क्रेग इंटरपोलेंट्स की गणना के लिए कौन से एल्गोरिदम को जाना जाता है?

Question

क्या कंप्यूटिंग प्रक्षेपों के लिए एल्गोरिदम का कोई सर्वेक्षण है? केवल एक एल्गोरिथ्म पर कागजात के बारे में क्या? जिस मामले में मैं सबसे ज्यादा दिलचस्पी रखता हूं, वह है और , साथ ही बाधा भी है कि इंटरपोलेंट जितना संभव हो उतना छोटा है। (मैं 2005 से मैकमिलन के पेपर के बारे में जानता हूं , जिसमें बताया गया है कि क्वांटिफायर से परहेज करते हुए इंटरपोलेंट कैसे प्राप्त करें।)C = $A=\lnot p\land q$$C=q$

पृष्ठभूमि: क्रेग की प्रक्षेप प्रमेय (1957) का कहना है कि अगर है, जहां एक (है fol में) सूत्र और के एक सूत्र है , फिर वहाँ एक सूत्र है ऐसा है कि और ⊢ टी सी बी → सी । फॉर्मूला बी एक है क्रेग interpolant की एक और सी (या वैकल्पिक परिभाषा, की में, एक और ¬ सी )। का एक तुच्छ interpolant ¬$\vdash_{T_A\cup T_C}A\to C$$A$ सी टी $T_A$$C$$T_C$$B$$\vdash_{T_A}A\to B$$\vdash_{T_C}B\to C$$B$$A$$C$$A$$\lnot C$ और क्यू है क्ष ,लेकिनमैं एक चाहतेछोटेinterpolant, के कुछ उचित परिभाषा के लिए 'छोटे' (वाक्यात्मक आकार के रूप में इस तरह के)। (इंटरपोलेंट के कई उपयोग हैं और, यदि आप उत्सुक हैं, तो यहाँएक है।)$\lnot p\land q$$q$$q$

प्रेरणा: यह सत्यापन स्थिति निर्माण के माध्यम से (बहुत) वृद्धिशील कार्यक्रम सत्यापन में उपयोगी होगा।

Comments

विभिन्न प्रूफ सिस्टम में दिए गए प्रूफ से इंटरपोलेंट को खोजने की जटिलता के बारे में विभिन्न परिणाम हैं। कुछ कमजोर प्रूफ सिस्टम में इंटरपोलेंट को कुशलता से ढूंढना संभव है (और फिर हम कहते हैं कि प्रूफ-सिस्टम व्यवहार्य प्रक्षेप संपत्ति को संतुष्ट करता है) लेकिन मजबूत सिस्टम के पास क्रिप्टो में प्रशंसनीय परिकल्पनाओं को संभालने वाली संपत्ति नहीं है। मैं संक्षेप में, इंटरपोलेंट को खोजने के लिए एल्गोरिथ्म दिखाने के लिए उपयोग किए जा रहे प्रूफ सिस्टम पर निर्भर करता हूं । $A \to C$

— केवह

मेरा कुछ छूट रहा है। तुच्छ इंटरपोलेंट का आकार 1 है। यह कोई छोटा कैसे हो सकता है? $q$

— एमिल जेकाबेक

@ EmilJe :ábek: और q एक मेटा-चर हैं, जो सूत्र के लिए खड़े होते हैं। उदाहरण के लिए, आप हो सकता था पी ≡ ( ( एक्स = 1 ) ∨ पी आर मैं हूँ ई ( एक्स ) ) और क्ष ≡ ( ( एक्स = 1 ) ∧ ओ डी डी ( एक्स ) ) , जो मामले में च एक एल एस ई का एक अच्छा interpolant है ¬ पी ∧ $p$$q$$p\equiv((x=1)\lor{\it prime}(x))$$q\equiv((x=1)\land{\it odd}(x))$${\bf false}$$\lnot p\land q$ और $q$क्योंकि unsatisfiable है। मेरे आवेदन में, पी एक पुरानी सत्यापन स्थिति है , और कार्यक्रम को थोड़ा संपादित करने के बाद q प्राप्त सत्यापन स्थिति है। $\lnot p\land q$$p$$q$

— रादु GRIGore 20

समझा। मैं नोटेशन से काफी उलझन में हूं। क्या ऐसा कारण है कि लोअर-केस हैं, और A , B , C अपर-केस? $p,q$$A,B,C$

— एमिल जेकाबेक मोनिका

Answer 1

हिमांशु जैन की पीएचडी थीसिस पर एक नज़र डालें , सत्यता की जाँच, अप्रत्यक्ष अमूर्त और क्रेग इंटरपोलेशन का उपयोग करके सत्यापन । वह सत्यापन में अनुप्रयोगों के लिए एक आंख के साथ कई मूलभूत तकनीकों के प्रदर्शन पर विचार करता है, और रैखिक समीकरणों और डायोफैंटाइन से युक्त सूत्रों के प्रक्षेप पर एक अध्याय है।

वह इस बात पर विशेष रूप से गौर करता है कि मुझे बिबेल की कनेक्शन विधि के रूप में क्या पता है, और जिसे वह जनरल मेटिंग कहते हैं। ये सूत्र-आधारित हैं, बजाय सूत्र-सन्दर्भ-आधारित दृष्टिकोणों की संतुष्टि के। यदि आप आम तौर पर उनमें रुचि रखते हैं, तो मुझे सिंटैक्स के बिना डॉमिनिक ह्यूज की यथोचित कमी (11 पृष्ठ) सबूत की सिफारिश करें ।

Answer 2

दिलचस्प रूप से कट-उन्मूलन और प्रक्षेप प्रमेय के बीच एक संबंध है। सबसे पहले प्रक्षेप प्रमेय कट-उन्मूलन के दौरान उपयोग किए जाने वाले मिश्रण नियम उन्मूलन के विपरीत दिखता है। यह उन्मूलन कहता है:

If G |- A and D, A |- B are cut-free proofs,  
then there is a cut-free proof G, D |- B

अब कट-फ्री प्रूफ के आधार पर इंटरपोलेशन प्रमेय का एक रूप निम्नानुसार किया जा सकता है। इसके उन्मूलन का उल्टा संस्करण है। यह G, D | - B से शुरू होता है और G | - A और D, A | - B देता है:

If G; D |- B is a cut free proof,  
then there is a formula A (the interpolant) 
and cut free proofs G |- A and D, A |- B,  
and A uses only propositions simultaneously from G and D

मैंने प्रीमियर जी और डी के बीच एक अर्धविराम रखा है। यह वह जगह है जहां हम रेखा खींचते हैं, जो प्रीमियर हम इंटरपोलेंट को वितरित करते हुए देखना चाहते हैं, और जो प्रीमियर हम इंटरपोलेंट का उपयोग करके देखना चाहते हैं।

जब इनपुट एक कट फ्री प्रूफ होता है, तो एल्ग्रोथ का प्रयास कट फ्री प्रूफ की नोड्स की संख्या के अनुपात में होता है। तो इसकी व्यावहारिक इनपुट में एक विधि रैखिक है। कट फ्री प्रूफ के प्रत्येक प्रूफ स्टेप के साथ, एल्गोरिथ्म एक नए संयोजक को पेश करके इंटरपोलेंट को असेंबल करता है।

उपर्युक्त अवलोकन सरल प्रक्षेप निर्माण के लिए है, जहां हमें केवल यह आवश्यक है कि प्रक्षेपक में जी और डी से एक साथ प्रस्ताव हैं। एक परिवर्तनीय स्थिति के साथ इंटरपोलेंट को थोड़ा और अधिक चरणों की आवश्यकता होती है, क्योंकि कुछ चर को छिपाने की आवश्यकता भी होती है।

संभवतः कट-फ्री प्रूफ की न्यूनतमता और इंटरपोलेंट के आकार के बीच एक संबंध है। सभी कट-फ्री प्रमाण न्यूनतम नहीं हैं। उदाहरण के लिए एकसमान प्रमाण अक्सर कट-फ्री प्रमाण से कम होते हैं। वर्दी प्रमाण के लिए लेम्मा काफी सरल है, फॉर्म का एक नियम आवेदन:

 G |- A       G, B |- C
 ----------------------
     G, A -> B |- C

से बचा जा सकता है, जब बी का उपयोग सी के प्रमाण में नहीं किया जाता है। सी के प्रमाण में बी का उपयोग नहीं किया जाता है, तो हम पहले से ही जी | - सी, और इस प्रकार जी को कमजोर करके, ए -> बी | - सी। प्रक्षेप यहां उल्लिखित एल्गोरिथ्म, इस पर ध्यान नहीं देगा।

सादर

संदर्भ: क्रेग इंटरपोलेशन प्रमेय को इसाबेल / एचओएल, टॉम रिज, कैम्ब्रिज विश्वविद्यालय में औपचारिक और यंत्रीकृत, 12 जुलाई 2006 http://arxiv.org/abs/cs/0607058v1

उपरोक्त रिफ्लेक्शन वास्तव में समान प्रक्षेप नहीं दिखाता है, क्योंकि यह एक अनुक्रम के समापन भाग में बहु-सेट का उपयोग करता है। इसके अलावा यह निहितार्थ का उपयोग नहीं करता है। लेकिन यह दिलचस्प है क्योंकि यह मेरी जटिलता के दावे का समर्थन करता है, और चूंकि यह एक यंत्रीकृत सत्यापन दिखाता है।

Comments

जनवरी, आप cstheory पर लाटेक्स-शैली के गणित का उपयोग कर सकते हैं।

— केवह

Answer 3

यह प्रश्न पूछे जाने के बाद दो साल से अधिक का समय है, लेकिन उस समय में, क्रेग इंटरपोलेंट्स की गणना के लिए एल्गोरिदम के बारे में और अधिक पत्र प्रकाशित हुए हैं। यह एक बहुत सक्रिय अनुसंधान क्षेत्र है और यहां एक व्यापक सूची देना संभव नहीं है। मैंने लेखों को मनमाने तरीके से नहीं बल्कि नीचे चुना है। मैं निम्नलिखित लेखों का सुझाव दूंगा जो उनके संदर्भ और उनके संबंधित कार्य खंडों को पढ़कर परिदृश्य की स्पष्ट तस्वीर प्राप्त करेंगे।

1. संतोषप्रद मोडुलो थ्योरी , एलेसेंड्रो सिमाटी, अल्बर्टो ग्रिग्जियो, रॉबर्टो सेबेस्टियानी, एसीएम TOCL, 2010 में कुशल इंटरपोलेंट जनरेशन ।

   रैखिक तर्कसंगत अंकगणितीय, तर्कसंगत और पूर्णांक अंतर तर्क के लिए प्रक्षेप को शामिल करता है, और इकाई दो चर प्रति असमानता तर्क (UTVPI)।

2. एसेफिएबल इंटरपोलेंट जेनरेशन इन सैटिसिबिलिटी मोडुलो लीनियर इंटेगर अरिथमेटिक , अल्बर्टो ग्रिग्जियो, थी थियो हो ले और रॉबर्टो सेबेस्टियानी। 2010।

3. इंटरपोलेंट , ग्रेटा योरश और मदनलाल मुसुवथी को उत्पन्न करने के लिए एक संयोजन विधि । 2005।

   दिखाता है कि नेल्सन-ओपेन सिद्धांत संयोजन की उपस्थिति में इंटरपोलेंट कैसे उत्पन्न करें।

4. समानता के सिद्धांत के लिए ग्राउंड इंटरपोलेशन , अलेक्जेंडर फुक्स, अमित गोयल, जिम ग्रुंडी, सावा क्रस्टिक, सेसारे तिनेली। 2011।

5. पूरा इंस्टेंटेशन-आधारित इंटरपोलेशन , निशांत टोटला और थॉमस वेस। 2012।

6. क्लासिफायर के रूप में इंटरपोलेंट , राहुल शर्मा, आदित्य वी। नोरी, और एलेक्स एकेन, 2012।