NC का बड़ा संस्करण क्या है?

$\mathsf{NC}$ कुशलता से समानांतर होने के विचार को पकड़ता है, और इसकी एक व्याख्या ऐसी समस्याएं हैं जो समांतर प्रोसेसर के लिए कुछ स्थिरांक , का उपयोग करके समय में हल करने योग्य हैं । मेरा सवाल यह है कि अगर एक अनुरूप जटिलता वर्ग है जहां समय और प्रोसेसर की संख्या । एक खाली-खाली प्रश्न के रूप में: $O(\log^c n)$ $O(n^k)$ $c$ $k$ $n^c$ $2^{n^k}$

$\mathsf{NC}$ को रूप में _ _ to $\mathsf{P}$ $\mathsf{EXP}$

विशेष रूप से, मैं एक ऐसे मॉडल में रुचि रखता हूं, जहां हमारे पास बहुपद रूप से बंधी हुई डिग्री के साथ नेटवर्क में व्यवस्थित कंप्यूटरों की एक घातांक संख्या है (यह कहते हैं कि नेटवर्क इनपुट / समस्या से स्वतंत्र है या कम से कम किसी भी तरह से निर्माण करने के लिए आसान है, या किसी भी अन्य एकरूपता की धारणा है। )। प्रत्येक समय कदम:

हर कंप्यूटर बहुपद आकार के बहुपदों की संख्या को पढ़ता है जो उसे पिछले समय में प्राप्त हुए थे।
प्रत्येक कंप्यूटर कुछ पॉलीटाइम गणना करता है जो इन संदेशों पर निर्भर कर सकता है।
प्रत्येक कंप्यूटर अपने प्रत्येक पड़ोसी को एक संदेश (पॉलीइलोमैट्रिक्स) पास करता है।

इन प्रकार के मॉडल के अनुरूप एक जटिलता वर्ग का नाम क्या है? ऐसी जटिलता वर्गों के बारे में पढ़ने के लिए एक अच्छी जगह क्या है? क्या इस तरह के वर्ग के लिए कोई पूर्ण-समस्याएं हैं?

— Artem Kaznatcheev
स्रोत

संबंधित सवाल, मुझे लगता है: cstheory.stackexchange.com/q/2788/1037

— आर्टेम Kaznatcheev

हमारे पास , , , । तो से संबंधित वर्ग कुछ और फिर से संबंधित वर्ग । यह सिर्फ कुछ बीजीय हेरफेर है, मैंने जांच नहीं की है कि क्या यह आपकी आवश्यकताओं को पूरा करता है, लेकिन मुझे लगता है कि यह तीन शर्तों को पूरा करेगा लेकिन बहुत सारे कंप्यूटर नहीं होंगे। मुझे लगता है कि आपको उस आवश्यकता को छोड़ देना चाहिए अन्यथा (अधिक)

N C^{k} = A S p a c e T i m e (O (\log n), (\log n)^{k})

$NC^k = ASpaceTime(O(\log n), (\log n)^k)$

N C = A S p a c e T i m e (O (\log n), (\log n)^{O (1)})

$NC = ASpaceTime(O(\log n), (\log n)^{O(1)})$

P = T i m e (n^{O (1)})

$P = Time(n^{O(1)})$

E X P = T i m e (2^{n^{O (1)}})

$EXP = Time(2^{n^{O(1)}})$

N C^{k}

$NC^k$

A S p a c e T i m e (n^{O (1)}, 2^{O (\log n)^{k}})

$ASpaceTime(n^{O(1)}, 2^{O(\log n)^k})$

N C

$NC$

A S p a c e T i m e (n^{O (1)}, 2^{(\log n)^{O (1)}})

$ASpaceTime(n^{O(1)}, 2^{(\log n)^{O(1)}})$

— केवह

परिणामी वर्ग में होगा और सादृश्य रूप में नहीं होगा ।

E X P

$EXP$

N C \subseteq P

$NC \subseteq P$

— केवह

मुझे समझ में नहीं आ रहा है कि आपको अंतरिक्ष की जटिलता के रूप में कहां मिला है। जहाँ तक मुझे पता है बहुपदों को कई द्वारों की अनुमति देती है। अगर हम आपके एनालॉग की तर्ज पर जाना चाहते हैं तो हमें को रूप में देखना चाहिए और फिर मैं जिस जटिलता वर्ग की तलाश कर रहा हूँ वह कुछ ऐसा है जैसे । हालांकि, मैं उम्मीद कर रहा था कि बेहतर चरित्र चित्रण है कि यह।

l o g n

$log n$

N C

$NC$

N C

$NC$

P T / W K (l o g^{c} n, n^{k}) / p o l y

$PT/WK(log^c n,n^k)/poly$

P T / W K (n^{c}, 2^{n^{k}}) / p o l y

$PT/WK(n^c ,2^{n^k})/poly$

— Artem Kaznatcheev

यह मानक है (हालांकि यह जटिलता चिड़ियाघर में नहीं है), उदाहरण के लिए रूज़ो, "वर्दी सर्किट जटिलता पर", 1981 की जांच करें। इसके अलावा, मुझे लगता है कि आपको समान कक्षाओं के साथ काम करना चाहिए, हर फ़ंक्शन में घातीय आकार वैकल्पिक / तार्किक गहराई 2 सर्किट (सर्किट) हैं यदि हम बंधे हुए पंखे और गहराई उपयोग करते हैं तो यह तीन शर्तों को पूरा करेगा । और जैसा कि मैंने कहा, यदि बहुत अधिक नोड्स हैं तो सादृश्य धारण नहीं करता है। इसके अलावा समानांतर संगणना की एक मुख्य संपत्ति समय की बचत है, उदाहरण के लिए यह के मामले में पाली-लॉग समय है । मुझे लगता है कि अर्ध-बहुपद समय पाली-लॉग समय के अनुरूप होगा।

\log n

$\log n$

N C

$NC$

— केवह

जवाबों:

मेरा मानना है कि आप जिस वर्ग की तलाश कर रहे हैं वह । मान लें कि आपके पास प्रोसेसर हैं जो आवश्यकताओं को पूरा करते हैं: $PSPACE$ $exp(n^k) = 2^{O(n^k)}$

हर कंप्यूटर बहुपद आकार के बहुपदों की संख्या को पढ़ता है जो उसे पिछले समय में प्राप्त हुए थे।

प्रत्येक कंप्यूटर कुछ पॉलीटाइम गणना करता है जो इन संदेशों पर निर्भर कर सकता है।

प्रत्येक कंप्यूटर अपने प्रत्येक पड़ोसी को एक संदेश (पॉलीइलोमैट्रिक्स) पास करता है।

परतों के साथ एक सर्किट होने से इसे मॉडल किया जा सकता है , जहां प्रत्येक परत में "गेट्स" होता है, और प्रत्येक "गेट" बहुपदीय फैन-इन के साथ एक बहुपदीय समय गणना (संतोषजनक 2 भाग) करता है। संतोषजनक भाग 1), और बहुपद फैन-आउट (संतोषजनक भाग 3) है। $poly(n)$ $exp(n^k)$

चूंकि प्रत्येक गेट एक बहुपद समय समारोह की गणना करता है, इसलिए वे प्रत्येक को बहुपद आकार के सर्किट (AND / OR / NOT) के साथ सामान्य तरीके से प्रतिस्थापित किया जा सकता है। ध्यान दें कि बहुपद फैन-इन्स और फैन-आउट को 2 किया जा सकता है, केवल फैक्टर द्वारा गहराई बढ़ाई जा सकती है । जो रहता है वह एक गहराई वाला सर्किट है, जिसमें और / या / नहीं गेट हैं। यह बारी-बारी से बहुपद का समय है, जो कि सटीक रूप से । $O(\log n)$ $poly(n)$ $exp(n^k)$ $PSPACE$

— रेयान विलियम्स
स्रोत

रयान, मैं नहीं जानता कि आप कैसे बहुपदों में कंप्यूटर की घातीय संख्या को कई परतों में डाल रहे हैं, यह मुझे लगता है कि गहराई घातीय हो सकती है, क्या आप इसे थोड़ा और समझा सकते हैं कि यह क्यों संभव है? मुझे यह भी लगता है कि प्रशंसक के रूप में मनमाने ढंग से दिए गए फ़ंक्शन के CNF सर्किट का तुच्छ निर्माण आवश्यकताओं को पूरा करेगा, क्या मुझे कुछ याद आ रहा है?

— केवह

@Kaveh: मैं आपका पहला सवाल नहीं समझता। दूसरे के बारे में, हालांकि किसी भी फ़ंक्शन के लिए घातीय-आकार की गहराई -2 सर्किट है, NC (पाली) के लिए आवश्यक है कि आप समान रूप से सर्किट उत्पन्न कर सकें, इसलिए आप प्रत्येक इनपुट आकार के लिए मनमाने सर्किट का उत्पादन नहीं कर सकते।

— रॉबिन कोठारी

@ रॉबिन, धन्यवाद। शायद मैं चीजों को भ्रमित कर रहा हूं। (मुझे लगता है कि PSpace से संबंधित सर्किट की गहराई घातीय होनी चाहिए, मुझे भी लगता है कि PSpace EXP है क्योंकि L को P को एक ही चीज़ है जब L को NC द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है तो यह मेरे लिए अजीब है, मुझे लगता है कि हम जिस वर्ग के हैं पीस्पे और EXP के बीच होना चाहिए।) मुझे यह समझने के लिए थोड़ा और सोचना होगा कि यहां क्या हो रहा है।

— केवह

@ केवह, मैंने परतों की संख्या (अर्थात गहराई) को घातांक होने के लिए असाइन किया है, इसलिए परिभाषा के अनुसार गहराई घातीय नहीं हो सकती है। घातीय रूप से कई प्रोसेसर हैं, इसलिए आपके CNF को घातीय प्रशंसक की आवश्यकता होगी, जिसमें से एक शर्तों का उल्लंघन होगा। PSPACE के अनुरूप घातीय-आकार के सर्किट की गहराई बहुपद है। यह सही है, और इसका कारण यह है कि दोनों उपमाएँ एक अर्थ में "वैध" हैं ("PSPACE को EXP के रूप में L से P है" और "PSPACE को EXP से NC के रूप में P है") क्योंकि PSPACE = प्रत्यावर्तन बहुपद पहर। हम नहीं जानते कि क्या एल = अल्टरनेटिंग लॉगरिदमिक टाइम (यह NC1 है)।

— रेयान विलियम्स

मुझे लगता है कि मैं आपकी और रॉबिन की टिप्पणियों को पढ़ने के बाद स्थिति को बेहतर ढंग से समझता हूं, धन्यवाद।

— केवह

जैसा कि रयान कहते हैं, यह वर्ग PSPACE है। इस वर्ग को अक्सर साहित्य में NC (पाली) कहा जाता है। यहाँ QIP = PSPACE पेपर का सीधा उद्धरण है :

हम नेकां के एक स्केल-अप संस्करण पर विचार करते हैं, जो कि जटिलता वर्ग नेकां (पॉली) है जिसमें बहुपद-गहराई वाले बूलियन सर्किट के बहुपद-अंतरिक्ष एकसमान परिवारों द्वारा गणना योग्य सभी कार्य शामिल हैं। (नोटेशन NC (2 ^पाली ) का उपयोग पहले भी इस वर्ग के लिए किया गया है [11]।) निर्णय की समस्याओं के लिए, यह ज्ञात है कि NC (पाली) = PSPACE [10]।

[१०] ए। बोरोडिन आकार और गहराई से संबंधित समय और स्थान पर। कम्प्यूटिंग पर SIAM जर्नल, 6: 733– 744, 1977।

[११] ए। बोरोडिन, एस। कुक और एन। पिपेंगर। अच्छी तरह से संपन्न छल्ले और अंतरिक्ष-बंधे हुए संभाव्य मशीनों के लिए समानांतर गणना। सूचना और नियंत्रण, 58: 113–136, 1983।

इसे देखने का एक तरीका यह है कि दोनों समावेशों को सीधे साबित किया जाए। यह देखने के लिए कि NC (पॉली) PSPACE में है, ध्यान दें कि हम अंतिम गेट के आउटपुट की पुनरावृत्ति कर सकते हैं, और हमें केवल सर्किट की गहराई के बराबर आकार के ढेर की आवश्यकता होगी, जो कि बहुपद है। यह दिखाने के लिए कि PSPACE NC (पाली) में है, ध्यान दें कि QBF, जो PSPACE-complete है, को बहुपद गहराई सर्किट के रूप में सामान्य रूप से कई गेटों के साथ लिखा जा सकता है - मौजूद क्वांटिफायर एक OR गेट है, फॉरेस्ट क्वांटिफायर एक और गेट है। चूंकि केवल बहुपद हैं, कई मात्रात्मक हैं, यह एक बहुपद गहराई सर्किट है।

— रॉबिन कोठारी
स्रोत