खाली प्रकार के लिए मानक समान नियम है, जैसा कि आप , । मानक सेट-सिद्धांतवादी मॉडल के बारे में सोचें, जहां सेट की व्याख्या प्रकारों से की जाती है: योग प्रकार असमान यूनियनों हैं, और खाली प्रकार खाली सेट है। इसलिए कोई भी दो कार्य को भी समान होना चाहिए, क्योंकि उनके पास एक सामान्य ग्राफ़ (जैसे, खाली ग्राफ़) होता है। ।ई , ई ' : गामा → 0Γ⊢e=e′:0e,e′:Γ→0
खाली प्रकार में no नियम हैं, क्योंकि इसके लिए कोई परिचय प्रपत्र नहीं हैं। इसका एकमात्र समान नियम एक -rule है। हालांकि, इस बात पर निर्भर करते हुए कि आप एटा-नियम की कितनी सख्ती से व्याख्या करना चाहते हैं, आप चाहें तो इसे और कमिंग रूपांतरण में बदल सकते हैं। सख्त -rule है:η η β ηβηηη
e=initial(e)
आने वाला सहवास है:
C[initial(e)]=initial(e)
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यहां बताया गया है कि शून्य प्रकार पर वितरण का अर्थ है कि सभी मानचित्र _ की समानता है ।A→0
ठीक अंकन करने के लिए, के लिखने जाने से अद्वितीय मानचित्र होने के लिए करने के लिए , और के लिखने जाने से कुछ नक्शे होने के लिए करने के लिए ।0 ए ई : ए → 0 ए 0!A:0→A0Ae:A→0A0
अब, वितरण की स्थिति कहती है कि एक समरूपता । चूंकि प्रारंभिक वस्तुएं आइसोमोर्फिज्म तक अद्वितीय हैं, इसका मतलब यह है कि अपने आप में एक प्रारंभिक वस्तु है। अब हम इसका उपयोग यह दिखाने के लिए कर सकते हैं कि स्वयं एक प्रारंभिक वस्तु है।ए × 0 एi:0≃A×0A×0A
चूँकि एक प्रारंभिक वस्तु है, हम नक्शे जानते हैं और बराबर हैं।π 1 : एक × 0 → एक ! एक ∘ π 2A×0π1:A×0→A!A∘π2
अब, यह दिखाने के लिए कि एक प्रारंभिक वस्तु है, हमें इसके और बीच एक समरूपता दिखाने की आवश्यकता है । आइए, और से आइसमोरफिज़्म के घटकों के रूप में चुनें। हम उस को दिखाना चाहते हैं
और ।0 ई : ए → 0 ! एक : 0 → एक ई ∘ ! A = i d 0 ! एक ∘ ई = मैं d एकA0e:A→0!A:0→Ae∘!A=id0!A∘e=idA
यह दिखा रहा है कि तत्काल है, क्योंकि टाइप से का केवल एक नक्शा है , और हम जानते हैं कि हमेशा एक पहचान मानचित्र होता है। 0 → 0e∘!A=id00→0
अन्य दिशा दिखाने के लिए, ध्यान दें
idA===π1∘(idA,e)!A∘π2∘(idA,e)!A∘eProduct equationsSince A×0 is initialProduct equations
इसलिए हमारे पास एक समरूपता , और इसलिए एक प्रारंभिक वस्तु है। इसलिए नक्शे से अद्वितीय हैं, और इसलिए यदि आपके पास , तो ।ए ए → 0 ई , ई ' : एक → 0 ई = ई 'A≃0AA→0e,e′:A→0e=e′
EDIT 2: यह पता चला है कि स्थिति मैं पहले से सोचा था की तुलना में सुंदर है। मैंने उलरिच बुकोल्ज़ से सीखा कि यह स्पष्ट है ("पूर्वव्यापी स्पष्ट रूप से गणितीय अर्थ में") कि प्रत्येक biCCC वितरण योग्य है। यहाँ एक प्यारा सा प्रमाण है:
Hom((A+B)×C,(A+B)×C)≃≃≃≃≃Hom((A+B)×C,(A+B)×C)Hom((A+B),C→(A+B)×C)Hom(A,C→(A+B)×C)×Hom(B,C→(A+B)×C)Hom(A×C,(A+B)×C)×Hom(B×C,(A+B)×C)Hom((A×C)+(B×C),(A+B)×C)