मर

संपादन 2 के बारे में: वामपंथी विज्ञापन कॉलिज़्म को संरक्षित करते हैं। यदि श्रेणी कार्टेशियन बंद है, तो को छोड़ दिया जाता है तो का योग ।

(-) \times C

$(-)\times C$

(-)^{C}

$(-)^C$

(A + B) \times C

$(A+B)\times C$

A \times C + B \times C

$A\times C + B\times C$

— ओहद कम्मर

समीकरण केवल इस तथ्य को पकड़ता है कि में सबसे अधिक एक तत्व है, इसलिए मुझे नहीं लगता कि नील पूरी कहानी पर कब्जा कर रहा है। मैं निम्न प्रकार को स्वयंसिद्ध करूंगा । $e = e' : 0$ $0$ $0$

कोई परिचय नियम नहीं हैं। उन्मूलन नियमसमीकरण जहाँ और । पूरे किसी भी प्रकार के होते हैं। समीकरण इस प्रकार से प्रेरित है: यदि आप शब्द बनाने में कामयाब रहे तो द्वारा बसा हुआ है , लेकिन यह बेतुका है इसलिए सभी समीकरण होल्ड रहते हैं। तो उसी प्रभाव को प्राप्त करने का एक और तरीका समीकरण

\frac{e : 0}{{m a g i c}_{τ} (e) : τ} .

$\frac{e : 0}{\mathtt{magic}_\tau(e) : \tau}.$

{m a g i c}_{τ} (e) = e^{'} : τ

$\mathtt{magic}_\tau(e) = e' : \tau$

e : 0

$e : 0$

e^{'} : τ

$e' : \tau$

τ

$\tau$

{m a g i c}_{τ} (e)

$\mathtt{magic}_\tau(e)$

0

$0$

e

$e$

x : 0, Γ ⊢ e_{1} = e_{2} : τ

$x : 0, \Gamma \vdash e_1 = e_2 : \tau$ जो शायद इतना अच्छा नहीं है क्योंकि यह संदर्भ के साथ मेल खाता है। दूसरी ओर, यह और अधिक स्पष्ट रूप से दिखाता है कि हम इस तथ्य को बता रहे हैं कि से तक कोई भी दो आकार समान हैं ( एक CCC में एक व्याकुलता है)।

0

$0$

τ

$\tau$

Γ

$\Gamma$

— प्रेमिका बाउर
स्रोत

हाय लेडी, आपके द्वारा सुझाया गया समीकरण मेरे द्वारा दिए गए रूपांतरण रूपांतरण से व्युत्पन्न है। से व्युत्पत्ति है , के बाद से वास्तव में होते की जरूरत नहीं है बाएं पद पर। सादृश्य है, जहां एक मामले विश्लेषण का परिणाम का उपयोग नहीं ठीक है अगर तुम दोनों शाखाओं में भी ऐसा ही।

m a g i c (e) = e^{'}

$\mathtt{magic}(e) = e'$

C [m a g i c (e)] = m a g i c (e)

$C[\mathtt{magic}(e)] = \mathtt{magic}(e)$

m a g i c (e)

$\mathtt{magic}(e)$

C [c a s e (e, x . e^{'}, y . e^{″})] = c a s e (e, x . C [e^{'}], y . C [e^{″}])

$C[\mathtt{case}(e,x.\;e',y.\;e'')] = \mathtt{case}(e, x.\;C[e'], y.\;C[e''])$

— नील कृष्णास्वामी

मुझे जोड़ना चाहिए, हालांकि, मैं संदर्भों के साथ प्रस्तुति को बेहतर ढंग से पसंद करता हूं - वास्तव में, मुझे लगता है कि सामान्य तौर पर यह सबसे साफ है अगर आप वास्तव में संदर्भ में सम मूल्यों पर समीकरणों की अनुमति देते हैं! वह वास्तविक सबूतों के लिए बहुत अच्छा है, जो कम्यूटिंग कन्वर्सेशन, IMO वाले गेम की तुलना में है। (IIRC, यह स्थिर प्रतिपिंडों की अतिरिक्त धारणा को जोड़ने के बराबर है, लेकिन सभी मॉडलों के लिए मैं यथोचित रूप से इस धारण की देखभाल कर सकता हूं।)

— नील कृष्णस्वामी

आह हाँ, उत्कृष्ट। रूपांतरणों के बारे में सोचने में मुझे बहुत देर हो गई, इसलिए मैंने बहाना किया कि आपने वह भाग नहीं लिखा है। अब ओहद अपनी पिक ले सकता है।

— गर्लफ्रेंड बाउर

मैं मॉडलों के एक वर्ग में कुछ संरचनात्मक ( , , आदि) नियमों को मान्य कर रहा था । जबकि मुझे पता है कि मेरे द्वारा दिए गए समीकरणों का सेट पूरा नहीं था (आपको इसके लिए जटिल मूल्यों और स्टैक के साथ CBPV की आवश्यकता है), मैं कम से कम मानक समीकरणों पर कब्जा करना चाहता था जो पूर्ण समीकरणों को साबित करने के लिए उपयोग किए जाएंगे यदि मेरे पास पर्याप्त समीकरण हैं। दूसरे शब्दों में, मैं शून्य प्रकार के लिए मानक समान कानून चाहता था।

η

$\eta$

β

$\beta$

— ओहद कम्मर

शून्य प्रकार के लिए कोई मानक समसामयिक कानून नहीं हैं। तर्कवादियों के खाली ब्रह्मांड से लोग हमेशा डरते रहे हैं और कंप्यूटर वैज्ञानिक हमेशा खाली प्रकार से डरते रहे हैं। यहां तक कि उन्होंने खाली प्रकार से इनकार करने के लिए एक गैर-खाली प्रकार को "शून्य" नाम दिया।

— प्रेमिका बाउर